隐函数及参数方程确定函数求导法则ppt课件

1、第三节第三节 隐函数及参数方程确定的函数隐函数及参数方程确定的函数的求导法那么的求导法那么 隐函数的求导法那么 参数方程确定的函数的求导法那么 初等函数的导数31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数假设由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .那么称此隐函数求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y例1解 将方程的两边同时对 x 求导，这里 y 是 x 的函数，y2是 x 的复合函数，

2、根据复合函数求导法则得 (x2)/+(y2)/=（R2）/ 220dyxydxdyxdxy 222xyR求由方程所确定的隐函数的导数例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐函数的导数解 将方程的两边同时对 x 求导，得 /2/1sincos0cos1sinxxxyxyxyyyxyyx整理得 /xy例例3. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数例

3、例4. 求椭圆求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx例例5. 求求)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx例6 函数求解 将等式两边取对数得 /41lnlnln(1) ln(2) ln(3)411 1111()412311111()41231(1)1111()4 (2)(3)

4、123xxyxxxxxyyxxxxyyxxxxx xxxxxxx 两边对 求导得 所以 4(1)(1)(3)x xyxx的导数2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x 1) 对幂指函数vuy 可用对

5、数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1阐明阐明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式留意留意:例7 指数函数解 把y=ax改写成logaxy /( )(log)11lnlnln()ln()axxxxxxxxyyyayyaaaaaaaeee当时， (0,1)xy a aa且的 导 数例8 证明/22/2/2/221coscos1sin1()22111arccos )111(tan)(cot )11xxyyyyxyyxxxarvxarcxxx /x证明 设y=arcsinx，则x=siny，两边对x求导得1=cosyy 类似可证明（

6、/21(arcsin )1xx例例6. 求以下导数求以下导数:(1)() ;(2 )() ;xxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)反函数的求导法那么设单调函数 x=( )y在某区间内可导，并且/( )0y，则它的反函数 y=f(x)在对应区间内也可导，并且 /1( )( )1fxydydxdxdy或即反函数的导数等于其原函数导数的倒数。 二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数假设参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22t

7、t那么0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,假设上述参数方程中)(, )(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t那么由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得例10 求由参数方程 确定的函数的导数 解sin ,cotcoscotsindxdyatbtdtdtdydyb

8、tbdttdxdxatadt 因为 cossinxatybt例11 求曲线 在点2，1处的切线方程和法线方程解 对应于点（2，1）的参数 t=0,所以 /0/( 1)1|2211(2)2ttxtttyekyxeyx 故切线方程为 即 x+2y-4=0法线方程为 y-1=2(x-2)即 2x-y-3=0 2ttxeye 例例12. 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时辰 t 的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速度的程度分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv

9、再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 那么yxo2212tgtvy抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的程度分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为12arctanvv到达最高点的时辰,2gvt 高度ygv2221落地时辰,22gvt 抛射最远间隔xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g例例13. 设由方程设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数, )(xyy 求.ddxy解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故

10、xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd内容小结内容小结1. 隐函数求导法那么直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式三、初等函数的导数1、 常用公式 /1/2/2/102)(3 ).(s in)c o s( 4 ).(c o s)s in(5 ).(ta n)s e c(6 ).(c o t)c s c(7 ).(s e c)s e cta n8c s cc o t(9

11、 ).()ln1 0)(1 1).axxxa xxxxxxxxxxxxxxaaae /a/x（ ） C （） ( x （） . ( c s c x ) （） . ( e/22/2211(lo g)(1 2 ).(ln)ln11(1 3 ).(a rc s in)1 41111(1 5 ).(a rc ta n)(1 6 ).(c o t)11axxxaxxxxxa r cxxx / （） . ( a r c c o s x ) 2.函数的和、差、积、商的求导法那么设 u=u(x),v=v(x),则 /2(1).()(2).()3(4).( )(0)uvuvcucu cu vuvuu vuvvv

12、v/（ 为常数）（ ）.(uv) 3.复合函数的求导法那么设 y=f(u),而 u=g(x),则复合函数 y=fg(x)的导数为 /uxdydy dudxdu dxyu/x 或 y 4、参数方程所确定的函数的求导法那么若参数方程( )( )xtyf t确定了 y 关于 x 的函数， 其中( ),( )tf t都可导，且/( )0t，t 为参数，则 /( )( )dydyftdtdxdxtdt 5、反函数的求导法那么设单调函数( )xy在某区间内可导，并且/( )0y， 则它的反函数 y=f(x)在对应区间内也可导，且 /1()()1fxyd yd xd xd y或 思索与练习思索与练习1. 求

13、螺线求螺线r在对应于的点处的切线方程.解解: 化为参数方程化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222, ),0(2M 切线方程为22xy22. 设设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分别用对数微分法求分别用对数微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx3. 设设)(xyy 由方程eyxey确定 , , )0(y解解: 方程两边对 x 求导, 得0yxyyey再求导, 得2yey yxey)(02 y当0 x时, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 求其反函数的导数 .,xexy解