数学分析读书心得

1、数学分析读书心得 王俊艳 2011212106 摘要：通过这 几个月对数学分析这门课程的学习，对这门课程有一定认识的同时，在学习的过程中遇到了各式各样的难题与困惑，因此，特对在学习中的遇到困难与将来如何更好的努力，不断提高学习这门课的能力进行了总结，希望在以后的时间里可以有所进步。 关键词：数学分析 读书心得 极限 总结进步尚在高中时，就不断听到有人告诉我说：好好学习吧，等到上大学时就轻松了。然而悲剧的是，当我们进入大学时，才发现在大学里我们仍需要好好学习，甚至说即使在课堂上好好听了，有时也不一定听得懂。就拿数学分析来说，不同于高中的思维方式，它着重培养我们的逻辑思维能力，不单单是机械的使用公

2、式，而是让我们理解并掌握这些公式成立的原因。这对于刚开始接触这门新课程的我们来讲，很难，对我来说，那些公式的证明是难上加难。说起来，接触数分已经好几个月了，回过头来看，刚开始，第一章中上下确界很难懂，不过，当这一章实数集与函数学完后，觉得也不是那么难了。那么，就现在来说，我人仍然觉得很难的是极限，尤其是关于极限的证明。极限涉及两个章节，数列极限和函数极限，暂且不说在这两个章节中定义与性质非常多，难以记忆，即便勉强记忆，又很难熟练掌握，题的形式变化多样，不易观察出使用哪种方法来得出结果，再加上自从进入大学后，资料相对较少，没有高中的练习习题多，因此做题相对较少，没有从做题中总结出解这类题的一般规

3、律，光学不练等于没学。普通的计算还好，一旦遇上证明题，思路很狭窄，不能很灵活的运用自己所学的知识点，思考过程比较混乱，还有就是在课堂上没有听懂的地方，在课下没有主动地去解决，在证明的过程中每一步骤为什么要这样写没有弄得的很明白。总之，我认为极限很难。但是，作为一个数应并且师范专业的学生，学好自己主专业是最基本的要求，更何况，四年过后，我就会站上讲台，担负起培养下一代的重任，因此在这四年期间，培养成为老师的素养固然重要，同时，优异的学习成绩也必不可少，因此，及时再难学，我认为我们也不应该放弃，我们应该慢慢的解决每一个困惑，逐渐的进步。首先，要保持对学习的热情。对自己有信心，不会因为那一版块难学，

4、就不学了，俗话说：兴趣是最好的老师。毕竟，只有我们对数分感兴趣了，愿意学了，数分才又可能听懂，并且学好。再有就是好好做笔记，本来我们就缺乏相关资料辅助学习，老师上课所讲的东西就显的弥足珍贵了，把握好老师课堂上所讲的知识点，认真做好笔记，及时表明不理解的地方，等到有时间时，主动解决这些不懂的。另外就是，在课下做好预习和复习，好好地把书和笔记看一遍，这两步是必不可少的，无论是在大学还是高中。再有就是尽可能的抽出时间做点练习题，不仅可以巩固我们在课堂上所学的，还可以拓展我们的思维面，使我们的头脑更加的灵活。最后要说的是，我们要尽可能的多与我们老师沟通交流，遇到不明白的地方要及时的解决。进入大学，并不

5、代表着我们可以彻底的放纵去玩，我们可以放松，但切记不要忘记完成我们的学习任务。时间千万不要浪费在没有价值的事情上，大学里各式各样的诱惑固然很多，但我们要学会抵制这些诱惑，静下心来，给自己一定时间去学习，去沉淀，这样的大学生活才是充实的。大学是我们进入社会的最后一次历练了，要好好的把握，在尽可能的多参加各种活动的同时，还要好好的学习，争取在这四年期间，过的不留遗憾，为自己交上一个满意的答卷。参考文献数学分析上册：华东师范大学数学系编 第三版 高等教育出版社 出版年份2011年 1-130数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要

6、的作用。从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了 300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪 50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改

7、造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要 。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程 现代计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课：（1）矩阵理论（2）随机过程（3）信息论与编码（4）现代数字信号处理（5）通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学 。（6）

8、模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学 。大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学， 专业基础课： 物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理 西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课： 中级微观经济学（数学） 中级宏观经济学 中国市场经济研究 经济分析方法（数学） 经济理论与实践前沿 金融理论与实践 必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！正因为如此，我深

9、刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习中的困难。在本书中，以有界数集的确界定理作为出发点，不加证明地承认该定理，利用它证明了单调有界数列的极限存在定理，然后逐步展开证明了其他几个基本定理。定理虽易记诵，但对于理解的要求甚高，举例来说，在课后习题中有这样一题，证明单调有界函数存在左右极限。这题着实将我难住许久许久，尽管该题在数学分析中只是初级的难度，但初学者的我起初甚是无解。写到这里，我又发现我的一个问题，当然这个问题也是共性的。许多同学在学习数学分析的过程存在着这样的问题：上课能听懂，

10、课后解题却不知所措。这一问题的产生由于一方面对基本概念、基本定理理解得不够深入，对定理的条件、结论理解得不够贴切，对各部分知识之间的联系区别不甚清楚。在极限续论中，由于内容相当抽象，在老师一次次的详细讲解下，上课基本能听懂，但这就可能是大学与高中最大的区别，特别是我的专业要求理论要求，自己不反思，不更深刻去想，去悟，想学好很难，所以另一方面，做题太少，类型太少，并且对做过学过的题目缺少归纳总结，因而不清楚常见的题目都有哪些类型，也不明了各类型题目常常采用什么方法，用什么知识去解释这些理论问题，总之，是心中无数。著名数学家、教育家乔治·波利亚说过：“解题可以是人的最富有特征性的活动&#

11、183;·····假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应该在所做的题目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他问题时，能起到指导的作用。”特征 ，的确每位老师在讲课时都会将同类题一起讲解，这对我们的帮助是相当大的，在寒假，我重温了一下我的数学分析书和相关资料，从中，我发现在特征中显现出我曾经并未发现的，并未熟知的，甚至将我某些一学期都未曾搞清的问题驾驭自如，触类旁通！尽管我们要把理论学好学扎实，但我自己也要培养实际操作能力，在本书与高等数学中都有积分计算，某些积分计算往往是难到要做好几小时的，在王老师的推荐下买了吉米多维奇数学分析习题集题解

12、，很有用，这书就好比是字典，题典，有不会，我就向它寻求适当的解法，有时，闲暇之余还会与同寝室同学共同研究方法的优劣，我发现我的解法往往麻烦繁琐。蒋科伟，吕孙权的做法有时可作为我修改的借鉴，其实，作为一名数学专业的学生来说，应该具有团队配合的意识，加强对实际应用知识的学习，更多关注学科的变化，培养对问题的思考。在研究积分题的过程中，我巩固了所学的积分概念，有效地提高我的运算能力，特别是有些难题还迫使我学会综合分析的思维方法。写到这我想起高中老师曾讲过在不等式证明中的综合法，原来在高中我已接触了大学知识，忽然又发现高中老师讲过许多上海高考都不考的知识，都是对我大学学习的良好铺垫，受益匪浅。实践出真

13、知，至理啊！在自学高等数学期间也有过困难，有时感到学的太多，杂了。遇到困难，幸好有数学分析这门课给与理论支持！在统计班同学考试资料的支持下，我还是多少学到点东西与解题技巧的。这很是让我感到欣慰啊。现在是科技的时代，在掌握好基本运算后我们接触了数学软件Mathematica。该软件是应用广泛的数学软件，它不仅可以进行各种数值运算，而且可以进行符号运算、函数作图等。此软件使我理解导数、微分概念，理解泰勒公式，函数的N次近似多项式及余项概念，了解N次近似多项式随N增大一般是逐步逼近原函数的结果。熟悉了Mathematica数学软件的求导数和求微分命令，以及求n阶泰勒公式命令和求函数的n次近似多项式命

14、令。不仅如此，我还通过它理解了不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的简单近似计算方法。这些正如诺基亚的广告词：科技以人为本。有了这些，对于我们来说，计算不再是困难，在高等数学的计算部分的自学中也可操作自如，再加上我的英语基础较好，在寒假下载了MATHEMATICA6操作软件，初试时还是有难度的，但在王老师下发的操作资料中还是有很强的辅助作用的。现在数学给了我自信，让我寻找其中的乐趣！在这第一学期，王老师对我的帮助太大了！原来的我虽然数学基础较好，但初学分析我是真的一筹莫展，这时，王老师对我学习中的的问题耐心又仔细地回答，让我在一次次郁闷中寻找到真知！正因为老师的不辞辛劳的帮助，让我取得

15、现有的成绩，这还仅仅是一部分，老师对我思想与在带班级上也给出过帮助，让我各方面都在原有的基础上得到巨大的提高，使我更能看清自己的能力与潜力，老师谢谢你对我在一学期的帮助，我会继续努力的，尽管我离班级学习最好的同学差距甚远，但我不会放弃努力与奋斗的目标，我会达到更高的数学领地，取得更好的成绩.此次听陈教授的课，收益颇多。陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理数学分析中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。我们不妨来温习一下。第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国著名的数学家H.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。” 那么，如果你要学好并用

16、好数学分析，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。陈教授就是以这一专题开讲的。在学校中，我不仅讲授数学分析，也讲授数学史，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。讲数学史也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。如陈教授对祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。在这一讲中，陈教授对weierstrass的“N”、“”语言的评述是“它实现了静态语言

17、对动态极限过程的刻画”。这句话是非常精当的，如果意识不到这一点，你就很难理解这一点。在此我还想明确一点：数学分析的研究对象是函数，主要是研究其分析性质，即连续性、可微性及可积性，而使用的工具就是极限。如果仔细盘点一下，在数学分析中，无论是数、函数、数列、函数列，数项级数，函数项级数等相关问题，无不用到这一语言，你应该能理解陈教授的“对于数学类学生来说，没有“N”、“”语言，在数学分析中几乎是寸步难行的”这一观点。第二讲、实数系的基本定理在这一讲中，陈教授从实变函数中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。我在开数学赏

18、析时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住号房间的移往号房间，住号房间的移往号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是只在此山中，云深不知处”。当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。对于集合0,1与(0,1)的对等关系，包括Q与的对等关系，或者说他们之间双射的构造。关键在于“求同存异”，找一个可数集来“填补”他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来

19、了两个人和来了可数个人。对于实数集中的有理数，“廖若晨星”是非常形象的描述。一声集合的哨响，我们发现，有理数在实数轴上几乎是没有位置的（mQ=0），用一系列的帽子来盖住这些点，而这些帽子的大小是，这是非常精彩的结果。从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了，几何直观的描述形象直观。第三讲数学分析课程中最重要的两个常数法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。我想说：“数学中并不缺少美，缺少的

20、是揭示数学美的老师”。陈教授是一个出色的老师，他不仅发现了数学的美，而且为我们展示了数学的美。著名的欧拉公式：，实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完美统一，获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数（）之间的绝妙的有趣的联系，被认为是数学奇异美的典例。在本讲中，陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开讲，让我们体会了数学中的美，这个不等式还有许多有意思的地方，无论是不等式的形式，还是他的证明，都非常深刻地体现了数学的美。Pi是无理数的证明，吸引了与会学员的眼球，赞叹之余，有学员问这一证法的出处，我也还真想知道，请陈教授不吝指教。本讲最后将函数si

21、nx/x展成无穷乘积形式，并妙用此形式求出p级数中p为偶数值时的和，对我而言是耳目一新的。在我记忆中好像菲尔金哥尔茨的微积分学教程(第二卷)中也有求出的方法，而p为奇数的情形好像至今尚未解决。对p=2的情形，欧拉至少用两种方法得到结果，其中一种方法妙用了LHospital法则(数学译林09.3)。第四讲级数与反常积分收敛的A.D判别法恰逢这个学期讲数学分析(3)，在讲授含参变量反常积分时，先复习了反常积分，再复习了函数项级数，并将几个判别法列表比较，尤其是A.D判别法，能与陈教授不谋而合，真是倍感荣幸。陈教授对Abel引理的直观刻画，也是深得学员好评。我对陈教授从Abel引理分析Sanbn收敛

22、条件的分析而得到Dilichlet判别法和Abel判别法的相关条件深感佩服，尤其是分析得丝丝入扣。第五讲函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛一致收敛性无疑是数学分析中的一个重要概念。陈教授对“点点收敛”与“一致收敛”的剖析是非常到位的，学生在学习时如果是只能注意到在定义的陈述“"x”的位置不相同，而不明其所以时，这样的教学肯定是失败的。陈教授例子选择精当，语言使用精辟，问题分析精准。请注意陈教授的这句话：“毛病出在点态收敛的情况下，在某些点附近，N无法控制”（类似的话在第九讲中说过）。第六讲Weierstrass函数：处处连续处处不可导的函数陈教授分析了为何在Weierstrass

23、之前的数学家不能构造出这样的函数。原来在此之前，数学家们所掌握的函数是不足以构造出这样的函数的。Weierstrass在1872年构造出了如下处处连续处处不可导的函数：Sansin(bnx) 0<a<1<b, ab>1陈教授选用1930年Van Der Waerden给出的例子进行了剖析。所讲自是精当，本人很是受益。第七讲条件极值问题与Lagrange乘数法本讲陈教授从一个几何问题入手，得到一个条件极值问题。考虑了条件极值的必要条件，引入Lagrange乘数法，化条件极值问题为无极条件极值问题。这部分内容中，本人认为几何解释最有启发性。对于具体使用Lagrange乘数法

24、的例子中，如何解方程组，陈教授给了很好的建议。第二个例子，即求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4z2=1相交而成的椭圆面积。这个例子我很喜欢，只可惜不能用来做期末考题（不要问我为什么！）。第八讲重积分的变量代换本讲陈教授从定积分的换元的计算公式分析入手，对二重积分的相应的代换公式作出类比猜想（在教学中注重渗透数学思想方法，如此妙哉！）再作分析，然后得出代换公式。为证明代换公式，陈教授引入本原映射，化“矩形”为“梯形”，化变换T为两个本原变换的复合，实现了化复杂为简单，化困难为容易。第九讲数学分析课程中的否定命题数学分析教学中，说说“反话”很重要！（请不要误解！）两个命题与如果既不能同时成

25、立，也不能同时不成立，就称与互为否定命题。若与互为否定命题，则与一定满足：一个成立，另一个必然不成立；一个不成立，另一个必定成立。（废话！）有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、（注意前边两对的区别！）、可导与不可导、Cauchy收敛准则及其否定命题，等等。这些“反话”不说，大量的题做不了。我在讲数学分析(1)时会有一讲（几个概念的否定叙述）就是来讲否定命题的。陈教授在这部分的例子非常好，分析得也清楚！陈教授的九讲，给了我们太多的启示：一、在我们的教学中，不仅要教其所以然，而且要教其所以然。陈教授的这九讲，应该是我们讲授数学分析的经典案例，当然，我们不一定是讲这一些内容！正确的思想从

26、哪里来，是从天上掉下来的吗？不是！二、在我们的教学，不仅要传授知识，而且要传授思想方法，也就是教学中要注重思想方法的渗透。三、在我们的教学中，不仅要传授知识，而且要培养学生的数学素养，让他们了解数学的过去、现在，以便开创数学的将来。四、在我们的教学中，或许会遇的许多困难：教学时数少，教学对象差等等，但我们应从我们自身积极的寻找对策。陈教授就是这样的。以上所述，仅凭个人听课记录，又仅凭个人理解。若是有误，请陈教授见谅并斧正。最后，向陈纪修教授致以崇高的敬意！如何学好数学分析刘轼波数学分析是数学系最重要的课程。许多后续课程都以它为基础，例如常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数，以及泛函分析。

27、这些都属于分析数学的范畴。此外，作为几何学一分支的拓扑学，主要研究拓扑空间在连续映射下不变的性质，而连续映射是数学分析中研究的连续函数的推广。而当今数学研究中最重要的部门微分几何，乃是在微积分对几何学的应用过程中发展起来的，因此也离不开数学分析的理论和方法。所以，要顺利完成数学系本科阶段的学习，学好数学分析非常重要。说得更长远一点，任何有志于从事数学研究的青年学子，好好掌握数学分析的理论和方法是关键的第一步。要学好数学分析是没有捷径可走的。对其他课程，也是如此。如果真有这样的捷径，老师在上课时早就告诉大家了。这样的话，是否不必管太多，只管硬下功夫就可以了呢? 如果只是蛮干，是不会有好的结果的，

28、而且会很累。我见过不少同学，书都读破了，书页上也写满了笔记或是在读书过程中的心得，看来还是很用功的。但是他跑来问我的问题却很简单，有些甚至在书上就有明白的解释。我把书翻给他看，他才恍然大悟。我想，这是由于他虽然花了很多时间，但却没有认真对以下要提到的几个方面进行思考。所以他对基本内容没有很深的印象。下面我想就数学分析的学习，谈谈我的看法。一谈到数学的学习，很多人想到的就是要多做习题。但是，我认为最重要的还是要先仔细研读教科书，搞清楚每个定义和定理。在这个基础上适当做些习题才会事半功倍。没有弄清基本的概念，对学过的定理也没有吃透，就急急忙忙去做习题，必然会碰到很多困难，甚至会丧失自信心。这是一种

29、不可取的学习方法。首先，要彻底弄清楚接触到的每个定义。数学上的定义，都是从许多具体的事例中抽象出来的。这些定义虽然是具体事例的抽象，但却又是很自然的。我们在学习中要多思考，并且通过具体的例子来掌握各个定义的内涵。数学的定义中往往有各种各样的条件。对这些条件要仔细揣摩，体会它们的作用。有时还需要通过正反两方面的例子来辨析不同的概念。只有这样才能真正掌握，并能在推理中做到灵活运用。其次，每学习一个定理时，就要从内涵上弄清这个定理的含义，即它到底说了什么事情。这往往可以结合几何直观来把握。然后就是研究定理中要求的条件。这可以通过研究定理的证明了解这些条件的作用，还可以通过反例来弄清当某个条件不成立时

30、，结论为何不对。通过这样正反面的思考，就会对这个定理有比较好的理解。我见到很多数学系的学生，在解题时说“因为f是闭集F上的连续函数，所以f有界”。之所以犯这样的错误，就是因为没有很好地掌握“有界闭集上的连续函数必有界”这个定理。再者，定理的证明也值得我们好好研究。通过研读定理的证明，可以加深我们对这个定理的理解。而且，在定理的证明过程中我们还可以学习到本学科的各种基本的论证方法。熟悉这些方法之后，我们就自然能够把它们应用到我们面临的问题中去。有些定理的证明是很漂亮的，充分展现了数学的美。我们在学习过程中还要好好体会这种美，这对提高我们的数学素养不无益处。当然，有些定理的证明比较繁难，为了不打击自信心，我们可以先跳过它，等过