平面向量知识点总结

1、平面向量知识点小结、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么提示：向量可以平移.uiurr举例1已知A（1,2） , B（4,2）,则把向量AB按向量占（1,3）平移后得到的向量是 . 结果：（3,0）r2 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,规定：零向量的方向是任意的；uuuruurAB3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是第）；I AB|4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5 .平行向量（也叫共线向量）：方向相

2、同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ar r/ b ,规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！（因为有0）；uuur uur三点A、B、C共线 AB、AC共线.6.相反向里：长度相等方向相反的向里叫做相反向里 r r . r r举例2如下列命题：（1）若|a | | b| ,则a b .a的相反向量记作a.(2)(3)(4)(5)(6)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同若AB Duu ,则ABCD是平行四边

3、形.若ABCD是平行四边形，则 AB DCu .r r r 一. r r右 a b, b 5贝!2 c .若/b, b/C则a/C.其中正确的是结果：（4） （5）、向量的表布方法1 .几何表示：用带箭头的有向线段表示，如2 .符号表示：用一个小写的英文字母来表示,3 .坐标表示：在平面内建立直角坐标系，r基底，则平面内的任一向重 a可表不为a xi 做向量a的坐标表示.uuuAB ,注意起点在前，终点在后；如 a, b, r等；以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ryj （x, y）,称（x, y）为向重a的坐标，r r , i , j为(x, y)叫结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐

4、标与向量的终点坐标相同三、平面向量的基本定理定理设或e2同一平面内的一组基底向量, r r r（1, 2） , 使 a 1e 2e2 .a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对（1）定理核心：a 4 总；（2）从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.（3）向量的正交分解：当e1,&时，就说a21e1占&为对向量a的正交分解.举例 3（1）若 a （i,i）, br （i, 1）, tr （ i,2）,则 c .结果：1a 9b.22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是Brrrrrrrr 13A. e （0,0） , e2 （1, 2） B.

5、 01 （ 1,2） , e2 （5,7） C. e （3,5） , e2 （6,10） D.e1 （2, 3） , e, 4iuir uurujiruuu r uuurr 一结果:（3）已知AD,BE分别是zABC的边BC , AC上的中线，且AD，BE b ,则BC可用向量a,b表示为 .41b .3 iuiruuur(4)已知ABC中，点D在BC边上，且CD 2DBuuur uur uuurCD rAB sAC，贝lj r s的值是 .结果：0.四、实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量，记作a,它的长度和方向规定如下：（1）模： a 11 11 a ；（2）方向：当 0时，a的方向与

6、的方向相同，当 0时，a的方向与a的方向相 一， 一， r r 反，当 0时，a 0,)称注意：a 0.五、平面向量的数量积1 .两个向量的夹角：对于非零向量a, r为向量a, b的夹角.uuu r uuuu r作 OA a , OB b ,则把 AOB (0r 一， ，当0时，a, b同向；当时,r 一， ，b反向；当 万时,2.平面向量的数量积：如果两个非零向量r r叫做a与b的数量积(或内积或点积)规定：零向量与任一向量的数量积是 注：数量积是一个实数，不再是一个向量 .,记作:0.rb,匕们的夹角为r r ，即a biaiABC 中,uuur uuur|AB| 3 , |AC|(2)已

7、知(3)(4)已知已知1,122 ,0,1 2r r |b | 5 , a b4 ,rkbuuurIBC | 5 ,iuur 则ABUUUT BCr3 ,Mir r.一，_ 一a,b是两个非零向量，且r r3.向量b在向量a上的投影:iar |b| |arb| _ r b I，结果：23 .ra b的夹角为r|b|cosrr举例5 已知1a13, |b|5,且abr r4. a b的几何意义：数量积12 ,则向量r r堡干 a b等十5.向量数量积的性质：设两个非零向量(1)(2)r ra b当a、ra当r I a rr ra b 0；rr rb 同向时，a b a 11 b r ra , b

8、垂直.r,我们把数量iaiibir| b |cos .结果：9.结果：1.结果：30°.,它是一个实数，但不一定大于a在向量br上的投影为结果:0.12.5cos的模ii与b在a上的投影的积特别地,r 1r 一，一 、一，一一 |b|是a、b同向的充要分条件;b反向时,当为锐角时,当为钝角时,rarar ar b r biai ib且a、 且a、r rI, a b r .b不同向, r 一 b不反向;山r ar a其夹角为(3)非零向量rb夹角的计算公式:cos举例r6(1)已知a(,2rb (3r2 a24Ia2 ；0是0是r /a b-r *|a|b|(2)已知AOEQ的面积为(

9、3)r ,.、已知 a (cosx,sinx),口 wur且OFrb反向的充要分条件;为锐角的必要不充分条件;为钝角的必要不充分条件-r r r r; a b |a | b |.r,2),如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是uur 丹 13 uuir umrFQ1 ,右 1S 23 ,则 OF, FQ夹角22(cosy,sin y),且满足 | ka b | 731a kt) | (其中 k结果:的取值范围是结果:/(k 0)4krr r. r用k表示a b ；求a b的最小值，并求此时a与b的夹角 的大小.uuur r rac叫做a与b的和,r uuub ABUUT UUrBC AC ;6

10、0o.六、向量的运算1 .几何运算(1)向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则4uur r uur r运算形式：若AB a , BC b ,则向量, 作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量 .(2)向量的减法运算法则：三角形法则.一uurr uurr rr运算形式：右ABa , ACb,则abuuu uuur uuuAB AC CA,即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同 .,_ UUT LULT举例7(1)化简：AB BCuut rCB ;0 ;UUUTCDUUT ABUUT UULUAD DCULUT；(ABULurCD)LUUT LU

11、UT(AC BD)ULUT结果：AD ;(2)若正方形ABCD的边长为UUT t 1, AB a ,(3)若O是4ABC所在平面内一点，且满足UUTBCUUITOBLULTr r| a bULT2OAC|结果: ABC的形状为.2/2 ；结果:直角三角形；(4)若D为4ABC的边BC的中点，4ABC所在平面内有一点P ,满足ULUPAUUTBPULTuut r 、r | APIcp o ,设 LUUPJ,则|PD|的值为结果：2;(5)LUUTUUT若点O是4ABC的外心，且 OA OBLULT线上.2.坐标运算：设a (x，y1) (1)向量的加减法运算：举例 8(1)已知点 A(2,3)

12、, B(5,4)r br bCO 0 ,则AABC的内角(x2 , y2), 则(x X2,yiLULTC(7,10),若 APUUUTABy2),UUTAC(R)rb(X1,则当结果：120。.X2,yi y2).一时，点p在第一、三象限的角平分结果：2一，_1 1UULT(2)已知 A(2,3), B(1,4),且 1AB2(3)已知作用在点A(1,1)的三个力 (2)实数与向量的积：(sin x,cos y) , x, yUrF1(3,4)raLLT，F2(2,(万,万)'则ur.,人 心 w uu uur5) , F3 (3,1),则合力 FF1F2结果：_或_62Fr的终点坐

13、标是结果：(9,1).(X1,y“ULUT(3)右 A(x1,y1) , B(x2,y2),则 AB(X2量的有向线段的终点坐标减去起点坐标“UUT举例 9 设 A(2,3) , B( 1,5),且 AC1 UUT 1AB ,lultADx, y)."2%),即一个向量的坐标等于表示这个向(4)平面向量数量积：a举例10r ，.、已知向重 a (sinx,cosx),3 r br bLULT3AB ,ym.，.、 r(sin x,sin x) , c(1)若rx ,求向重a、3X -,-,函数rc的夹角;r f(x) a的最大值为则C,D的坐标分别是结果：吟,(7,9).(1,0).

14、求的值.结果：(1)150。；(2)或2(5)向量的模：a2|a|2r r举例11已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么1a2 y r 3b|结果：13 .(6)两点间的距离：若A(x1,y), B(x2,y2),则| AB | 辰举例12如图，在平面斜坐标系 xOy中， xOy 60。，平面上任一点P关于斜坐标系 UUT r rr r的斜坐标是这样定义的：若 OP xe y2,其中e,e2分别为与X轴、y轴同方向的单 位向量，则P点斜坐标为(x, y).(1)若点P的斜坐标为(2, 2),求P到O的距离|PO | ;(2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程.结果：

15、(1) 2; (2) x2 y2 xy 1 0 .22X) (y2 y1).y60o- O七、向量的运算律1.交换律：2.结合律:r ar arbrb3.分配律:举例13给出下列命题:r br c)aa(a( r b)a(T) aa)c.(r a(ar r a c ;)a r br b)rr , r若a b 0,贝ua 0或b其中正确的是结果：r ar arar r(b 5r br (br b(a 1a ； c), (ab) c ；r rc；ar a2；器 aa)bb) c(a r crb):r rb c.r(b)r r 2 r 2(a b)2 |a|2r r ,2|a|b| |b|2；,2；

16、(§)(b)2 a2 br2 ；(a b)2a2 2ab b2.说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除rr(2)向量的“乘法”不满足结合律，即 a (b c) d b) c,为什么(相约)；八、向量平行 r r a/b(共线)的充要条件举例(2)(3)14 (1) r 已知auur 设PAr 1ra b若向量(1,1),r r(a b)(K1),> (4,x), uuur br u(|a|b|)2(4,x)

17、,当(k,12) , PB (4,5)rauuurPCr 2b , ,(10,k)xU2 丫的 0 .r . r 一、，,一时，a与b共线且方向相同2a b ,且 u / /r ,贝1J x .则k 时，A,B,C共线.结果：2.结果：4.结果：2或11.九、向量垂直的充要条件特别地举例15r r a buuu AB uuu|AB|uur 已知OA0 |a b | | ab|uuuruuuuuirACABACuuuruuuuuu|AC|AB| AC|uiuruur(1,2),OB (3,m),若OA lrrX X2V1 V2uuurOB ,贝lj m0.结果:(2)(3)以原点r 已知nO和A

18、(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ,r r r r r(a,b)向重n m,且|n|m|,则m 的坐标是B 90 ,则点B3m 2 ；的坐标是结果:(1,3)或(3, 1);结果：(b, a)或(b,a).十、线段的定比分点1.定义：设点P是直线PP2上异于P、B的任意一点，若存在一个实数uur 使PPuuurPP2 ,uuuu则实数 叫做点P分有向线段P1P2所成的比点.,P点叫做有向线段uuuuP P2的以定比为的定比分2.的符号与分点(1) P内分线段(2) P外分线段P的位置之间的关系uuuuP1P2,即点P在线段PP2上0；向延长线上uuurP1P2时，点P在线段PP2的

19、延长线上0.1 ,点P在线段PP2的反注：若点P分有向线段 版所成的比为 ，则点P分有向线段uuuuP2P所成的比为.举例16若点p分AB所成的比为3 ,则a分Bp所成的比为43.线段的定比分点坐标公式：结果:设 P(X1, y1)uuuuP2(x2,y2)，点P(x,y)分有向线段PP2所成的比为,则定比分点坐标公式为Xix2V1(V21).Xix2x ,特别地，当1时，就得到线段PP2的中点坐标公式2y 2说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确 (x,y) , (x,y。、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终

20、点，并根据这些点确定对应的定比举例17(1)若M ( 3, 2) , N(6, 1),且MP11湍，则点p的坐标为 结果：(61)；331uuuuruuu r(2)已知A(a,0) , B(3,2 a),直线y 1ax与线段AB交于M ,且AM2MB ,则a.结果：2或 40按向量a(h,k)、平移公式如果点P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y),则x x h,;曲线f(x,y) y y k.平移得曲线f(x h, y k) 0.说明：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18(1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2),则按

21、向量a把点(7,2)平移到点. 结果：(8,3)；(2)函数y sin 2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是 y cos2x 1,则a . 结果：(_,1). 4十二、向量中一些常用的结论1 . 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； r r r2 .模的性质：|ar| |b| |a b| |ar| |b|.r rr r . r r r . r(1)右边等号成立条件：自、b同向或a、b中有0|3b | |,31 |b|；rr r r r(2)左边等3成立条件：a、b反向或a、b中有o a b|a1；一 ，.r r 一 八rrr r r r(3)当 a、b 不共线|a| | b |a b | | a | |b |.