工程数学试卷及答案

1、得分评卷人2018年1月一、单项选择题（每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。B.D.1.某人打靶3发，事件Ai表示A=A1UA2UA3表示（A.全部击中.C.必然击中“击中i发"，i=0,1,2,3.那么事件）。至少有一发击中.击中3发2.对于任意两个随机变量.A.X和Y独立。C.D（X+Y）=D（X）+D（Y）3.4.P2A.C.5.A.f(x)=|2(1-|x|)|x|<1=0其它1eC.f(x)-二'2：设随机变量XN（,B.0.5f(x)=，0|x|<2其它(x_-)22。2

2、x:0D.x0其它=PY之N+5,则有(42),YN(口,对于任意的，P1=P2只对个别的N,才有P1=P2设X为随机变量,其方差存在,52),P1=PX<-4,B.对于任意的口，P1<P2D.对于任意的N,P1>P2c为任意非零常数，则下列等式中X和丫,若E(XY)=E(X)E(Y)，则有(B.X和Y不独立。ID.D(XY)=D(X)D(Y)卜列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（正确的是（A.D(X+c)=D(X).C.D(X-c)=D(X)-cB.D(X+c)=D(X)+c.D.D(cX)=cD(X)工程数学试题得分评卷人、填空题（每空3分，共15分）6.设

3、3阶矩阵A的特征值为-1,|A*+3A-2E|=。，07.&A=-1-1iy(-20011 0，1.2, 它的伴随矩阵记为A*,0、0,x=0b8.设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P,则该系统正常工作的概率为。9.设随机变量X的概率密度函数为f（x）=）2x0：x：A»甘，则概率0其它1P(X-万)=10.设二维连续型随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为f(x,y)=<ke43x*y)当x00,y0,则系数k=其它得分评卷人三、计算题（每小题10分，共50分）11 .求函数f（t）=e*t的傅氏变换（这里P>0）,并由此证明:工程数学试题12 .发

4、报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求(1)收报台收到信号“1”的概率；(2)当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。13 .设二维随机变量(X,Y)的联合概率函数是f(x,v)=<?x4y)CD0x0,y0其它求：(1)常数c；(2)概率P(X>Y);(3)X与Y相互独立吗？请说工程数学试题出理由14 .将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各

5、个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。15 .设一口袋中依此标有1,2,2,2,3,3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX工程数学试题得分评卷人四、证明题(共10分)16 .设a=(ai,a2,an)T,a1w0,其长度为IaI,又A=aaT,(1)证明A2=IaI2A；证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值;(3)A能相似于对角阵A吗？若能，写出对角阵A.工程数学试题得分评卷人五、应用题（共10分）17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在2000,4000（单位：吨）上服从均

6、匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。工程数学试题参考答案及评分标准1、 选择题(每小题3分，共15分)1 .B2.C3.D4.A5.A2、 填空题(每小题3分，共15分)6.97.18.1-(1-P)39.3/410.12三、计算题(每题10分，共50分)11.解答：函数f(t)的付氏变换为：F(w)=e't1:e-:|t|etdt=e"j)tdte“)tdt00112:=(2.-1'：I；.j,：,-：,：由付氏积分公式有j1二一(3分)分）分）所以1二2：

7、1二2一：(costjsint)dcostd(2分)JI2:ef(1分)12 .解答：设A1="发出信号1"，A0="发出信号0"，A="收至IJ信号1(1)由全概率公式有P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)=0.8X0.6+0.1x0.4=0.52(2)由贝叶斯公式有P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/P(A)=0.8x0.6/0.52=12/1313 .解答：（2分）（1分）（2分）（1分）（1分）（2分）（1分）工程数学试题第7页共6页f(t)=6F(w)=F()ejtd(2(1)由联合概率密度的性质有-be

8、-bedxf(x,y)dy=1q3"feeHdo即dxce,2x4y)dy=100从而c=8二x2(2)P(X_Y)=f(x,y)dxdy=dx8e2x4y)dy=-x_y003QOQO当x>0时，fx(x)=ff(x,y)dy=f8e42x44y)dy=2ex二二0当x<=0时，fx(x)=0同理有fY(y)4y4ey0其它(2分)(2分)(2分)(2分)(1分)因f(x,y)-fx(x)fY(y)-x,y故x与丫相互独立14.解答：(1分)Xi10第i个盒子有球否则=1,2,，N(2分)(1(N-1)n、P(Xi=0)=A-六(2分)Nn(N-1)nP(Xi-1)-1

9、-P(Xi-0)-1十(2分)N因而EXi=0P(Xi=0)1P(Xj=1)=1(N-1)nNn工程数学试题所以(2分)N1、n、EX八EXi=N(1-(1)n)N15.解答：(1)随机变量X的取值为1,2,3。(1分)132.依题思有：PX=1=;PX=2=;P(X=3)=(3分)666X的分布函数F(x)=PXEx(1分)由条件知：当x<1时，F(x)=0;(1分)1当1Mx<2时，F(x)=P(X=1)=；(1分)62当2Wx<3时，F(x)=P(X=1)+P(X=2)=-；(1分)3当x23时，F(x)=1；(1分)(2)EX=1x1/6+2x3/6+3x2/6=13

10、/6(1分)四、证明题（共10分）（1）A2=aaT-aaT=aTa-aaT=a2A（2分）（2）因Aa=aaT-a=aTa-a=|a|2a（2分）故a是A的一个特征向量。又A对称，故A必相似于对角阵（1分）设Asdiag（入1,入2,，入n）=B,其中入1,入2,，入n是A的特征值（1分）因rank（A）=1,所以rank（B）=1（1分）从而入1,入2,，入n中必有n-1个为0,即0是A的n-1重特征值（1分）A对称，故A必相似于对角阵A,A=diag（a2,0,。）（2分）五、应用题（共10分）解答:2000与4000之间，用Z（1分）设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于表示国家的收益（万元），则有因XZ=g(X)=3y3X-(y-X)所以服从R(