高等数学4.5分部积分法ppt课件

1、高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院分部积分公式分部积分公式典型例题讲解典型例题讲解求求ln dxx x 引入引入cos dxx x arctan dx x 定理定理设函数设函数u=u(x) 及及v=v(x) 具有延续导数，具有延续导数，移项移项上式叫做分部积分公式。上式叫做分部积分公式。du v uv由乘积的微分法那么和由乘积的微分法那么和dv选取的关键：选取的关键：d(uv) udv两边积分两边积分一一. .分部积分公式分部积分公式= vdu +udv = d(uv) vdudv u留意留意u 和和dv选取的关键：选取的关键： v v要容

2、易求得；要容易求得； vdu vdu要比要比 udv udv 容易积出。容易积出。du v uvuvd例如例如 求求解解sinxx sinxx sin dx x cos dxx x =d(sin )xx x降幂cos dxx x ux 选选，cosdvxdx (sin ),dx 则则cos x C 2cos2xx 例如例如 求求解解cos dxx x 2cos d()2xx cos dxx x cosux 选选， dvxdx 2(),2xd 则则讨论讨论: 假设不选假设不选 x 做做 u 呢？呢？ 2dcos2xx 2cos2xx 例如例如 求求解解cos dxx x 2cos d()2xx

3、x升幂cos dxx x cosux 选选， dvxdx 2(),2xd 则则讨论讨论: 假设不选假设不选 x 做做 u 呢？呢？ 2sin2xx dx 解题技巧公式中公式中u的选取方法：的选取方法：指三幂对反，谁在后边谁为指三幂对反，谁在后边谁为u 指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数幂幂: 幂函数幂函数对对: 对数函数对数函数反反: 反三角函数反三角函数解解例例1 1 求求e dxxx e dxxx )ed(xx exxexx ux 选选，xdve dx (),xd e 则则二二. .典型例题讲解典型例题讲解当被积函数是幂函数与指数函数三角函数的乘当被积函数是幂函数与指数函数三

4、角函数的乘积时，积时，把幂函数选为把幂函数选为u。ex Ce dxxCxxxxdxxx22241ln2121ln21例例2 2 求求 例 4 dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222解解例 4 dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222lnux 选选， dvxdx 2(),2xd 则则对分部积分法熟练后，对分部积分法熟练后，u和和dv确实定过程可不写出确实定过程可不写出。C21ln2xx2

5、14x解解例例3 3 求求arctan dxx x arctan dxx x arctan x 22x 21d1xx 2arctan2xx 21arctan(122xx 21arctan(22xxx 2d()2xarctan x 22x 12 2d1xx 2x1 1 21)d1xx arctan)x C 当被积函数是幂函数与对数函数反三角函数的当被积函数是幂函数与对数函数反三角函数的乘积时，乘积时，把对数函数反三角函数选为把对数函数反三角函数选为u。解解例例4 4 求求ln dx x ln dx x x lndxxx lnxx 被积函数是单一的对数函数或反三角函数，可看做被积函数是单一的对数函

6、数或反三角函数，可看做被积表达式曾经自然分成被积表达式曾经自然分成u和和dv的方式，直接用公式。的方式，直接用公式。ln x x 1dxxx C 解解例例5 5 求求2sin dxx x 2sin dxx x 2x 2cosxx 2cos2dsinxxxx 2cos2 sin2 sinxxxxxdx 2cos2 sin2cosxxxxxC 分部积分法可以延续运用。分部积分法可以延续运用。留意：留意： x降幂 x降幂d(cos )x cos x 2 dx x 例例6 6 求求e cosdxx 此积分要运用两次分部积分法：此积分要运用两次分部积分法：第一次运用分部积分法时，哪个函数为第一次运用分部

7、积分法时，哪个函数为u u均可；均可；第二次运用分部积分法时，第二次运用分部积分法时，u u的选取必需与第一次的选取必需与第一次的选取方法一致。的选取方法一致。解解1 1例例7 7 运用两种方法计算运用两种方法计算1d12xx 1d12xx 1 2xt dttt dt 12xCtC 解解2 2例例7 7 运用两种方法计算运用两种方法计算1d12xx 1d12xx 11d(12 )212xx 12xC10lnxxdx 练习练习 求求 2xx e dx 运用两种方法计算运用两种方法计算1(1)dxxx 小结小结 1.1.分部积分公式：分部积分公式：指三幂对反，谁在后边谁为指三幂对反，谁在后边谁为u vud uvuvd2.u 2.u 的选取方法：的选取方法：小结小结 三种积分方法运用的条件：三种积分方法运用的条件：作业作业 习题习题4.5 14.5 1、4 4、5 5、1515第一类换元法凑微分法第一类