电路第7章 二阶电路ppt课件

1、7-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡7-2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应7-3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应7-4 GCL并联电路的分析并联电路的分析 含有两个独立的动态元件的线性电路，要用线含有两个独立的动态元件的线性电路，要用线性、常系数二阶微分方程来描述性、常系数二阶微分方程来描述, 故称为二阶电路。故称为二阶电路。 本章重点讨论含电感和电容的二阶电路的零输本章重点讨论含电感和电容的二阶电路的零输入响应和在直流电源激励下的全响应。入响应和在直流电源激励下的全响应。 为了简单起见，本章只讨论为了简单起见，本章只讨论RLC串联和并联电串联和并联电路的响应，

2、响应是否出现振荡取决于特征根的值。路的响应，响应是否出现振荡取决于特征根的值。 本章电路响应的分析是归结为求解二阶微分方本章电路响应的分析是归结为求解二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程。程或两个联立的一阶微分方程。 学习重点为：电路微分方程的建立；特征根的学习重点为：电路微分方程的建立；特征根的意义，微分方程解答的物理含义等。意义，微分方程解答的物理含义等。C+uC=U0i=0L uL = uC = L didt uL= uC = U0 0 uC = U0 iL = 0didt 0电流开始上升电流开始上升 i, 电容开始放电电容开始放电 uCC+uCiL+uLtuCiddC 电流最大电流最大

3、 i = Imdidt = 0电容储存的电场能量全部转化为电感储存的磁场能量电容储存的电场能量全部转化为电感储存的磁场能量,因为电感电流不能跃变。因为电感电流不能跃变。电感开始输出能量电感开始输出能量 i，电容开始反向充电，电容开始反向充电 |uC |磁场能量全部转成电场能量磁场能量全部转成电场能量因为因为uC不能跃变，不能跃变，电容放电电容放电 |uC |，| i |duCdt 0uC= 0i= ImuL= 0C+L+uC= -U0i= 0uLC+L+tuCiddC 电场能量全部转成磁场能量电场能量全部转成磁场能量 |uC |，| i |磁场能量全部转为电场能量，磁场能量全部转为电场能量，电

4、路回到初始时刻的状态。电路回到初始时刻的状态。C+uC = 0Li = - IuC= U0i= 0C+L设设 L = 1H， C = 1FuC(0) = 1V iL(0) = 0初始状态初始状态列出描述电路的两个联立一阶微分方程。列出描述电路的两个联立一阶微分方程。设设 L = 1H， C = 1FuC(0) = 1V iL(0) = 0i = C = duC dtduC dtit0i = sint初始状态初始状态 列出描述电路的两个联立列出描述电路的两个联立一阶微分方程：一阶微分方程：解微分方程，得解微分方程，得i = sintuC = costuC = cost0tuCuC = L = d

5、ididtdtC+uCiL+uLit0i = sintuC = cost0tuCC+uCiL+uLCiLR解微分方程，得解微分方程，得i = sintuC = cost求零输入响应求零输入响应 uS = 0 KVL： uL + uR+ uC = uSdidt L + Ri + uC = uS uC(0) = ?两个初始条件两个初始条件duC dtt=0 = i(t)Ct=0 = i(0)C = ?LiR+uS-C+uC-i = CduC dtuL = LdidtVCR：有有整理整理R、L、C 取值不同，根号里的值有四种不同情况。取值不同，根号里的值有四种不同情况。 设解为设解为 uC(t) =

6、 Kest 代入微分方程代入微分方程LCs2Kest + RCsKest + Kest = 0( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0特征方程的根固有频率）特征方程的根固有频率）特征方程特征方程 LCs2 + RCs + 1 = 0LiR+uS-C+uC-s1、s2 为两个为两个不相等的负实数不相等的负实数s1、s2 为两个为两个相等的负实数相等的负实数s1、s2 为为一对共轭复数一对共轭复数R = 0s1、s2 为为一对共轭虚数一对共轭虚数LCLR122 LCLR122 LCLR122 CLRR2d CLRR2d CLRR2d CLRR2d 得得 称为阻尼电阻称为阻尼电阻LCs

7、s1j,21 2L R()2LC 1- -令令= 0不相等的负实数不相等的负实数s1= 1、s2= 2相等的负实数相等的负实数s1= s2 = 一对共轭复数一对共轭复数一对共轭虚数一对共轭虚数tteKeKtu2121C)( ttetKeKtu 21C)( tKtKeutd2d1Csincos d21j, ss021j, ss tKtKtu0201Csincos)( 通解中的系数通解中的系数 K1、K2，由电路的初始条件确定，由电路的初始条件确定。)(cos0 tK)(cosd tKets1 = 2L R= a1+2L R()2LC 1s2 = 2L R= a22L R()2LC 1uC(t)

8、= K1es1t+ K2es2t= K1e-a1t+ K2e-a2t通解的形式通解的形式解出解出K1、K2 ，得，得s1, s2 为两个不相等的负实数为两个不相等的负实数由初始条件由初始条件 uC(0)、iL(0) 确定系数。确定系数。 = 1K1e 1 t 2 K2e 2 tduCdt已知图示电路中已知图示电路中t 0 时时uS = 0 R = 3 L =12HC =14F uC(0) = 2V iL(0) = 1A求：求：uC(t)及及iL(t) t0+ RCd2uC dt 2 LCduC dt+ uC = 0+d2uC dt2duC dt+ uC = 01834+ 6d2uC dt 2d

9、uC dt+ 8 uC = 0s2 + 6s + 8 = 0s1, 2 =-6-636 - 3222-6-62 2=s1 = -2 s2 = -4过阻尼情况过阻尼情况 阻尼电阻阻尼电阻 Rd = 2 = 2.828 LCR RdLiR+uS-C+uC-uC(t) = K1e -2t + K2e - 4tuC (0) = K1 + K2 = 2解得解得 K1 = 6，K2 = 4uC(t) = 6e -2t 4e - 4t V t0iL(t) = iC(t) = CduCdt= 3e -2t + 4e - 4t t004t-31iLuC06t-42uC(0) = 2V iL(0) = 1AK1

10、+ K2 = 2 2K1 4K2 = 4联立联立duC dt|t=0 = 2K1 4K2 = = 4CiL(0)s1 = -2 s2 = -4s1,2 = -2L R2L R()2LC 1- -= -39-8= -31s1 = -2 s2 = -4uC(t) = K1e-2t + K2e-4t= 6e-2t - 4e-4t V t0iL(t) = CduC dt= -3e-2t + 4e-4t A t0过阻尼情况过阻尼情况 阻尼电阻阻尼电阻 Rd2 = 2.828 LCR RdLiR+uS-C+uC-已知图示电路中已知图示电路中t 0时时uS = 0 R = 3 L =1 12HC =1 14

11、F uC(0) = 2V iL(0) = 1A求求: uC(t)及及iL(t) t0+d2idt2didt+ i = 01834+ 6d2idt2didt+ 8i = 0s2 + 6s + 8 = 0s1 = -2s2 = -4iL(t) = K1e-2t + K2e-4tuR + uL + uC = 0等式两边微分等式两边微分 + RCd2idt2 LCdidt+ i = 0已知图示电路中已知图示电路中t 0时时uS = 0 R = 3 L =12HC =14F uC(0) = 2V iL(0) = 1A求求: uC(t)及及iL(t) t0LiR+uS=0-C+uC-0)0(0 tCdti

12、C1udtdiLiRiL(t) = K1e-2t + K2e-4t+2V- -1A+ uL(0+) -3t = 0+时电路时电路iL(0) = K1 + K2 = 1didt|t=0 = -2K1 - 4K2 =LuL(0)uL(0+) = -31-2 = -5V-2K1 - 4K2 = -2K1 - 4K2 = -10-10得得K1 = -3, K2 = 4iL(t) = -3e-2t + 4e-4t A t0= 2 + 4(32e-2t - e-4t -12)= 6e-2t - 4e-4t V t0LiR+uS-C+uC-已知图示电路中已知图示电路中t 0时时uS = 0 R = 3 L

13、=12HC =14F uC(0) = 2V iL(0) = 1A求求: uC(t)及及iL(t) t0uC(t) = uC(0) +1Cidt0 0t= 2 + 4(32e-2t - e-4t)|0ts1 = s2 = 2L R= a解的形式解的形式uC(t) = K1e-a t + K2te-a t= (K1 + K2t )e-a t duC dt|t=0 = K2e-at a (K1 + K2t)e-at|t=0 = K2 a K1 =CiL(0)s1, s2为两个相等的负实数：为两个相等的负实数：tetuCiutu )0()0()0()(CLCCttetuCieutu )0()0()0(

14、)(CLCC已知已知RLC串联电路中串联电路中t0时时C = 1F L = 1H R = 2uS = 0 iL(0) = 1A uC(0) = 0求求uC(t) t0s1,2= -2L R2L R()2LC 1- -= -1-1 = -1221uC(t) = (K1 + K2t )e-t K1 = 0K2 = 1duC dt |t=0 = K2K1 =CiL(0)= 1uC(t) = t e-t V t00tuCLiR+uS-C+uC- 临界阻尼情况临界阻尼情况s1 = 2L R= a + jwd+j2L R()2LC 1 (s2 = 2L R= a jwd j2L R()2LC 1(解的形式

15、解的形式uC(t) = e-a t ( K1coswd t + K2sinwd t ) K1 = uC(0)CiL(0)= aK1 + wdK2 =duC dt|t=0 = a e -a t (K1coswdt + K2sinwd t)+e-a t( wdK1sinwd t + wd K2coswd t)|t=0s1, s2为共轭复为共轭复数数uC(t) = e-a t (K1coswdt + K2sinwdt )K1= K12 + K22 e -a t (K12 + K22coswdt +K2K12 + K22sinwd t )K2 K12 + K22sinq =K1K12 + K22cos

16、q =q q rctnrctnK1K2利用公式利用公式= K12 + K22 e -a t cos(wdt -q )= Ke-a t cos (wd t + )K12 + K22K2K1K = K12 + K22 = -q = - arctan K1K2式中式中也可直接写成也可直接写成用初始条件确定用初始条件确定K和和 衰减因子衰减因子d d 衰减振荡角频率衰减振荡角频率0uCtKe-a t-Ke-Ke-a ta tK = K12 + K22K1K2 rctnrctn零输入响应的一般形式为零输入响应的一般形式为 uC(t) = e a t (K1coswd t + K2sinwd t ) =

17、= 22LR解得：解得：L = 1H， C = F71固有频率固有频率3212d LRLC，V3cos5)(t2Ctetu d221,j21j2 LRLCLRs特征根特征根 s1, s2 为共轭虚数为共轭虚数s1 = j= jw0LC 1s2 = -j= -jw0LC 1解的形式解的形式K1 = uC(0)uC(t) = Kcos(w0t + )K = K12 + K22 = - arctan K1K2Cw0 iL(0)K2 =C L(0)duC dt|t=0 = w0K2= iuC(t) = K1cosw0 t + K2sinw0 tK1= K12 + K22 K12 + K22cosw0t

18、 +K2K12 + K22sinw0 t K1K12 + K22cosq =K2 K12 + K22sinq =q q rctnrctnK1K2uC(t) = K12 + K22 cosq cosw0 t + sinq sinw0 t = K12 + K22 cos (w0 t -q )= K cos (w0 t + )K12 + K22K2K1K = K12 + K22 = -arctan K1K2式中式中设设 L = 1H C = 1FuC(0) = 1V iL(0) = 0i = C = duC dtduC dt初始状态初始状态描述电路的两个联立一阶微分方程描述电路的两个联立一阶微分方程

19、解微分方程，得解微分方程，得i = sintuC = costit0i = sintuC = cost0tuCuC = L = di didt dtC+uCiL+uL+ RCd2uC dt2 LCduC dt+ uC = USuC(0) = ?duC dt|t=0 = ?uC(t) = uch + ucp+ RCd2uchdt2 LCduchdt+ uch = 0s1 = -a1 s2 = -a2设电路为过阻尼设电路为过阻尼uch(t) = K1e -a1t + K2e -a2tuC(t) = K1e -a1t + K2e -a2t + US设设ucp(t) = Q 与激励形式一样与激励形式一

20、样若为直流激励，那么若为直流激励，那么 Q = USK1，K2由初始条件确定由初始条件确定根据特征根的四种不同情况，根据特征根的四种不同情况，写出齐次方程解的形式写出齐次方程解的形式LiR+uS-C+uC-求图示电路中求图示电路中uC(t) t0已知已知uC(0) = 0 iL(0) = 0+ RCd2uC dt2 LCduC dt+ uC = US+d2uCdt 2duCdt+ uC = 2设设ucp(t) = Q 代入原方程代入原方程s2 + s + 1 = 0s1,2 =-1-1 1-41-42= -12 j2 3uch(t) = eK1cos-12t2 3t + K2sint 2 3+

21、 K2sint + 22 3uC(t) = eK1cos-12t2 3tuC(0) = K1 + 2 = 0为欠阻尼情况为欠阻尼情况1Hi1+US = 2V- -1F+uC- -t0CiL(0)duC dt|t = 0 = -12K1 +23K2 =23K1 = -2 K2 = -3uC(t) = e -2cos-12t23t -t + 223233 sin= -2.3ecos(-12t2 3t - 30) + 2 V t0求：图示电路中求：图示电路中uC(t) t0知：知：uC(0) = 0 iL(0) = 01Hi1+US = 2V- -1F+uC- -t0uC(0) = K1 + 2 =

22、 0uC (t) = e K1cos-12t2 3t + K2sint + 22 3确定系数确定系数iC + iG+ iL = iSCduC dt+ GuC + iL = iS+ GLd2iL dt2LCdiL dt+ iL = iS如果是零输入响应如果是零输入响应 iS = 0+ GLd2iL dt2LCdiL dt+ iL = 0iL(0) = ?diL dt|t=0 = ?LCs2 + GLs + 1 = 0s1,2 =-GL-GL(GL)2 - 4LC2LC2C G= -2C G()2LC 1- -根据固有频率四种情况写出解的形式根据固有频率四种情况写出解的形式Gd = 2 LCiS+

23、-iCiGiLCGLuC特征方程特征方程+ GLd2iL dt2LCdiL dt+ iL = IS2C Gs1,2 = -2C G()2LC 1-s1,2 = -2L R2L R()2LC 1- -+ RCd2uC dt2 LCduC dt+ uC = US阻尼电导阻尼电导 Gd = 2 LC阻尼电阻阻尼电阻 Rd = 2 CLGd = 2 LC阻尼电导阻尼电导欲使电路产生临界阻尼响应，应满足欲使电路产生临界阻尼响应，应满足G = Gd 由于由于 G = 1S 2 = 1LC故故得得 C = 0.5 FiS12HCRLuc(t) = 100e-600t cos 400t，若电容初始贮能是若电容

24、初始贮能是130J，求求R，L，C以及电感的初始电流。以及电感的初始电流。uC(0) = 100V130wC(0) =130CuC2(0+) =12C =230uC2(0+)=230 1002= 6.67F由零输入响应的形式可知，电路应为欠阻尼情况。由零输入响应的形式可知，电路应为欠阻尼情况。= -a jwd2C Gs1, 2 = -2C G()2LC 1-K1 = 100, K2 = 0, a = 600, wd = 400 rad/siRiLRL+-iCCuC= -a jwd2C Gs1,2 = -2C G()2LC 1- 2C G= 600G = 60026.6710-6 = 80.0410-4 SR =G 1= 124.9 LC 1= 4002 + 6002 L = 0.288H iL(0+) = - iR(0+) - iC(0+)= - uC(0+) R-C-CduC dt|t = 0= -100124.9-