同济大学第六版高数第3章1ppt课件

1、xfxffx )()(lim)( 0 xyoy=f(x)处处切切线线的的斜斜率率在在表表示示曲曲线线 xxfyf)()( 预备知识预备知识 2 Cabxyo)(xfy AB( (几何解释）几何解释） ),( 内内至至少少有有一一点点则则在在baD 上连续上连续在闭区间在闭区间 , 1ba罗尔定理罗尔定理 若函数若函数 f(x)满足满足 内内可可导导在在开开区区间间 ),( 2ba )()(3bfaf 0)( f使使证：证：.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2

2、(mM 若若),()(bfaf . 取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在)()( fxf, 0 , 0 x若若xfxf )()(则则有有, 0 x若若xfxf )()(则则有有xfxfx )()(lim0 xfxfx )()(lim0,)(存在存在 f),()()( fff. 0)( f )(f; 0 ; 0 )(f; 0 ;0 1010 xx 0155 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且使使),1 , 0(0 x即为方程的小于即为

3、方程的小于1 1的正实根的正实根. .,),1 , 0(011xxx 设设另另有有,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),(10 xx . 0)( f)(xf 但但, 0 矛盾矛盾, ,.为为唯唯一一实实根根)1 , 0( x0)(0 xf. 0)(1 xf使使)1(54 x一个小于一个小于1 的正实根的正实根例例1 证明方程证明方程有且仅有有且仅有注意注意: :若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, ,abafbfKAB )()(xyoabABy=f(x)BxabAy=f(x)yoxyo

4、abABy=f(x)( fabafbf )()(其结论可能不成立。其结论可能不成立。y1 2 abxo)(xfy ABCD( (几何解释几何解释) )成成立立使使)()()(:abfafbf 拉格朗日定理拉格朗日定理若函数若函数 f (x) f (x) 满满足足上上连连续续）在在闭闭区区间间（, 1ba内可导内可导）在开区间）在开区间（),( 2ba),(ba 则则至至少少存存在在一一点点)()()(abfafbf 分分析析：?)( xF,)()()()(abafbfxfxF )()()()()(axabafbfxfxF abafbff )()()(0)()()( abafbff0)( F）（

5、设设证证axabafbfxfxF )()()()(:上上连连续续，在在,)(baxf上上连连续续，在在,)(baxF内内可可导导在在),(ba内内可可导导在在),(ba. 0)( F则则使使得得0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式)()()()()(ababafbfbfbF )()(afaF )(af , ),( 内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续，在在注注：设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则则有有),(,00baxxx ，0)( xf推论推论,:2

6、1baxx 任任取取证证0)( xf),(21xx 至至少少存存在在一一点点)()( 12xfxf 即即0)()(12 xfxf若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续, 在在(a,b)内内恒有恒有则函数则函数 f(x) 在在a,b上是一个常数上是一个常数.)()()( 1212xxfxfxf 使使故故 f(x) 是一个常数是一个常数 f(x) 在在x1,x2连续，在连续，在(x1,x2)可导，可导，例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证证明明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)(

7、xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx,1xxx 例例3 3.)ln(, xxxxx 110时时证证明明当当证证:),1ln()(ttf 设设)0(),0)()0()(xxffxf ,)(,)( 1100ff由上式得由上式得,)ln( 11xxx 111, 11111 x 1x.)1ln(1xxxx 即即 f(t) 在在0,x连续，在连续，在(0,x)可导，可导，oXY)(bFB)(aFA)(1 F)(2 FC )()(:xfYxFXL柯西定理柯西定理如果函数如果函数 f (x)、F(x)满足满足使等式使等式 成立成立 )(

8、xF )()()()()()( FfaFbFafbf（1在闭区间在闭区间a, b上连续上连续,（2在开区间在开区间(a, b)内可导内可导,且在且在(a, b)内每一点处内每一点处均不为零，均不为零，则在则在(a, b)内至少有一点内至少有一点 ,)()()()(aFbFafbfKAB )(),(),(),(bfbFBafaFA端端点点：D)(1 F)(2 FXoY)(aFA)(bFBC)(xFNM )()(xfYxFX)()()()()()(:aFXaFbFafbfafYAB 弦弦分析分析:)()()()()()()(aFxFaFbFafbfafY 证证 设设 , )(满满足足罗罗尔尔定定理

9、理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx , 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf)()()( fabafbf罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中

10、值定理之间的关系；之间的关系；Rolle定理定理)()(bfaf Lagrange中值定理中值定理xxF )(Cauchy中值定理中值定理注：注：xxF )()()(bfaf 0)( fACDxyo)(xfy ab1 2 几何解释：几何解释： 一条连续曲线一条连续曲线AB ，若除端点外，处处有，若除端点外，处处有不垂直于不垂直于x 轴切线，则该曲轴切线，则该曲线上至少有一点的切线平线上至少有一点的切线平行于端点连线行于端点连线AB。BD)(bFBC)(1 F)(aFA)(2 FXoY )()(xfYxFXab1 2 xoy)(xfy ABCD ),3)(2)(1()( 4不不求求出出导导数数设

11、设例例 xxxxxf在的区间。在的区间。根的情况，并指出根所根的情况，并指出根所讨论讨论0)( xf 3 , 0)( 上连续、可导上连续、可导在在由由解解xf0)3()2()1()0( ffff且且1 )1 , 0( 内内至至少少存存在在一一点点在在0)(1 f使使2 )2 , 1( 内至少存在一点内至少存在一点在在3 )3 , 2( 内内至至少少存存在在一一点点在在0)(2 f使使0)(3 f使使 0)(有三个实根有三个实根是一个三次方程，至多是一个三次方程，至多而而 xf内内、其三个实根分别在其三个实根分别在)3 , 2()2 , 1()1 , 0(, 0)2() 1( 2 , 1 )(

12、5 ffxf上上有有二二阶阶导导数数，且且在在设设例例内内至至少少存存在在证证明明在在又又)2 , 1( ),()1()(2xfxxF 0)(, F使使得得一一点点证证, 0)2()1( ff由由, 0)2()1( FF知知使使内内至至少少存存在在一一点点在在, )2 , 1( )()1()(2 xfxxF又又)()1()()1(22xfxxfx 0)1( F0)( F上上连连续续、可可导导在在又又, 1)( xF0)(, )2 , 1( F使得使得上至少存在一点上至少存在一点在在上上连连续续、可可导导在在因因为为2 , 1)(xF).0()1(2)(),1 , 0( :,)1 , 0(,1 , 0)( fffxf 使使至至少少存存在在一一点点证