孙会元固体物理基础第一章14电场中的自由电子ppt课件

1、第四节第四节 金属的电导率和热导率金属的电导率和热导率 本节主要内容：本节主要内容：三、金属的热导率三、金属的热导率 一、特鲁德一、特鲁德- -洛仑兹近似下金属的电导率洛仑兹近似下金属的电导率二、索末菲近似下金属的电导率二、索末菲近似下金属的电导率一、特鲁德一、特鲁德- -洛仑兹近似下金属的电导率洛仑兹近似下金属的电导率1. 电场下经典的动力学方程电场下经典的动力学方程 按照特鲁德按照特鲁德- -洛仑兹模型，电子遵照碰撞近洛仑兹模型，电子遵照碰撞近似和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向似和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向, ,所所以电子对动量的奉献仅源于没有发生碰撞的那以电子对动量的奉献仅源于没

2、有发生碰撞的那部分电子。部分电子。 无论是经典的特鲁德无论是经典的特鲁德- -洛仑兹自在电子论，洛仑兹自在电子论，还是量子的索末菲自在电子论，在解释金属的还是量子的索末菲自在电子论，在解释金属的电导和热导问题上都获得了胜利电导和热导问题上都获得了胜利, ,并胜利解释并胜利解释了维德曼了维德曼夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德德- -洛仑兹自在电子论的结果。洛仑兹自在电子论的结果。 定义驰豫时间定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子的，借以概括电子和金属离子的碰撞特征碰撞特征. .驰豫时间驰豫时间 , ,相当于相继两次散射间的平均时间相当于相继两次散射间的平均时间 由弛

3、豫时间由弛豫时间的定义，的定义，dt时间内，电子遭到碰时间内，电子遭到碰撞的几率为撞的几率为dt/，从而电子没有遭到碰撞的几，从而电子没有遭到碰撞的几率为率为(1-dt/)。 假定假定t时辰电子的平均动量为时辰电子的平均动量为P(t)，经过，经过dt时时间没有遭到碰撞的电子对平均动量的奉献为间没有遭到碰撞的电子对平均动量的奉献为P(t+dt)。所以有所以有: 那么没有遭到碰撞的电子对平均动量的奉献那么没有遭到碰撞的电子对平均动量的奉献应为应为t时辰电子的平均动量和时辰电子的平均动量和dt时间后动量的变时间后动量的变化之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。化之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。 ()(

4、1) ( )dtp tdtp tF t dt 是对于一切电子而言的，电场力对一是对于一切电子而言的，电场力对一切电子有作用，但是，有奉献的只是未发生碰切电子有作用，但是，有奉献的只是未发生碰撞的电子撞的电子.( )F t dt整理得整理得()( )( )( )( )F t dtdtdtp tdtp tpFtt dt取一级近似取一级近似()( )( )( )dtF tp tdtdtp tp t()(1) ( )dtp tdtp tF t dt()( )( )dpF tdp tdtp tp tdtt从而有从而有 所以，自在电子在外场下的动力学方程为：所以，自在电子在外场下的动力学方程为：()(dp

5、F tp tdt 设外场作用下电子的漂移速度设外场作用下电子的漂移速度(drift (drift velocity)velocity)为为vd(t),vd(t),那么动量那么动量( )( )edp tm v t从而从而,自在电子在外场下的动力学方程变为自在电子在外场下的动力学方程变为( )( )( )deeddv tmFvtmdtt阻尼力阻尼力该方程又称为漂移速度实际该方程又称为漂移速度实际对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度( )( )( )deeddv tmFvtmdtt),(0ddv tdtFeE 所以：所以：把它们代入自在电子在外场下的动力学方程

6、把它们代入自在电子在外场下的动力学方程得到：得到：0deveEm 整理后得到电子的漂移速度为整理后得到电子的漂移速度为deevEm 相应的电流密度相应的电流密度2deJnevmEne 又又JE所以所以,电导率为电导率为2enem2.稳恒电场情形下金属的电导率 电阻率电阻率定义为电导率的倒数，所以电阻率为：定义为电导率的倒数，所以电阻率为： 21emne由此可得弛豫时间：由此可得弛豫时间： 资料的电阻率或电导率可实验测出，然后，资料的电阻率或电导率可实验测出，然后，代入上式可计算弛豫时间代入上式可计算弛豫时间. .对于普通的金属对于普通的金属, , 的量级约为的量级约为10-1410-14秒秒.

7、 .22eemmnene 由经典的玻耳兹曼统计可得电子的平均速率。由经典的玻耳兹曼统计可得电子的平均速率。21322eBEm vk T由此可得到电子的平均自在程：由此可得到电子的平均自在程：lv室温下电子的平均速率大约为室温下电子的平均速率大约为107 cm/s。对于。对于普通的金属普通的金属, 的量级约的量级约10-14s,所以所以l 约约1 nm所以电子的平均速率：所以电子的平均速率：3Bek Tvm经典统计下电子的动能：经典统计下电子的动能： 由电子的密度我们容易得出电子的半径由电子的密度我们容易得出电子的半径rs的的大小约为大小约为0.1 nm左右，差不多和经典下电子的平左右，差不多和

8、经典下电子的平均自在程在一个量级，显示了经典模型的局限均自在程在一个量级，显示了经典模型的局限性。性。133/4srn3.交变电场情形金属的电导率交变电场情形金属的电导率 假设此时假设此时 00;i ti tddvv eEE e代入电子的动力学方程得代入电子的动力学方程得 ()()()deeddv tmFvtmdttededm vi m veE 整理得整理得(1)deeEvmi由由211edneJneEivEm 得到得到20111einemi0为直流电导率为直流电导率 ededm vi m veE 索末菲近似下，基态时金属中的自在电子费索末菲近似下，基态时金属中的自在电子费米气体全部分布在费米

9、球内。此时金属自在电米气体全部分布在费米球内。此时金属自在电子具有确定的动量子具有确定的动量epm vk电子速度电子速度二、索末菲近似下金属的电导率二、索末菲近似下金属的电导率/evk m 不加外场时，费米球的中心和不加外场时，费米球的中心和k空间的原点重空间的原点重合，整个费米球对原点对称。假设有一个电子合，整个费米球对原点对称。假设有一个电子有速度有速度v，就有另一个电子有速度，就有另一个电子有速度-v，因此金，因此金属内净电流为零。属内净电流为零。在恒定的外场作用下，电子受力为在恒定的外场作用下，电子受力为-eE-eE由牛顿第二定律由牛顿第二定律edvdkeEmdtdt 此式阐明在外电场

10、的作用下，电子动量的改动表现为k空间相应形状点的挪动，即产生了费米球的刚性挪动。在在k k空间挪动的速度为空间挪动的速度为dkeEdt 所以所以 eEdkdt 电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得( )(0)eEkk tkt 此式阐明，在此式阐明，在K K空间，从空间，从0 0t t 时辰，费米球时辰，费米球中心挪动为中心挪动为k负号表示费米球沿与外场相反的方向挪动负号表示费米球沿与外场相反的方向挪动 那么，在弛豫时间那么，在弛豫时间 内费米球中心在内费米球中心在k k空间的空间的位移为位移为: :eEk xkyk0t xkykEt费米球在外场作用下产生刚性

11、挪动表示图费米球在外场作用下产生刚性挪动表示图从从0 0 时辰时辰, ,费米球中心逆电场方向挪动为费米球中心逆电场方向挪动为eEk 思索到动量的变化关系：思索到动量的变化关系：epmvk得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量：得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量：/eevk meEm 上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂移速度，对金属内每一个电子来说，都有这样移速度，对金属内每一个电子来说，都有这样的漂移速度，由此可得电流密度：的漂移速度，由此可得电流密度： 2()eneJnevEm /eevk meEm 所以，电导率为所以，电导率为2enem 可见与经典

12、模型下的结果一致。由上式的推导可见与经典模型下的结果一致。由上式的推导过程可知，费米球内一切的电子都参与了导电过程可知，费米球内一切的电子都参与了导电. 如下图，在外场作用下，费米球从红色位如下图，在外场作用下，费米球从红色位置向蓝色位置平移。置向蓝色位置平移。xkykE 但是，假设我们详细分析在外电场的作用但是，假设我们详细分析在外电场的作用下费米球的刚性挪动过程，不难发现只需费米下费米球的刚性挪动过程，不难发现只需费米面附近的很少一部分电子才对金属的电导有奉面附近的很少一部分电子才对金属的电导有奉献献. .xkykE 由于费米球的半径为由于费米球的半径为kF,kF,位移为位移为k,k,电子

13、在球电子在球内均匀分布内均匀分布所以，蓝色月牙形部分的电子所占的比例约为：所以，蓝色月牙形部分的电子所占的比例约为：1()FFFFFFFkmveEeEeEkkk由于由于I I区和区和IIII区均位于原来的区均位于原来的红色球内红色球内, ,且关于且关于 ky ky kz kz 面面对称。所以它们的传导作用被对称。所以它们的传导作用被抵消。只剩下费米面附近未被抵消。只剩下费米面附近未被补偿的蓝色月牙形部分的电子才有传导电流作用。补偿的蓝色月牙形部分的电子才有传导电流作用。所以参与导电的电子数目约为所以参与导电的电子数目约为()FeFeEnnm v 由于这些电子以费米速度逆电场方向运动，由于这些电

14、子以费米速度逆电场方向运动，那么对电流的奉献为那么对电流的奉献为2FFeneeJvmnEE 电导率电导率2Fenem和前面得到的电导率方式和前面得到的电导率方式上一样，只是用上一样，只是用 F F 替代替代 1()FFFFFFFkmveEeEeEkkk电子所占的比例为：电子所占的比例为： 严厉的实际计算支持了后一种的说法。这主要是由泡利原理导致的。能量比费米能低得多的电子，其附近的形状已被电子占据，没有空态可接受其它电子。因此，这部分电子无法从电场里获得能量进入较高的能级而对电导做出奉献，能被电场激发的还是费米面附近的电子。 两种电导率方式上虽然一样，但是两者导电两种电导率方式上虽然一样，但是

15、两者导电的物理机理却不同。第一种方式以为费米球内的物理机理却不同。第一种方式以为费米球内一切电子都参与了导电一切电子都参与了导电,电子数目多但速度缓慢；电子数目多但速度缓慢；第二种那么以为只需费米面附近的电子参与了第二种那么以为只需费米面附近的电子参与了导电导电,电子数目少但速度极大，取费米速度；所电子数目少但速度极大，取费米速度；所以以,两者效果一样，即电流密度一样。两者效果一样，即电流密度一样。 三、三、 金属的热导率金属的热导率 金属样品中存在温度梯度金属样品中存在温度梯度T T时，就会产生时，就会产生热传导，热传导的强弱用热流强度热传导，热传导的强弱用热流强度JQ JQ 来描画来描画1

16、.1.热传导热传导 由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种景象叫热传导 热传导的定义通知我们，产生热传导的条热传导的定义通知我们，产生热传导的条件是温度不均匀。件是温度不均匀。 温度不均匀的数学描画就是温度梯度温度不均匀的数学描画就是温度梯度T T高温高温低温低温2.2.热流强度热流强度 单位时间里经过单位横截面积的热量，称为单位时间里经过单位横截面积的热量，称为热流强度热流强度 当温度梯度当温度梯度T T不太大时，热流强度不太大时，热流强度JQJQ与与T T成正比。成正比。即即QJT 这就是热传导定律这就是热传导定律 其中其中 称为资料的热导率称为资料的热导率, ,负号表

17、示热流方负号表示热流方向与温度梯度方向相反。总是从高温流向低温。向与温度梯度方向相反。总是从高温流向低温。 基于热量由导电电子传输这个想法，同时基于热量由导电电子传输这个想法，同时又把自在电子看成是没有相互作用的气体，所又把自在电子看成是没有相互作用的气体，所以我们直接利用热学中气体分子运动论的结果以我们直接利用热学中气体分子运动论的结果( (可参考李椿的热学可参考李椿的热学 人们从实际中发现，金属的热导率远高于绝缘体，由于金属和绝缘体的主要区别在于导电电子的有无，因此，人们断定金属中的热量主要由导电电子传输。3.3.金属的热导率金属的热导率金属的热导率为金属的热导率为:21133VVc vl

18、c v其中其中 为电子比热为电子比热Vc 为电子运动的平均速度，为电子运动的平均速度， 为电子的平均自在程，为电子的平均自在程， 为驰豫时间为驰豫时间vl 按照索末菲模型，电子的比热为按照索末菲模型，电子的比热为212FFBFmvk T22FBFmvkT电子的平均速度取费米速度电子的平均速度取费米速度22eVBFTCTnkT所以金属的热导率为所以金属的热导率为:213Vc v22FFBmvTk22222221133 23BVFFeBF FBF Feek nk Tc vnkvTmvm22eVBFTCTnkTFFvv2Fenem电导率：电导率：热导率：热导率： 那么存在如下关系那么存在如下关系:2 22822132.45 103BBTkmWneKTeTmk n223BFek nTm28212.45 103BkWKTe 上式阐明，在给定温度下，金属的热导率和电导率的比值为常数，称为洛伦兹常数。 由于，在1853年维德曼(Wiedeman)夫兰兹(Franz)二人，最早从实验上发现了该景象，所以常把上述规律称为维德曼夫兰兹定律。2/enem电导率：电导率：所以，经典模型下热导率：所以，经典模型下热导率： 电