武汉市部分重点中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析

1、武汉市部分重点中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）全卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共80分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.在数列“中，卬=一1，"”=1 一一!一（>1）,则 Wow 的值为（）4 1A. B. C. 5D.以上都不5 4对【答案】A【解析】【分析】列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得刈9的值.,1 u ,14,11【详解】依题意4 = 1 一一 = 5，% = 1一一 = £，

2、% = 1一一 = 一7 = 4，故数列是周期为3的aa2 5%44周期数列,故。2019= % =彳，故选A.【点睛】本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.2 .向量石=（2j）, S =（-1,3）,若Z，否的夹角为钝角，则/的范围是（）222A. /< B. C. fv Hrw 6D. i < 6333【答案】C【解析】【分析】若d, B的夹角为钝角，则万且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.【详解】若不，B的夹角为钝角，则后/；<（）且不反向共线，_2不 =_2 + 3/<0，得，向量” =（2,f）, 5=（-1,3）共线时，2

3、x3 = T,得，=-6.此时a=2九2 所以，一且/ w-6.3故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0,容易忽视反 向共线时，属于易错题.3 .在A3C中，角A, B , C的对边分别为b , c ,若c-acos8 = （2a-0）cos A,则A3c为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】2, 2222» 2余弦定理得 cos4 = m'cos8 = e 代入原式得 2bc2acH =+-=2c2bc2clac2bc解得a =。昵2 -/ +b2 =0则形状为等腰或直角三角形,选D

4、.点睛：判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A + B + C = ti这个结论.4 .九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所 得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两 人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各 得多少钱？ ”（ “钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）5 435A.钱B.钱C.钱D. 一钱6 323【答案】B【解析】设甲、乙

5、、丙、丁、戊所得钱分别为a - 2d,a - d,a,a + dM +2d ,则-3-a = -6da-2d +a-d =a+a + d + a + 2da 44a 2d + a - d + a + a + cl + a + 2cl = 5. = 1，则。-2" =-2x =。=一，故选 V 6 7 33B.5.已知平面向量1 ,b是非零向量，i 1=2, 2 _L（2+21），则向量石在向量方向上的投影为（）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到Z（Z+2坂），=0,化简得到2 坂二-2,再根据投影的定义即可求出.【详解】,平面向量3是非零

6、向量,1>2, ）J_（G+21）,， （+2）,二0,RP«2（« + 2/?） = 0即£ 坂二-2向量坂在向量“方向上的投影为丁丁 =-1, 同2故选B.【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用.解答关 键在于要求熟练应用公式.6.已知AABC 内角A、3、C的对边分别为。、b、c,且272-cosC = 2+c ,若b = 3, 则AA8C的外接圆面积为（）B.7112C. 12乃【答案】D【解析】【分析】先化简得8 =专，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得A48C的外接圆面积.、比（中、,a2 +b2 -C2。【详

7、解】由题得2/?,=2a+ c ,2ab所以= 2a2+act所以 4202+。2=一。，所 以 2c cos B = -ac, cosB ,2所以8 = 2.3,二2R.:.Rf由正弦定理得正T所以AA3C的外接圆面积为4.J二3小故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平和分析推理能力.7已知数歹小机中，an=n2-kn(neN),且aj单调递增，则k的取值范围是()A. (-8, 2B. (一8, 2)C. (-8, 3D. (-8, 3)【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性可得am-an>0对于nCN*恒成立，建立关系式，解之

8、即可求出k的取值范 围.【详解】数列QJ中外=/一如ReN) 且值)单调递增- %>0 对于 n£?T恒成立即(n+1) : - k (n+1) - (n: - kn) =2n+l - k>0 对于 n£N*恒成立Ak<2n+1对于n£N*恒成立，即k<3故选D.【点睛】本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n 的取值是解题的关键，属于易错题.8.在A3C中，已知“ = %,"=2.8 = 60 ,如果6c有两组解，则工的取值范围是（）【答案】A【解析】【分析】已知“力,B,若aA6c有两组解，则

9、asin3cbe。，可解得x的取值范围.【详解】由已知可得asinBvbca,则xsin600<2<x,解得2cxe 士丹.故选A.3【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.若ABC中，已知且3为锐角，若OvbcosinB,则无解：若 = sin8或/?之。, 则有一解：若。sin3</?，则有两解.9.一艘海轮从A处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东15°的方向直线航行，20分钟后 到达8处，在。处有一座灯塔，海轮在A处观察此灯塔，其方向是南偏东60° ,在3处观察, 灯塔在其正东方向，那么8, C两点间的距离是（

10、）A. 10。海里B. 10港海里C. 20后海里D. 206海里【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，利用正弦定理即可直接得解.【详解】如图所示，易知，在A8C中，A8 = 20海里，ZCAB = 45°, ZACB = 30°, 根据正弦定理得 *77 = -,解得BC = 203（海里）.sin 45° sin 30°故选：C.5.It【点睛】本题考查了正弦定理的实际应用，关键是转化出条件，属于基础题.10.若OB =y/3, OA OB = 0 点。在相上，且ZAOC = 30°,设OC = mOA + nOB 5”R），则:的值为

11、（）A 1r &小A. d. 3C. 33【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积运算即可算出.【详解】解：.NAOC = 30°.一/. cos < OC,OA >=2.OC OA _ >/3"|oc|oX|-T（?OA + nOB yOA 途一人?赤+彷阚2m |o>4| + nOB - OA小J/ W+ 2廊丽+ "词"研 2,., |。4 卜 1，|。同=>/ , OA - OB = 0 一下J/ +3 22 :.nr =92 故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共

12、线定理等 知识的综合应用.11.若等差数列“的公差，/¥0,前项和为S“，若DieN* ,都有S“W，o,则（）A. d>0B. «9-«10 >0C. S2 > S17D. 19 > 0【答案】D【解析】【分析】由都有S.S|o,可得“<0吗0之。,孙。，再根据等差数列的性质即可判断.【详解】.等差数列”的公差”00，VeN都有SnKHo，.q° NO"/ <0,，九二火泡=%。222故选:D.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.12.给定两个单位向量C5,加，且西.彷=-正，点。在以。为圆心的圆弧

13、A8上运动,2OC = xOA + yOB ,则J5x-y的最小值为（）A. -73B. -1C. -2D. 0【答案】B【解析】给定两个单位向量次，OB，且34.朝=正则408 = 2,26建立如图所示的坐标系，#则 A (1, 0), B (cosl50° , sinl50° ),即 B1，一设NAOC=a. 0<a<12 2)则(9C = (cosa,sina)因 OC = xOA + yOB 则6x-y = cos6z2 .1y = sin a12,x = cos a+ 5/J sin a y = 2sina所以 VJx-y = COS6Z +VJsin

14、a)-2sina = y/3coscz + sin<z = 2sin a + 357r4乃 74因为 0 W。< ， < a + < 6336/. sin.底一）,£一1,2所以故选B有最小值T.第II卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.下列命题中正确的有,（填序号）两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同: 若 则 a = b t若而=反，则A，氏CO四点构成平行四边形: 在口施力中，一定有而=云:若a = b > b =c 9则座=c ：若dB，bHc>则距:【答案】【解析】【分析】根据向量的相等，向量

15、共线的概念，可得答案.【详解】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等：但两相等向量，不一定有相同的起点 和终点，故不正确：同二|可，由于不与B方向不确定，所以不与B不一定相等，故不正确：“=反，可能有4 B, G 在一条直线上的情况，所以不正确：在加砥?中，48 = CDA8CO,所以一定有协=比，所以正确：显然正确：零向量与任一向量平行，故引向，应化时，若B = 6,则d与3不一定平行，故不正确.故答案为：.【点睛】本题考查向量相等，向量共线的概念，关犍在于从向量的方向和向量的大小两个方 而考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题.14. AA3C的内角A,氏C的对边分别为若

16、MBC的面积为包上二I,则4A=.【答案】y （或120D【解析】【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解.【详解】解：由余弦定理可得才-6 - 1 - 2AC0S月，月欧的面积为7' （）=- 5bccosA，42又因为 S= -besin A = - -Z?ccos A， 22所以 tanA= -、/J ,由（0, n ）可得力=三.故答案为：y【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题.15.设S”是数列qr的前项和，且=1, qm=-S£u，则S?侬=【答案】 2020【解析】【分析】1代入册川=工.一工，再证明;为等

17、差数列,继而求得不的通项公式再计算Sqo即可. 3【详解】因为=一5£二所以,s+s” =s"s11, 1即：一不=1,所以，数列丁是以1为首项,1为公差的等差数列,1 一 1 一 1所以，=1+ (n1) X1=a,所以，S =一,所以，Sg)=Snn2020故答案为：募【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题.16 .在6c中，角A, B,。的对边分别为。，/?, c,己知 sin2 A 4-sin2 C = sin2 B4-sin Asin C > 若A3C 的面积为二9,则当。+c 的值最小时4【答案】3x/3【解析】由 sin2A +

18、 sin2C = siif 8 + sirtAsinC及正弦定理可得+c2 =b2 +ac所以由余弦定理的推论可得3"匕三=妥=5'因为°<8<乃,所以於名因为入43。的面积为 ,所以! ocsinB = acsin = -t/c =,即 4c = 3 ,422344所以 + cN2疝 =26，当且仅当a = c = 时取等号，所以a+c的最小值为 此时。=C, B = g 所以aABC是等边三角形，故4+C的值最小时A3C的周长为3j§.三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知b »

19、 1在同一平面内，且：=(1,2).(1)若 I c 1= 2>/5 » 且 Z £ ,求 2 ;(2)若由=乎,且(£ + 2山(21矶 求£与万的夹角.【答案】(1)5 = (2,4)或 = (-2,-4) (2)江.【解析】【分析】(1)设m=(x,y),根据5彳，得到2x-y = 0,再根据工1=2番，建立方程组求解.(2)根据石+4_L加一 B，得到3+ 25)(21 - 5) = 0,结合1万|2=5,，求得,石, 2再求夹角.【详解】设下=«)，./%，)= (L2),：.2x-y = O, ：.y = 2x,Vlcl=2&

20、gt;/5 , yjx2 + y2 = 2x/5，：.x2 + y2 = 20,即W+4x2=20，x = 2(x = -2/.j 或/y = 41y =，云=(2,4)或三= (-2,-4).(2) a + 2b 12ci-b .，® + 25)(2M 5) = 0, 2 不？+3 1B 22 =0,即211|2 +32.5-2而=0又京|2=5, RF=(虫)2=2 24一 52x5 + 3)b-2x = 0, 4. 75.a b = 一， 2V|5I=V5 ,浴1=省5八 n,i)/. cos 6 =a-bV<9e0f ：.0 = 7t.【点睛】本题主要考查平而向量的基本

21、运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.cos Rb18,在中，”,4c分别是角A,民C的对边，且.cosC 2a + c（1）求3的大小:（2）若 =Ji9,a + c = 4,求A43C的面积.【答案】（1）B = 3（2） =gacsinB = >/3.【解析】试题分析：（I）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公 式和诱导公式进行求解；（H）先利用余弦定理求出砒=3,再利用三角形的面积公式进行求 解. 1、皿& z t x cosB b cosBsinB试题解析：（I）由=-=-cosC 2a+ c cosC 2sinA + sinC=>

22、; 2sinAcosB+cosBsinC = -sinBcosC=> 2sinAcosB = -cosBsinC - sinBcosC=> 2sinAcosB = -sin （B + C） => 2sinAcosB = -sinA => cosB = 一 g乂 0<3<兀，所以 8 =.3，27r(H )由余弦定理有 b2 = a2 + c2 - laccosB = (a + c)- - lac - 2accos 三,解得ac = 3，所以 S bc = 'acsinB = :- “处 24点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算

23、量，若本题中的>2兀b2 = a2 + / -laccosB = (a +- lac-2accos ?.19 .设S为等差数列q的前项和，% =10, 5U = 11.(1)求数列n的通项公式: (2)求S“的最大值及此时的值.【答案】an=-3n + 9. (2)当 =6时，S有最大值为S。=51【解析】 【分析】(1)根据已知条件列出关于卬,"的方程组，求解出卬，4即可求出通项公式: (2)利用d0对应“为递减等差数列，根据0确定出的取值，从而S”的最大 值以及取最大值时的值都可求.【详解】(1)设色“的公差为4,由%=1。可得/+2" = 10,由S“ = ll

24、可得11% +554 = 11,所以aA+2d = 0 aA + 54 = 1d = 3-17-所以 an =16 + (n-l)x (-3) = -3 + 19；(2)由an =-3?/ + 19>0a. =-3n + 16<0. f I 1解得詈当所以当 =6时，S”有最大值，此时最大值为4=51.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将s的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出5的最大值 以及取最大值时的值.mrg j i _3x - ix rx .1 门 八江20.已知向量a =|cos ,sinj, b

25、=|cos-,-sin - J且(1)求l石及彳+耳:(2)若f (x) = %B-网方+牛inx,求f(x)的最大值和最小值.【答案】(1)= cos2x. il + b = 2cosx (2) f(x) . =-2 ； f(x) = 1 J /minJ /max【解析】试题分析：由平面向量数量积的坐标运算法则可得：，石= cos2x， a+h = 2cosx./ 、 一 E3x x .3x( . x(1) a-b = cos cos + sin -sin =222 12)a + b = j2 + 2cos2x = >/4cos2x,/ x e o, yj cosx > 0/.

26、ci+b =2cosx(2)由(1)知：f (x) = cos2x-V?- 2cosx-7T'7T 7T 4 x e 0,. 2x + e ,2J3 13 3.fn C 1" 1cos 2x + J -1,当2x +=4即x =三时，f(x) =-2当2x +巳=巳即x=0时，/ (x)= 133J、/g、21.在锐角AABC中，角A民C的对边分别为,=cos2xsiirv =cos2x->/in2x = 2cos2x +f4 sin 8 +sin C1,九 c , tan A =.cos B + cos C(1)求角A的大小:(II)首先化简函数的解析式，然后结合三角

27、函数的性质可得/(x)而=-2 ； /(x)nm=l. 试题解析：(2)若 =求尸+02的取值范围.【答案】 = - (2) (5,6. 3【解析】【分析】(1)利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角A的大小：(2)先求得B+C=?，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到b=2sinB, c=2sinC,b-+c-4+2sin (2B -) 及 B 的范围，得一Vsin 62范围.常八，、rk sinA sinB + sinC【详解】(1)由=cosA cosB + cosC得 sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB-cosAsinCi即 sin (A-B) =sin (C-A),则 A-B = C-A,即 2A = C+B,即A二三.3B(三232c=2sinCt-£)wi,从而得到b'+c的(2)当 时，B+C=2三，AC=- -B.由题意得 < 337tn. a hcjA - <B< -,由=2,得 b=2sinB,62 s