拓扑学第三次作业参考解答

1、拓扑学第三次作业参考解答4.16. 设X表示所有n阶实方阵的集合.对每个A=(a。)wX及正数名,定义U(A;a)=B=(bij)wX,i,j<n,a。一引<G.证明：全体U(A;约构成的集合是X上一个拓扑基.证明：为方便起见，记全体U(A;8)构成的集合为B，则只需证明B满足拓扑基的两条公理。(1) B是X的覆盖这一点是显然的。(2)设A=(aij),B=(bij)是两个n阶实方阵，?6是两个正数，不妨设工之6.并设C=9)U(A,;)-U(B,、).则依题意知，Vi,j<n,cjaj<%cj-巧<6.令了=min名一qaj,5-cjbj:1<i,j<

2、;n.则不难看出，U(C,)U(A,;)-U(B,、).因此，B确实是X的拓扑基。4.17. 设p是一个给定的素数，对每个正整数a,定义Ua(n)=n+mpamWLI,证明：1Ua(n)aw|J+nw|_是整数集口上的一个拓扑基.证明：由定义可知，VnwL,Vaw,nwUa(n)(取m=0就知道了)，故Ua(n)awU;nw|_是的一个覆盖。再设kWUa(m)cUb(n)(其中a,b是两个正整数，m,n=U),则存在两个整数r,s使得abk二nrp;msp.不妨设a之b,则m=n+rpa-spb,n=m+spbrpa.从而Vi运Ua(n),三jw使得i=n+jpa.于是i=(mspb-rpa)

3、jpa二m(sjpaj-rpa上)pbUb(m).这表明，Ua(n)一Ub(m)=Ub(m).由此可见，Ua(n)awU：nWl_确实是n上的一个拓扑基。5.3. 设X是Hausdorff空间，f:XtX为一连续映射，试证明其不动点集Fixf:=xX:f(x)=x是一个闭集.证明：只需证明不动点集的余集C=xXf(x)#x)是开集就可以了。设xWC,则f(x)#x,于是由T2分离性知，存在开集UwN(x),V三N(f(x)使得UCV=电又由f的连续性，存在开集UieN(x)使得f(U1)uV.令W=UCU1，则WwN(x)且W=C,这表明x是C的内点。再由x的任意性知C是开集。5.5. 证明：

4、(1)Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间；(2)如果f:XTY是一个闭的双射(即一一映射)，而X为Hausdorff空间，则Y也是Hausdorff空间；(3)如果f:XtY是一个连续的单射，Y为Hausdorff空间，则X也是Hausdorff空间.证明：(1)设X是一个Hausdorff空间，A为其一个子空间。对于任意不同的两点x,ywA,由X是Hausdorff空间知，存在X中的开集U,V使彳#xwU,ywV,UeV=S令UA=Uca,Va=Vca,AA则易见有UawNa(x),VawNA(y),并且UaVa=.可见A也是Hausdorff空间。设f:XtY是一个闭

5、的双射(即一一映射)，而X为Hausdorff空间，对Y中任意两个不同的11,点yi,y2,记xi=f(yi)，x2=f(y2),则人,是X中两个不同的点，因此由假设，存在邻域U1=N(x,),U2wN(马闽导U1cU2=中由于f:XtY是闭映射，故由定理3.3,存在两个Y中的开集V产N(y1),V2wN(y2)使得f,(M)=U，f,M)匚U2.显然，VrV2=R可见Y也是Hausdorff空间。(3)设f:XtY是一个连续的单射，Y为Hausdorff空间，对于X中任意两个不同的点x1,x2,令y1=f(x1)，y2=f(x2),则y1，y2是空间Y中两个不同的点，从而由假设，存在V1wN

6、(y1),V2£N(y2)使得V1cV2=。由于f是一个连续的单射，故存在UN(x1),U2=N(x2)使得f(U户V,f(U)由V是单射知，U1CU2=(f/0f(5)C(f卬2)5心2=：,可见UCU2=4.因此X也是Hausdorff空间.5.8. 证明：如果X是正则工空间，则对任意不同的两个点x,ywX,存在U亡N(x),V亡N(y)使得U-V=.证明：设X是T1空间，则对任意不同的两个点x,yX,x,y都是闭集，又由正则性知，存在U1wN(x),VwN(y)使得U1cV1=在再利用定理5.3,知，存在UwN(x),VwN(y)使得UUUi,VVVi.显然，UcVuUiCVi

7、=e,因此UcV=e.5.9. 如果X是正规空间，则对任意不相交的两个闭集A,BUX,存在UWN(A),VwN(B)使得U-V=.证明：设X是正规空间，则对任意不相交的两个闭集A,BuX,由定义知，存在UiwNA,VW(N)曲彳©.又由定理5.4可知，存在UwN(A),VwN(B)使得UuUi,且VuVi.显然UcV=*.5.i5.证明：可数的正则空间是正规的.证明：设X是一个可数的正则空间，F是其任一闭子集，UWN(F).不妨记F=%nWK,其中Ku|_为可数集。则VnwK,$wU,故由正则性知，存在Un乏N(4)使得二U.由于显然有F仁|jUn，故由定理5.4即知，X是正规空间。

8、nEK5.16. 证明：正则的Lindelof空间必定是正规的空间.证明：设X是正则的Lindelof空间，F是任一闭子集，UN(F).对于任一xF,也有UwN(x),因此由正则性，存在开集U(x)使得xwU(为二百7)仁U这样就得到空间X的一个开覆盖U(x)xwFkJFc.由于X是Lindelof空间，故有可数的子覆盖U(xn)xnwF,n=NkJFc.显然F仁=山()人WF,nwN,且对于每个n,都有U(%)uU(=)=U.因此由定理5.4可知，X是一个正规空间。5.17. 设X满足T4分离公理，f:XtY为一满连续闭映射，则Y也满足T4分离公理.证明：设f:XtY为一满连续闭映射，X满足

9、T4分离公理，对于Y中的任意两个开集Vi,V2,若iii,VV2=Y，则f(Vi)Jf(V2)=f(V=V2)=X,因此由定理5.4知，X中有闭集EE使得一一二一一一一一一Euf(V),E2Uf(V2),且E1=E2=X.由f是满的闭映射，知Fi=f(Ei),F2=f(E2)都是Y中的闭集，且f(EI)uf()f,(M)=Vi,f(E2)ufC'fJ(V2)=V2,FF2=f(EJuf(E2)=f(E1E2)=Y.因此由定理5.4知，Y满足T4分离公理.6.3. 设X为完全正则空间，xwX,VUwN(x).证明：存在连续映射f:XTI使得f11)=卜,且f(Uc)u0的充分必要条件是x

10、为Gg集.证明：(设必要性)存在连续映射f:XtI使得f、1)=x,且f(Uc)u。,则由加=3(1)=£，1,1)='(1,1)njnnJn,1以及每个f(1,1)都是开集，即可知x为G6集.n0o(充分性)设&为G5集，则存在可数个开集U1,U2,|,Un,|使得x=0Un.对于每个自然数n,n1显然xWUn,因此由X的完全正则性，存在连续函数3：XtI使得fn(x)=1,fn(Un)匚。.令jfn(t)g：X>I,g(t)C+,-tX.nd21c则容易验证，g:XTI是连续映射，且g(x)=£f=1,又对于任一t#x,twx=Uu：,必定nm2N

11、存在一个n使得twu：,从而fn(t)=0,进而有g(t)<1.可见g,(1)=x.此外，由于UwN(x),故存在一个连续函数h:XTI使得h(x)=1,h(Uc)=0最后，令f=g力，则f:XtI连续，并且f"(1)=x,f(Uc)u0.n6.4. 设X是正规空间，51,111,是闭子集，满足="试证明：存在Ui亡N(Fi)(1EiWn)使i=1n得ns=.i=1证明：我们先证明如下这个结论：(1)若uu/lhun是x的一个开覆盖，则存在X的一个开覆盖v1M,lli,vn使得土Ui,i=1,2jll,n.n事实上，不妨设n22.令F1=X(J。，则F1是闭集，且F1

12、UU1.于是由正规性，存在V1wN(F1)使得i=2nF1uVuV；uUi.这样Vi,U2,"|,Un也是X的一个开覆盖。再令F2=X-(VHUi),则F2是闭集，13且F2UU2.于是由正规性，存在V2WN(F2)使得F2UV2UV2UU2.这样Vi，V2，U3，|,Un也是X的一个开覆盖。设已经得到X的开覆盖VnVIIIMnUj,其中每个iWn1,耳匚5.最后令nJFn=X-Ijvi,则Fn是闭集，且FnUUn.于是由正规性，存在VnWN(Fn)使得FnUVnUVnUUn.显然Vi，V2，|H，Vn,Vn满足要求。现在我们再来证明原先的结论。nn对于I集Fi,F2,|H,Fn,若

13、满足|Fi二/则UFic=X,因此由(1),存在开集ViMJIlM使得i1i1V,V2,|,Vn覆盖X,且ViUFic(i=1,21|l,n).记Uj=XM(i=1,2川|,n),则每个Ui都是开集，并且FiuUiuU?uViC(i=1,2J|,n).从而n因此有PliUi=ei16.5. 证明：X是正规空间的U对X的每个有限开覆盖U1,U2,l|,Un,存在n个连续函数f:XTI使得nVxWX,£f(x)三1,并且做WXUi,fi(x)=0.i1证明：给定X的一个有限开覆盖522,111,5,则由习题6.4证明的前半部分知，存在X的一个开覆盖&又2,|乂使得您=5=1,2,H|,n.对每个i£n,由啊引理，有连续函数gi:Xti使得g(“)用,gi(UC).由此得到一个连续函数g：=g+g2+M+gn：XT1,n,任一xWX,g(x)=g1(x)+g2(x)+HI+gn(x).x?X,由于V1,V2,|,Vn是X的覆盖，故存在i£n使得x?M,于是g(x)?g/x)1.可见g(x)i0.nViWn,令1=9:XtI,则fi是一个连续函数，且显然VxwX,£(x)三1.又对于任gpx=X-Ui,由g/x)=0可知，也有fi(x)=0.6