苏教版小学数学五年级上册《八用字母表示数：●钉子板上的多边形》优质课导学案_0

1、钉子板上的多边形教学内容：苏教版义务教育教科书数学五年级上册第108-109页。教学目标：1、通过研究钉子板上的长方形，让学生在操作、观察、猜测、验证等活动中发现钉子板围成的多边形的面积与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，会用含有字母的式子表示发现的规律。2、使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中培养比较、分析、推理和抽象概括的能力，增强发现问题、提出问题的意识，渗透数形结合的数学思想，发展学生的空间观念。3、通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，让学生积累数学活动经验，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，了解解决问题的一般过程和方法。教学重

2、点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。教学难点：渗透数形结合思想，体会数学研究的一般方法。教学准备：课件、个人学习材料、4人小组学习材料课前预习：课前布置学生完成如下预习作业：预习单1、下面多边形的面积各是多少平方厘米？请将结果填入表中。1cm图形编号多边形的面积（平方厘米）2、下面多边形的面积各是多少平方厘米？请将结果填入表中图形编号多边形面积（平方厘米）教学过程：一、导入新课这是的面积是多少？lcm块钉子板，每相邻两个钉子之间的距离为（出示1x1正方形）1厘米，这个正方形lrmicm2老师在钉子板上围的这个多边形（出示组合图形），它的面积是多少?拿出预习单，

3、说说你是用什么办法知道它的面积的？预设：A、用数方格的方法得到图形的面积。B、把这个图形转化成我们学过的规则图形，再用面积公式计算计算多边形的面积，可以用数方格的方法，也可以把它转化成已经学过的规则图形，用面积公式来计算。这些都是我们以前学过的知识。今天研究的多边形是在钉子板上围成的，它的面积可能什么有关？钉子板上的多边形的面积和钉子数之间有什么关系呢？今天我们就一起来探索其中的规律。（板书课题：钉子板上的多边形）二、探索内部钉子数是1的规律1、观察数据，初探规律。我们先从简单的图形入手研究，看一下你的预习单，这4个图形的面积分别是多少？谁来说一说。cm”7*7/起来数一数，每个多边形边上各有

4、多少枚钉子？（课件出示表格）<*e«*图形编号劣边形边上的钉子数/枚多边形的血积/平方厘米233,54|观察表中的数据，你有什么发现？如果用字母S表示多边形面积（板贴：多边形面积），用n表示多边形边上的钉子数（板贴：边上的钉子数），那么刚才的发现可以用在字母怎样表示？我们把这个发现记下来。（板书：S=n2）。2、引发冲突，激发欲望。那这个发现是不是适用于所有多边形呢？老师又围了2个多边形，请同学们一起来判断猜想S=n+2在这里能不能正确算出它们的面积。看一下预习单，这两个图形的面积你求出来是多少？我们一起来数一数它们边上的钉子数。它们的面积可以用边上的钉子数除以2来计算吗?形号

5、函编名边形边上的钉子数/枚5）n-E-2（平方厘米）多边形面积/平方厘米（S）10561269看来猜想S=n宁2可能不适合所有的钉子板上的多边形。那刚才4个多边形为什么可以？再看刚才的4个多边形，仔细观察，这些图形有什么共同特点？后来的2个多边形呢？看来我们发现的规律有一个前提条件一一多边形的内部只能有1枚钉子。谁来完整地叙述一下刚才我们的发现？（当多边形内只有1枚钉子时，多边形的面积数等于边上的钉子数除以2）看来多边形的面积不但和边上的钉子数有关，还和内部钉子数有关（板贴：内部钉子数）。如果多边形内部的钉子数用字母a表示，那么a=1（板书：a=1）时，S=n2。三、探索内部钉子数是2、3、4

6、的规律1、小组学习，探索内部钉子数是2的规律。刚才我们研究了a=1的情况，接下来我们继续探索。如果多边形内部有2枚钉子。它的面积与边上的钉子数又有什么关系呢？这次我们用四人小组合作的方式来进行研究，每人拿出研究单1。出示小组合作要求： 每人在点子图上画一个内部有2枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出面积，并填写表格。 每人把获得的数据在小组内交流，组长记录汇总。 小组观察表格中的数据，讨论交流，组长记录发现。研究单1小组合作，每个同学先在点子图上画一个内部有2枚钉子的多边形，并填写表格，组长汇总。图形编号多边形内部钉子数/枚(a)多边形边上钉子数/枚(n)n2/平方厘米多边形面积/cm2(S

7、)我们的发现学生小组活动，教师巡视、指导。请1个小组上来展示交流。这个小组发现多边形内部钉子数为2时，多边形的面积等于边上的钉子数除以2再加1。检查你画的内部有2枚钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。多边形内部有2枚钉子时，这里的面积不等于n+2,但和n+2有关系吗？(板书:a=2时，S=n2+1)小结：从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2枚钉子时，也就是a=2时，S=n2+1。2、比较观察，引发猜想内部钉子数是3的规律。刚才我们发现a=1时，S=r2,a=2时，S=r2+1,你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子时，(板书a=3)它的面积

8、与钉子数之间又有怎样的关系呢？(板书a=3时，S=n2+2?)请你在研究单2上画出一个内部钉子数是3的图形，算一算它的面积,填写下面的表格，看我们的猜想是否正确？你画出的是什么图形？验证的结果是什么？谁来交流？谁再来交流？你画的图形符合这个规律吗？看来，当多边形内部钉子数是3时，多边形的面积等于边上的钉子数除以2再加2,我们刚才的猜想是正确的。(擦去？)3、拓展延伸，揭示规律。刚才我们发现a=1S=n-2a=2S=n2+1a=3S=n2+2你觉得如果a=4,会有什么规律？a=5呢？下面就请你自己确定研究内容，画一画、算一算来验证。根据研究内容，小组分工在点子图上画4个不同的图形，并填写表格，组

9、长汇总。每人拿出研究单2,确定自己的研究内容。研究单2研究内容：a=猜想：根据研究内容，小组分工在点子图上画4个不同的图形，并填写表格，组长汇总。图形编号多边形内部钉子数/枚(a)多边形边上钉子数/枚(n)n-2/平方厘米多边形面积/cm2(S)我们的发现谁来交流一下？有研究a=4的吗？研究不一样内容的再来交流一下。现在你能发现钉子板上多边形的面积规律了吗?如果用a来表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么多边形的面积S可以怎样表示？（板书：S=n2+a-1）a=1时，符合这个规律吗？（看板书）那a=0时呢，我们一起看看两个多边形。1OJU5-2+0-1可以直接列式成5-2-1，

10、看来同样符合规律。4、适当介绍，拓宽视野。冈"才我们发现（板贴完整：多边形的面积二边上的钉子数宁2+内部钉子数1）,这就是数学上著名的皮克定理”一一人类有史以来“最重要的100个数学定理”之一，100多年前，奥地利数学家乔治.皮克第一次提出了这个计算公式，用字母表示是：S=n2+a-1o今天我们通过探索学习，也发现了这个规律，同学们，你们真了不起！四、回顾过程，交流体会我们一起来回顾刚才探索规律的过程，首先通过观察（板贴：观察）多边形和表中的数据，然后有了猜想（板贴：猜测），接着用大量的多边形验证猜想（板贴：验证），发现猜想需要修改和完善，最后得到了正确的结论（板贴：结论）。这就是我

11、们探索规律的一般过程和方法。五、解决问题1、现在再来看，这个多边形的面积可以怎么算？计算钉子板上多边形的面积又多了一个方法。lemIm2、两个多边形，哪个面积大?预设：A、用S二叶2+a-1这个公式计算；B、边上的钉子数相同，内部钉子数多的比较大。3、解决猴哥哥和猴弟弟的问题。猴妈妈知道猴哥哥和猴弟弟喜欢吃水果，就给它们每人分了1块地种果树，但是它们两个都不满意。你能应用今天所发现的规律解决猴哥哥与猴弟弟的问题吗？猴哥哥和猴弟弟的问题猴哥哥说：我的地一圈只有15棵树，而弟弟的一圈有4了棵树，弟弟的面积大！猴弟弟说：我的地里面只有16棵树，而哥哥的里面有17棵树，哥哥的面积大！数不清钉子数，怎么

12、办？你认为谁的面积大？为什么？六、全课小结，拓展延伸通过这节课的学习，你有什么收获？看来同学们的收获真多！既了解了数学知识，又学会了获取知识的方法。对钉子板上的多边形有兴趣的同学课后可以阅读格点与面积这本书。教学反思：本节课是苏教版小学数学教材新增加的内容，属于“综合与实践”领域中探索规律的课型。本节课是在学生学习了多边形的面积计算、用字母表示数并具有一定探索规律学习经验的基础上，开展“钉子数与图形面积”规律探究活动的。如何让小学生用适切的方式来理解深奥坚深的数学定理？我是这样做的：一、利用课前预习单，给学生足够的课堂探究时间史宁中教授说：“我们必须清楚，世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲

13、身经历。”要让学生有足够的时间和空间经历数学活动过程，学生只有通过亲身验证，才能品尝到探索过程的快乐，真正进入数学活动。以本课苏教版五上实践活动课钉子板上的多边形为例，学生必须亲自动手在钉子板上围一围，或在点子图上画一画，才能探究出内部钉子数是1、2、3、4时多边形面积与边上钉子数和内部钉子数之间的关系，从而得到S=n-2+a-1的结论。如果不经历这样的探究活动，教师只让学生死记硬背这样一个公式，那么，过不了几天，这个公式就会被遗忘，再也想不起来了。有的老师说一节课只有40分钟，如何让学生在课堂上有足够的探究时间？我们可以把低层面的东西交给学生课前去自学，老师在课前可以提供预习单，让学生用已经

14、学过的方法计算内部钉子数是1的4个多边形的面积及用来验证结论的多边形的面积，在课堂主要进行的是观察、实验、猜测、验证、推理交流等数学活动过程，从而使学生聚焦于探索知识的本质。二、提供适切的学习材料，真正落实小组合作学习对于培养学生的沟通与合作能力来说，小组合作学习勿庸置疑是非常好的学习方式。如何真正的落实小组合作学习？小组合作学习也要有组织形式上的保障，组长组员各司其职，有明确的任务要求。教师要给小组合作学习准备充分的学习材料，学习材料要符合学生的认知起点，要在学生的最近发展区，同时又要有思维含量，能激发学生的探究欲望。在本课苏教版五上实践活动课钉子板上的多边形一课的小组活动中，我给学生提供了3次研究单：研究单1：小组学习，探索内部钉子数是2的规律。在小组合作的探索活动中，学生先每人画一个内部钉子数是2的多边形，小组汇总数据，观察发现，提出猜想。再鼓励学生利用此前的探索经验自主开展操作、比较、发现等活动，得出内部钉子数是2的多边形面积的规律。从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2枚钉子时，也就是a=2时，S=n+2+1。研究单2：比较观察，引发猜想内部钉子数是3的规律。在发现a=1时,S=n+2,a=2时，S=n+2