微分方程及其解几何意义分离变量方法

1、1.2微分方程基本概念及其几何解释教学内容1.介绍微分方程及其解的概念、方程分类；2.介绍一阶微分方程及其解的几何解释；3.引入变量分离方法求解一阶微分方程；4.介绍积分常数由来引入微分方程定解条件初值条件和边值条件.教学重难点重点是知道微分方程分类和定解条件，难点是如何从几何角度来理解一阶微分方程及其解.教学方法自学1、2;讲授3、4,5课堂练习考核目标1.会分清常微分方程和偏微分方程、能认清线性微分方程和非线性微分方程、能知道微分方程的阶数；2.会用分离变量方法求解一阶微分方程通解及其初值问题；3.知道函数相关性和函数无关性，并会用Jacobi矩阵来判别；4.会用方向场和等倾线方法来描述微

2、分方程解的性质.1.认识微分方程及其类型（吟*"*（sinx）V屋髀1,y=x,、d2ytdy1/小、fdy、3dy小小、d4xd2x小2y=t-1,(8)ty=0,(9)422x=0,dt21-tdt1-tdtdtdt4dt2-2_2_2.(10)a*excu二u二u二u二u二u2B=0,(11)yzx-xzy=0,(12)0,(13)0丁+0丁+口2=0二y二xcy二z二x二y（1）方程：是含有“未知”的等式，象2+3=5虽是等式但不是方程.若未知的是一个数，那就是代数方程；若未知的是一个函数，那就是函数方程.上面13个等式都是方程，未知的都是函数，因此上面13表达式都是函数方程

3、.（2）常（偏）微分方程：函数方程中未知的是一元函数且含有其导函数，则称其为常微分方程（如上例（1）-（9）;若函数方程未知的是多元函数且含有偏导数，则称为偏微分方程.（如上例（10）-（12）（3）线性（非线性）微分方程：若方程中出现的未知函数及其导函数或偏导函数都是一次的，则称其为线性微分方程，这里分类不管方程中自变量以何种函数形式出现。（1）-（3）、（7）、（9）、2一（10）-（12）都是线性的；（4）-（5）、（8）、（13）不是，出现未知函数y和siny'.（4）方程的阶数：微分方程中出现的未知函数导函数或偏导函数最高阶数称之为方程的阶数.例如（1）-（5）、（8）、（1

4、0）、（13）都是一阶微分方程；（7）、（12）是二阶微分方程；（9）是四阶微分方程.练习9.教材P26习题1.2.微分方程的解与定解条件t时刻位置为x,则由牛顿第考察落体问题，以铅直向上的方向建立直线坐标系，设落体在d2x二te律知，x=_g,其中g为重力加速度，负号是由于力万向和x轴正向相反，x=2dt2考察函数x=小=-|t2,x=巾=-|t2-t+1,将上述两个函数代入方程x'=g,易见：左端=右端.于是我们称小,小为方程的两个解.一般地，考察微分方程dy=f(x,y).若已知函数y=邛(x)代入上述方程使得微分方程等式dx成立，则称中(x)为微分方程的一个解.练习10.教材P

5、27习题2.(5)、(6);习题3.(2)、(6).改写方程为微分形式dadx、dt停y-gdt,dxdx.)(端二/划喘"g5,dxdtdx=(-gt+g)dt,Jdx=J(-gt+c1)dt,x=-gt2/2+gt+c2，其中c1,c2为积分常数这里大家很快发现：微分方程x'=-g解不唯一，有无穷多个.这里原因是确定解的条件不足.解释如下：(1)在时刻t=0,假设落体位置x(0)=10,落体速度是x'(0)=0,则从10米处自由下落，规律如下x1(t)=-gt2/2+10；(2)在时刻t=0,假设落体位置x(0)=20,落体速度是x'(0)=0,则从20米

6、处自由下落，规律如下x2(t)=-gt2/2+20；(3)在时刻t=0,假设落体位置x(0)=10,落体速度是x'(0)=10,则从10米处先上抛再自由下落，规律如下x3(t)=-gt2/210t10；(4)在时刻t=0,假设落体位置x(0)=10,落体速度是x'(0)=-10,则从10米处先下抛后下落，规律如下x4(t)二gt2/2-10t10.(5)经观察在时刻t=0,落体位置x(0)=10,在时刻t=2,落体位置为x(2)=20,则先上抛再下落，规律如下x5(t)=-gt2/2十20t+10,这里取g=10m/s2.在上述5中情形下方程的解都是确定的，其中(1)-(4)是

7、给出了初始时刻的位置和速度，也就是给出某个时刻的未知函数及其一阶导数的值，这组条件就称之为初值条件；(5)中给出了两个不同时刻的位置，也就是给出了x(0)和x(2)的值，这组条件称之为边值条件.一般地，我们称含有两个独立任意常数c1,c2的解为x=-g12/2+c1t+c2为二阶方程x=-g通解，称在给定初值条件或边值条件下的解为方程的特解，初值条件和边值条件统称为定解条件，用来确定通解中相应独立常数.在该例题中c1对应于初始速度，c2对应于x=-q初始位置.相应地称研究七的解问题为初值问题或柯西问题；x(to)=xo,x(to)=xifx=-q，一、一一、_称研究3的解问题为边值问题.一般情

8、形下定义(参见教材P18表达x(to)=xo,x(t1)x1式(1.42)式和P37o表达式(1)-(4).dv例13.给7E一阶效分万程=2x,(1)求出它的通解；(2)求通过点(1,4)的特解；(3)求dx1出与直线y=2x+3相切的解；(4)求出满足条件yydx=2的解；(5)绘出(2)-(4)解的图像.解：(1)改写方程为dy=2xdx,Jdy=J2xdx,y=x2+c为所求通解.,一、,一.2_一2_(2)由题息知，y(1)=4,于是4=1+c,c=3,因此所求特解为y=x+3.(3)直线y=2x+3斜率为k=2,于是由相切条件知名=2x=2,解得x=1,相应地dx2y=2+3=5.

9、于是相切点为(1,5),也就是解通过点(1,5).于是5=1+c,c=4.所求特解为y=x24.1 1215o(4)yydx=g(x+c)dx=-+c=2,c=，所求特解为y=x2+5/3oo33(5)图像为抛物线y=x2经向上多次适当平移所得，如图.dx2作业11.给7E一阶万程-.(1)求出万程的通解；(2)分别求出过点(o,1)和(2,1)的特dtt-1解；(3)画出上述特解的图像.(定义域、单调性、凸凹性)3.Jacobi矩阵、变量之间的函数相关性、变量独立性和n阶方程的通解Jacobin矩阵：设有n个自变量的多元函数yi=fi(x1，x?，xn),i=1,2，m,定义如下的Jacob

10、i矩阵也空屯1,丫2,，ym)二空1%n,特别地，若m-n,则一"1,",一L"ym为一个方阵取？2，乂口)Wm氢x1，x2，xn)次n)(2)隐函数定理和反函数定理：(参见数学分析下P148定理18.1和P155定理18.5)(3)变量的函数相关性：高等代数中介绍过向量的线性相关性和线性无关性.后面也会提到函数的线性相关性和线性无关性.这里介绍变量独立和变量的函数相关性.举一个例子，整个平面上点(x,y),这里x和y就是独立的；对于曲线T:y=sinx上点(x,y),变量x和y就不独立了，它们是函数相关的，即y=sinx.再比如，设(u,v)为平面上任一点，变量

11、x=ucosv,y=usinv,则问变量x,y是否独立？从形式上看，这个变换是极坐标变换，由三区/=u00知，(u,v)是(x,y)的函数，因此变量F(u,v)x,y是独立的，它们可以在允许范围内独立任意取值.再举上半球面x=sinucosv,y=sinusinv,z=cosu,uw(0,冗/2),vw(0,2时.这里三个变量x,y,z真正独立的只有两个，因为£(x_yl=sinu#0,可以由隐函数定理知：:(u,v)u=u(x,y),v=v(x,y),进而z=z(u,v)=z(x,y)=('1x2y2,因此，变量z与变量x,y函数相关.一般地，考察n阶微分方程F(t,x,x

12、,，x(n)=0,(*),若有解x=3(632,，cn),其中V(Ci,C2,，Cn)WRn,我们知道初始条件x(t0),x'(t0),，x(n,)(t0)应该是n个独立变量，可以任意选取，就像落体那个例子所呈现的.下面的问题是考虑任意初始条件能否对应于确定的(c1,c2,，cn)呢？、,一,*，二(xX,X(n-1)一，一.,一一这就看在某个邻域内至巴二)是否行列式不为零.若行列式不为零，则称解二(ci,c2,cn)x=小(tci,c2,，cn)中常数(ci,c2,，cn)是独立的，称具有n个独立常数的解为n阶方程(*)的通解.例14.验证x=gt2/2+c1t+c2为二阶方程x=-

13、g的通解.解：x=gt2/2+c1t+c2,x=gt+c1,det(x,x)=t=一1#0,因此(c1,c2)是%(G,c2)10独立的，因此，x=gt2/2+c1t+c2为二阶方程的通解.d2V练习12.验证教材P27习题2中(5)和(6)都是二阶万程一y十32y=0的通解.dx4 .方向场、积分曲线、等倾线方向场：考察方程=f(x,y),在f(x,y)定义区域G内每一点(x,y)作小直线段，其中斜dx率为k=f(x,y),箭头方向表示x增加的方向，称所得的小切线段为线素，称画出所有线素后所得到图像为方程所定义的方向场；称所有具有相同斜率k的点全体为等倾线.dy(2)设y=y(x)为方程=f

14、(x,y)一个特解，则其图像称为方程的一条积分曲线，右y=y(x,c)dx为方程的通解，则其图像为一族积分曲线.dy(3)由上述定义知，方程W=f(x,y)任一条积分曲线上每点切线与该点线素重合；反过来，dx如果在G内一条光滑曲线y=y(x)满足曲线上每点切线与线素重合，则该曲线一定是积分曲线.例15.画出(1)方程曳=2x的方向场；(2)方程包=y的方向场；(3)曳=2的方向场.dxdxdxy(2)33221100112233等倾线：2x=k;(2)y=k;(3)-x=ky.例16.考察Riccati方程曳dx22=y-x.回出等倾线k=y-x,*Ri*特别地取k=-1,k=0,k=1.解：

15、解：当初始点落在两抛物线之间，当x趋于正无穷大时，y趋于抛物线x=yA2.5/6dy,2(2)研究万程=y(y-1)不同初始dx分离变量得到dT(Te-T)-kdt,=-kdt,In|Te-T|=-kt+a,练习13.(1)画出方程电=二的方向场.dxx条件下解当x趋于正无穷大时的性态.5 .应用题例17.将某物体放置在空气中，在时刻t=0时，测得它温度为T0=150C0,10分钟后测得它温度为T1=100C°,现假定空气温度保持为Te=24C°,试问20分钟后，物体的温度为多少？解：设在t时刻物体温度为T(t),则由牛顿冷却定律知，=_k(Te_T),k>0.dt改写为T=Te+ce上，c=eC1.再由初始条件T(0)=150知，c=T0Te.于是，物体温度变化规律为T(t)-Te=(T0-Te)e"t.由T(10)=100知，T(10)-Te=3-Te)e,0k;(还有一种方法由此方程求出k)2T(20)-五(T0-Te)e宙为T(20)-20k,J0k.2丁(10)-j=z0r,再次改与为=e=(e)=T(10)-Te(T0-Te)e为kTo-Te、T°-Te)解得T(20