数学函数极值

1、例、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。（1）若，求的值。（2）求的最大值。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以，。根据题设，有。（1）因为，即。由于，故。（2）。设上是递减的，所以当时，取最大值10。故的最大值为10。1、 已知：a ，b，c三数满足方程组，试求方程bx2+cx-a=0的根。由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2-c+48=0的两根 =-4(c-)20，c=4 a=b=4所以原方程为 x2+x-1=0 x1=，x2=2、已知：抛物线y=-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。(1)求m的取值范围；(2)若m0，直线y=kx

2、-1经过点A，与y轴交于点D，且AD·BD=5，求抛物线的解析式；(3)若A点在B点的左侧，则在第一象限内，(2)中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分ACD的面积？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)抛物线y=-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴有两个交点，方程x2+(m-4)x-3(m-1)=0有两个不等实根，=(m+2)20，所以m-23分(2)设A(x1，0)、B(x2，0)，则x1，x2是方程x2+(m-4)x-3(m-1)=0的两个实根， x1+x2=4-m，x1·x2=-3(m-1)，D(0，-1)利用AD·BD=5和根

3、与系数关系整理出(x1·x2)2+(x1+x2)2-2x1x2+1=507分将m的代数式带入上式，得m2-2m-3=0，解得m1=-1，m2=3(不合题意舍去) 8分所求抛物线的解析式是y=-x2+5x-69分(3)假设存在符合条件的点P，同直线PA过DC的中点M，D(0，-1) ，C(0，-6)，M(0，-)，10分令y=0，解得x1=2，x2=3，由A在B的左侧，得A(2，0)设PA的解析式为y=kx+b(k0)，求得直线AM为y=x-由得在第一象限内，抛物线上不存在点P，使PA平分ACD的面积3已知，都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，

4、请给出证明解：假设方程有两个整数解为，由知，下证（1）事实上，若，则，即，因a，b为正整数,所以ab1，2，3或4，易知不存在a，b的值满足（2）不妨设则，即，所以有，因是正整数，故把代入原方程得，即，也即所以，因a,b都是正整数，则解得：由得综上，存在正整数a1，b=3或a=3，b=1，使得方程有两个整数解为。4、已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点（5,2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由。解：存在满足条件的二次函数。因为，所以，当自变量x取任意实数时，均成立。由已知，二次函数的图象经过点（5

5、,2），得25当时，有，由于对于自变量取任实数时，均成立，所以有22，故由，得，所以5分当时，有，即所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以当时，有，即，所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以综上，所以，存在二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，都有成立。5、 已知为实数，且，若的最大值是，最小值是，求的值【解】设，则由 得 5分于是 ，而 ，有 ，所以 9 10分 这样，实数可以看作是一元二次方程的两个根 15分判别式0，所以 ， 有1所以的最大值是，最小值， 20分6函数的图象与轴的两个交点是否都在直线的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线的右侧时k的取值范围解：不一定，例如，当k0时，函数的图象与x轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线的右侧5分设函数与x轴的两交点的横坐标为，则，当且仅当满足如下条件 10分时，抛物线与轴的两交点都在直线的右侧由 解之，得 15分所以当时，抛物线与轴的两交点在直线的右侧 20分7设，为互不相等的实数，且满足关系式 求a的取值范围解法一：由2×得，所以a>1当a>1时， =10分又当时，由，得 ， 将两边平方，结合得化简得，故，解得，或 所以，a的取值范围为a>1且，15分 解法二：因为，所以，所以 又，