微积分下册知识点汇总

1、微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数(一)向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a(ax,ay,az),b(bx,by,bz),则ab(axbx,ayby,azbz),a(a*,ay,az)；5、向量的模、方向角、投影：12221)向量的模：rJxyz；2)两点间的距离公式：AB|v"(x2%)2汕yi)2匕z1)23)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4)方向余弦：C0scosy,cosrcos2cos2cos21

2、5)投影：Prjuaacos，其中为向量a与u的夹角（二）数量积，向量积1、数量积：ab|a|b|cos2Daa|a2）abab0abaxbxaybyazbz2、向量积:大小：la|b%n，方向：a,b,c符合右手规则1)aa02)a/bab0ijkabaxayazbxbybz运算律：反交换律baab(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z)02、旋转曲面：yoz面上曲线C:f(y,z)0,绕y轴旋转一周：f(y,vx2工)022绕z轴旋转一周：f(Vxy,z)03、柱面：F(x,y)0F(x,y)0表示母线平行于z轴，准线为的柱面4、二次曲面(不考)2x1)椭圆锥面：az02

3、y-zb22x2）椭球面：2a2yb22x旋转椭球面：二万a2y2a2z-23)单叶双曲面:2x-2a4)双叶双曲面:2x2a5)椭圆抛物面:2x-2a6)双曲抛物面（马鞍面）7)椭圆柱面:2x-2a8)双曲柱面:2x2a9)抛物柱面:2yb22yb22yb22yb22yb2ay2z一2c2z2c2x2a（四）空间曲线及其方程F(x,y,z)般方程：G(x,y,z)x(t)acos2、参数方程：yy(t),如螺旋线:z(t)asinbt3、空间曲线在坐标面上的投影(x,y)0F(x,y,z)0上的投影、八，消去z,得到曲线在面xoyG(x,y,z)0（五）平面及其方程点法式方程:A(xx

4、76;)B(yy°)C(zz°)2、法向量：n般式方程:（A,B,C）,过点（x。，y。，z。）AxByCzDx截距式方程：a3、两平面的夹角:ni(ABC),n2CEG),cosAA2B1B2C1c2B12C12A；B；C；A4B1B2C1C21A旦口a2b2c24、点P0(x°,y°,z°)到平面AxByCzD0的距离:Ax0By°Cz0DA2B2C2（六）空间直线及其方程般式方程:AixBiyCizDi0A2XB2yC2ZD202、xx0yy0zz0对称式（点向式）万程：m厂p方向向量:(m,n,p),过点(Xg,y0,Zg)3

5、、参数式方程:4、两直线的夹角:cosmim2Six0mty。ntZ0pt(nvni,pi),S2(m2,n2,P2),ngPiP222222nipim2n2p2m1m2nin2p1P20minim2n2PiP25、直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,sinL/第二章Am.'A2B2C2,m2n2AmBnCp0多元函数微分法及其应用（一）基本概念距离，邻域，内点，外点，边界点,聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：zf(x,y),图形：3、极限：limf(x,y)A(x,y)(X0,y0)4、连续：,lim、f(x,y)f(xo,y。)(x,

6、y)(xo,yo)5、偏导数：fx(xo,y。)fy(x0,y。).f(x0lim0x0x,y。）f（x。，y。）xlimyf(xo,y。y)f(x。，y。)0y6、方向导数：fff,cos二cos其中,为l的方向角。xy7、梯度：zf(x,y),则gradf(x0,y0)fx(x0,y°)ify(x0,y°)j8、全微分：设zf（x,y）,则dz-zdx旨丫xy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:1旦1、J偏导数存在2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义:2）复合函数求导:链式法则若zf(u,

7、v),uu(x,y),vv(x,y),则v_zx'y3）隐函数求导：两边求偏导,然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值:求函数zf(x,y)的极值fx解方程组ffy求出所有驻点，对于每一个驻点（xo,y。），令AfxxNy。），fxy(x0,yo),Cfyy(xo,y。),若ACB20,A0,函数有极小值,若ACB20,A0,函数有极大值;若ACB20,函数没有极值;若ACB20,不定。2）条件极值:求函数zf（x,y）在条件（x,y）0下的极值令：L(x,y)f(x,y)(x,y)Lagrange函数Lx解方程组Ly(x,y)02、几何应用1）曲线的切线与法平面xx(t)曲

8、线：Vy，则上一点M(Xo,yo,Zo)(对应参数为to)处的zZ(t)xXoyVozZo切线方程为：x(to)y(to)z(to)法平面方程为：x(to)(xxo)y(to)(yyo)z(t°)(zz°)2)曲面的切平面与法线曲面：F(x,y,z)o,则上一点M(x°,yo,zo)处的切平面方程为：Fx(xo,yo,zo)(xxo)Fy(xo,yo,zo)(yy。)Fz(x。,yo,zJ(zzo)o、口xx°yyozzo法线方程为：Fx(xo,yo,。)Fy(xo,yo,zo)Fz(xo,yo,。)第三章重积分（一）二重积分（一般换元法不考）n1、定义

9、：f（x,y）d叫f（4k）kDk12、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标(x,y)i(x)y2(x)xbf(x,y)dxdybdxa2(x)f(x,y)dyi(x)D(x,y)i(y)x2(y)d2(y)f(x,y)dxdydyf(x,y)dxci(y)D2）极坐标i(2()2()f(x,y)dxdydf(cos,sin)di()D(二)三重积分n1、定义：f(x,y,z)dvli”f(k,k,k)Vk0k12、性质：3、计算：1)直角坐标f(x,y,z)dvz2(x,y)DdxdyzKx,y)f(x,y,z)dzbf(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dx

10、dy“先二后一”aDZ2）柱面坐标xcosysinzzf(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz3）球面坐标xrsincosyrsinsinzrcosf(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd(三)应用曲面S:zf(x,y),(x,y)D的面积：IA,1(z)2(z)2dxdyDxy第五章曲线积分与曲面积分(一)对弧长的曲线积分n1、定义：Lf(x,y)ds呵f(i,i)41 12、性质：1) Lf(x,y)(x,y)dsLf(x,y)dsLg(x,y)ds.2) Lf(x,y)dsLf(x,y)dsLf(x,y)ds.(LLL2).LL1L

11、23) 在L上，若f(x,y)g(x,y),则Lf(x,y)dsLg(x,y)ds.4)Ldsl(l为曲线弧L的长度)3、计算：x(t),设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为小(t),y(t),其中(t),在,上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0,则Lf(x,y)dsf(t),(t)；(t)2(t)dt,()(二)对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数P(x,y),Q(x,y)n在L上有界，定义LP(x,y)dxlim0P(k,k)xk,k1nLQ(x,y)dylim0Q(k,k)Nk.Uk1向量形式：LFdrLP(x,y)dxQ(x,y

12、)dy2、性质：用L表示L的反向弧，则LF(x,y)drLF(x,y)dr3、计算：设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t),仆(t:)，其中(t),。)在,上具有一阶连续导数，且y(t),2(t)2(t)0,则LP(x,y)dxQ(x,y)dyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dt(t)(t)'L上点(x,y)处的切向量的方向角为:4、两类曲线积分之间的关系:x设平面有向曲线弧为L：ycos(t)2t)，cos(t)J2(t)2(t)'贝UlPdxQdyL(PcosQcos)ds(三)格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑

13、正向曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在QP.D上具有连续一阶偏导数，贝u有二pdxdy°PdxQdyDXyL2、G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则Q_Pxy曲线积分PdxQdy在G内与路径无关L曲线积分？PdxQdy0LP(x,y)dxQ(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分(四)对面积的曲面积分1、定义:设为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,n定义f(x,y,z)dSlimf(i,i,i)Si0i12、计算：“一投二换三代入”:zz(x,y),(x,y)Dxy,则f(x,y,z)dSfx,y,

14、z(x,y)、1zx2(x,y)zy2(x,y)dxdyDxy(五)对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设为有向光滑曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在上的有界函数,n定义R(x,y,z)dxdylim。R(i,i,i)(SJxy0i1同理，P(x,y,z)dydzlimP(i，i)(6%，0i1nQ(x,y,z)dzdxlimR(i,i,i)(S'0ii3、性质：1 )12,则PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy122 )表示与取相反侧的有向曲面，则Rdxdy

15、Rdxdy4、计算：一一“一投二代三定号”:zz(x,y),(x,y)Dxy,zz(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在上连续，则R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy,为上侧取“+”，Dxy为下侧取“-”.5、两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS其中,为有向曲面在点(x,y,z)处的法向量的方向角。(六)高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，的方向取外侧，函数P,Q,R在上有连续的一阶偏导数，则有PQR-dxdydzPdydzQdzdxRdxdydxdydzPcosQcosRcosdS(七

16、)斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面S的边界G是分段光滑曲线，S的侧与G的正向符合右手法则，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含？在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有RQPRQP八dydzdzdxdxdycPdxQdyRdzyzzxxy为便于记忆，斯托克斯公式还可写作：dydzdzdxdxdyoPdxQdyRdzxyzPQR第六章常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.能使微分方

17、程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.如果微分方程的解中含任意常数，且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程：g(y)dyf(x)dx或半h(x)g(y)dx对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解:g(y)dyf(x)dx2、齐次微分方程：y(与或者x()xy在齐次方程yd)中，令u乜可将其化为可分离方程xx人ydydu令u-,贝Uyxu,-xu,xdxdx代入微分方程即可。(1)形如yf(axbyc)的方程.令uaxbyc,则uaby,原方程

18、可化为u一af(u).bb(2)形如yf(a1xb1yc1)的方程.a2xb2yC2可通过坐标平移去掉常数项。3、一阶线性微分方程型如yp(x)yq(x)称为一阶线性微分方程。p(x)dx其对应的齐次线性微分方程的解为yCe。利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解p(x)dxp(x)dxye(q(x)edxC)。4、伯努利方程：yp(x)yq(x)yn(nQ1)将方程两端同除以yn，得ynyp(x)y1nq(x)(n0,1)令uy1n,则四(in)yndy,yn鱼，曲，于是U的通解双xdxdx1ndx(1n)p(x)dx(1n)p(x)dxue(1n)q(x)eC)。5、全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程(1)|y(n)f(x)型的微分方程(2)6.4.2y(n)f(x,y(n1)型的微分方程(3)6.4.3yf(y,y)型的微分方程8、线性微分方程解的结构(1)函数组的线性无关和线性相关(2)线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的