必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案

1、平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量：a=-bob=一aoa+b=0向量表示：几何表示法AB；字母a表示；坐标表示：a二xi+yj二(x,y).向量的模:设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：IaI._(Ia1=：'x2-y2,a2=1a|2=x2+y2)_零向量：长度为o的向量。a=OoIal=O.【例题】1下列命题：(1)若a=b|，则a=bo

2、(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。(3)若AB=DC，则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形，则AB=DCo(5)若a=b,b=c-,则a=co(6)若a/b,b/c，则a/co其中正确的是2. 已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么Ia+3bI二02、向量加法运算：_三角形法则的特点：首尾相接连端点.平行四边形法则的特点：起点相同连对角.三角形不等式：|a|-b<运算性质：交换律:-a+b+a；结合律：C+b)+c=a+C+c)；坐标运算：设a=(x,j),b=(x,y)，则a+b=(x+x,y+y)112212123、向量减法运算：ff(1

3、)三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.坐标运算：设a=(x,y)，b=(x,y)，则a-b=(x-x,y-y)11221212设A、B两点的坐标分别为(x,y)，(x,y)，贝AB=(x-x,y-y)11221212例题】(1)AB+BC+CD=:AB-AD-DC=,J(ab_CD)-(AC-BD_(2)若正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c，贝Ia+b+cI二4、向量数乘运算：>>>>>>实数尢与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作九a. 如|=州a|; 当九>0时，九a的方向与a的方向相同；A当X<

4、0时，九a的方向与a的方向相反；当X=0时，九a=0>运算律：X(pa)=(Xp)a:(X+p)a=Xa+pa:X(a_+b)=Xa+Xb*坐标运算：设a=(x,y)，则Xa=X(x,y)=(Xx,Xy)_-_->>【例题】(1)若M(-3,-2),N(6,-l),且MP=-1脈，则点P的坐标为35、向量共线定理：向量aC工0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数X，使b=Xa.设a=(x,y)，b=(x,y)，(b#0)5a-b)2=(IaIIb1)2。-_1122【例题】若向量a=(x，1)Q=(4,x)，当x二时a与b共线且方向相同(2)已知a=(1,1)b=(4,x),，

5、u=a+2b,v=2a+b，且_u/v-,贝Ux二6、向量垂直：a丄bopb=0oka+bl=ka-bIoxx+yy=01212【例题】已知OA=(-1,2),OB=(3,m)，若OA丄OB，则m=以原点O和A(42)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,ZB=90。，则点B的坐标是(3)已知n=(a,b),向量n丄m，且则m的坐标是37、平面向量的数量积:ab；当bcos0C丰0,b丰0,0<0<180)零向量与任一向量的数量积为0性质：设a和b都是非零向量，则a丄boab=0当a与b同向时，ab=a与b反向时，ab=-ab；aa=a2_=|a|2或|a|=Jaaab*<a|”

6、|-一运算律：ab=ba:(九a)b=Xab)=a6b)；C+b)c=a二c+bc.坐标运算：设两个非零向量a=(x,y),b=(x,y)，则abfx_+若a=(x,y)，则|a11222=x2+y2，或问=.；x2+J212设a=(x,y),b=(x,y)，贝Ua丄oab-0ox1x2+y1y2=0.1i221212则allboa二b#0)oxy二xy.21设a、b都是非零向量，a=(x,y),b=(x,y),0是a与b的夹角，则1122abcos0=XX2+y2；(注IabI<IaIIbl)+y2；x2+y2122【例题】C1)ABC中，I初1=3，IA21=4，I丽1=5，则ABB

7、C=已知a=(1丄),b=(0,-),c=a+kb,d=a-b，c与d的夹角为上，则k寺于2242,b=5,a占=-3,贝Ua丰一2)4)已知a,b是两个非零向量，且”卜b=|a-b|，则a与a+b的夹角为5)已知2二(九口),方=(3九,2),如果与的夹角为锐角，则九的取值范围是兀6)已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(-1,0)(1求向量a、c的夹角；8、b在a上的投影：即IbIcos0，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】已知I方1=3,|b1=5，且方方=12，则向量方在向量方上的投影为9、（必修五的内容）正弦定理（其中R表示三角形的外接圆半径）：（

8、1）亠=亠=2RsinAsinBsinC2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(3)sina=,sinAB=丄,sinc=_L2 R2R2R余弦定理(1)b2=a2+c2一2accosB2).b2+c2一a2cosA=2bc(3)S=ah:S=bcsinA=absinC=丄acsinB；2a222附：ABC的判定:c2=a2+b2oABC为直角oZA+ZB=王2c2va2+b2oABC为钝角oZA+ZBv巴2c2>a2+b2oABC为锐角oZA+ZB>-2,在角ABC中，cosC<0oa2+b2-c2<0oa2+b2<c2附：证明：cosC=a2

9、+b2-c22ab在UBC中，有下列等式成立tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：因为A+B"-C,所以tan(4+B)=tan(1-C),所以tanA+tanB=一tanC,.结论！1一tanAtanB三角形的四个“心”；重心:三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量a与占有关系是：吉是a方向上的单位向量Hlal练习题：一、平面向量的概念及其运算1、右向量a、b满足a+b|=|a|+b，则a与b必须满足的条件为2、右AB=b,AC=c，贝UBC等于A3、正六边形

10、ABCDEF中，BA+CD+EF=()BBECCDDCF4、在边长为1的正方形ABCD中，设AB=a,AD=b,AC=ci则|a-b+c=5、3(AC+2AB)1«FB3(AB+2AC)c!(AC+3AB)41D4(ac+2AB)6、在AABC中，E、F分别是AB和AC的中点，若AB=a,AC=b，则EF等于B2(a一b)c2(b一a)D一2(a+b)7、已知：向量a,b同向，且a=3,bl=7，则|2ab=在AABC中，已知BC=3BD,则AD等于()二、平面向量的基本定理及坐标表示8、右AB=3.CD=-5$,且AD=|bc，则四边形ABCD是()A是平行四边形B菱形C等腰梯形D

11、不等腰梯形9、已知A(2,4),B(3,-1),C(-3,-4)且CM=3CA,CN=2CB，试求点M、N和MN的坐标10、已知向量a=(3,-4),则与a同向的单位向量是(A-(-5,-5)B-(5,5)C-(3,4)D-(3,4)11、已知A(3,2),AB=(8,0)，则线段AB中点的坐标是12、若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线，求x13、若向量a=(x=3,x23x-4)与AB相等地，已知A(1,2),B(1,2),贝Ux的值为()A-1B-1或-4C4D1或4三、平面向量的数量积14、已知，|a|=2,b=3,a-b=3x3，则a与b的夹角等于15、已知ABCD

12、为菱形，则(AB+BC)-(ABAD)的值为16、已知|b|=5，且a-b=12，则向量a在b方向上的投影为17、已知向量a与b的夹角为120o，且W=4,b=2,(1)求a在b方向上的投影(2)求|3a+4b|(3)若向量a+kb与5a+b垂直，求头数k的值18、已知a、b满足|a|=1,bl=1且(ab)2=3，则a-b=19、若|a+b=la-b|，且a与b不共线，则a与b的夹角为20、已知a=(-2,-1),b=,1),若a与b的夹角为钝角，则九的取值范围是()A(»(十)B-(+)C-(-”D.Y中)21、已知a=(6,0),b=(-5,5),则a与b的夹角为22、已知A(

13、3,2),B(-1,-1),若点P(x,-)在线段AB的中垂线上，则x=平面向量高考经典试题选择题21、已知向量a=(5,6),b=(6,5),则a与bA垂直-B环垂直也不平行-C平行且同向D平行且反向2、已知向量a=(1,n),b=(1,n),若2a-b与b垂直，则a=()A.1B./2C.2D.43、若向量a,b满足|a1=1b1=1,a,b的夹角为60°，则a-a+a-b=4、在AABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB,CD=1CA+九CB，则X=()3A.3B.1C.-1D+5、若0、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF=OF+OEB.EF=OF

14、OEC.EF=OF+OED.EF=OFOE136、已知平面向量a=£11)b=(11)，则向量尹-津=(一.2 2A.(2,1)B.(2,1)C.(1,0)D.(1,2)二、填空题1、已知向量a=(2,4)b=(1,1)若向量b丄(a+Xb),则实数X的值是2、若向量a,b的夹角为60,a=b=1,则(a-b)=3、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0),B(1,1),则ABAC=.三、:解答题：1、已知AABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)若ABC=0，求c的值;若c=5，求sinZA的值2. 已知a=(1,2),

15、b=(-3,2),当k为何值时,(1)ka+b与a-3b垂直？(2)ka+b与a-3b平行？3 已知a=(cosa,sina),b=(cos卩,sin卩)(0<(Kfk兀)求证：a+b与a-b互相垂直；4 已知a=(2,1)与b=(1,2)，问当实数t的值为多少时|a+呵最小。5 已知向量a=(cos0,sin0)，向量b=(73,-1),则2a-b的最大值是平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等

16、且方向相同的向量相反向量：a=-bob=一aoa+b=0向量表示：几何表示法AB；字母a表示；坐标表示：a二xi+yj二(x,y).向量的模:设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：IaI._(Ia1=Jx2-y2,a2=1aI2=x2+y.)_零向量：长度为o的向量。a=OoIal=O.【例题】1下列命题：(1)若a=b，则a=bo(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。(3)若AB=DC厂则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形，则AB=DCo(5)若a=b,b=c十贝惊=co(6)若a/b,b/c，则a/co其中正确的是一一一一一一一一一一

17、(答(4)(5)2.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么Ia+3bI二0一一(答：庐)；2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点.平行四边形法则的特点：起点相同连对角.三角形不等式：|a|-b<a+b<|a|+b运算性质：交换律:-a+bmb+a;结合律:+b)+c=a+c)a+0=0+_a=a坐标运算：设a=(x,j),b=(x,y)，则a+b=(x+x,y+y)112212123、向量减法运算：f(1) 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y)，则a-b=(x一x,y一y)11221212设A、B两点的坐

18、标分别为(x,y)，(x,y)，贝AB=(xx,yy)11221212例题】(1) AB+BC+CD=；ABADDC=；(AB-CD)-(ACBD)=一»(答：AD:CB:0)；(2) 若正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c，则a+b+cI二(答：2迈)；(3) 已知作用在点A(1,1)的三个力(3*仔=(2,5),F-=(3,1)，则合力F=F+F+F的终点123123坐标是(答(9,1)一一一一一4、向量数乘运算：实数九与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作九a 闷|=|九|a；>> 当九>0时，九a的方向与a的方向相同；>当X

19、<0时，九a的方向与a的方向相反；当X=0时，九a=0>运算律：X(pa)=(Xp)a:(X+p)a=Xa+a:X(a_+b)=Xa+Xb坐标运算：设a=(x,y)，则Xa=X(x,y)=(Xx,Xy)一一一一>>>【例题】(1)若M(-3,-2),N(6,-l),且叽-1丽，则点P的坐标为3(答:(-6,-彳)；5、向量共线定理：向量aC丰0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数九，使b=Xa设a=(x,y)，b=(x,y)，(b_H0)a-b)2=(|aIIb1)2。-一1122f一>【例题】若向量a=(x,1),b=(4,x)，当x二时a与b共线且方向相同

20、一-一一(答：2)；(2) 已知a=(1,1)b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u/v，则x=-一一一一一一一一(答：4)；6、向量垂直：a丄boa-b=0oIa+bI=Ia一bIoxx+yy=01212>>>【例题】已知OA二(-1,2),OB二(3,m),若OA丄OB，贝Um=一一一一(答：3)；2(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,ZB=90。，则点B的坐标是(答：(1,3)或(3，1)；3)已知n=(a,b),向量n丄m，且n=m，则m的坐标是.(答：(b,a)或(b,a)7、平面向量的数量积：ab=|a|bcos0(a丰0,b丰

21、0,0<0<180)零向量与任一向量的数量积为0OOa与b反向时，ab=ab；性质：设a和b都是非零向量，则a丄boab=0当a与b同向时，ab=ab；当Aaa=a2_=|a|2或|a|匚Jaajab£运算律：ab=ba:(九a)b=X(ab)=a6b)；(a+b)c=a=c+bcfffffff_ff坐标运算：设两个非零向量a=(x，y),b=(x，y)，则ab=xx+yy11221212若a=(x,y)，则|a|2=x2+y2，或a=Jx2+y2._一设a=(x,y),b=(x,y)，贝Ua丄oab-0ox1x2+y1y2=0.11221212_一则allboa二/b(

22、b0)oxy二xy设a、b都是非零向量，a=(x,y),b=(x,y),e是a与b的夹角，则1122cose=abxx+yy(注IabIMaIIb4)【例题】C1)ABC中，I初I=3,I玄I=4,I丽I=5，则ABBC=答：9)；(2) 已知a=(1扣=(0,*c=a+kb,d=a-b,c与d的夹角为则k等于(答：1);一-一(3) 已知a=2,b=5,a占=3，则|a+bI等于(答：后)；(4) 已知a,b是两个非零向量，且a卜=|ab，则a与a+b的夹角为(答：30)(5) 已知a=(九,2九)，方=(3九,2)，如果与的夹角为锐角，则九的取值范围是(答：九4或九0且九丰1)；3 3兀(

23、6) 已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(-1,0)(1求向量a、c的夹角；(答：150°)；8、b在a上的投影：即IbIcose，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】已知丨方I=3,I方I=5,且方方=12,则向量a在向量方上的投影为(答：12)59、(必修五的内容)正弦定理(其中R表示三角形的外接圆半径)：(1)£=匕=2RsinAsinBsinC(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(3) sina=±_,sinAB=，sinC=_L2R2R2R余弦定理(1)b2=a2+c2-2accosB2)cosA

24、=b2+c2-a22bc3)S=-a-h2a；®S=2bcsinA=2absinC=-acsinB2附：ABC的判定：c2=a2+b2。ABC为直角oZA+ZB=巨2c2va2+b2oABC为¥屯角oZA+ZBv色2c2>a2+b2oABC为锐角oZA+ZB>-2附：证明：cosC="+2-c2，在钝角abc中，cosC<0oa2+b2-c2<0oa2+b2<c22ab在UBC中，有下列等式成立tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：因为A+B"-C,所以tan(4+B)=tan(1-C)，所以tanA

25、+tanB=-tanC，.结论！1-tanAtanB三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量a与A有关系是旦是a方向上的单位向量a练习题：一、平面向量的概念及其运算1、若向量a、b满足|a+b=bl+b，则a与b必须满足的条件为a,b方向相同2、若AB=b,AC=c，则BC等于(B)A3、正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=(DBBECCDDCF4、在边长为1的正方形ABCD中，设AB=a,AD=b,AC=cI则|a-b+c=5、3(AC+2AB)1-1B3(AB+

26、2AC)c1(AC+3AB)41-D4(AC+2AB)6、在AABC中，E、F分别是AB和AC的中点，若AB=a,AC=b，则EF等于C)在AABC中，已知BC=3BD,则AD等于(Ac2(b一a)7、已知：向量a,b同向，且|a|=3,b=7，则|2a-b=1二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若AB=3.CD=-5$,且|ad1=|BC|，则四边形ABCD是(c)A是平行四边形B菱形C等腰梯形D不等腰梯形9、已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)且CM=3CA,CN=2CB，试求点M、N和MN的坐标199页(答案:M(0,20),N(9,2),MN=(9,18)10、已知向量

27、a=(3,-4),则与a同向的单位向量是(A)B(34)(5,5)C(3,4)D(3,4)11、已知A(-3,2),AB=(8,0),则线段AB中点的坐标是(1,2)12、若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线，求x(答案：x=3)13、若向量a=(x=3,x2-3x-4)与AB相等地，已知A(-1,2),B(1,2),贝Ux的值为(A)A-1B-1或-4C4D1或4三、平面向量的数量积14、已知，|a|=2,b=3,a-b=3J3，则a与b的夹角等于30。12515、已知ABCD为菱形，则(AB+BC)-(AB-AD)的值为016、已知|b|=5，且a-b=12，则向量a在b

28、方向上的投影为17、已知向量a与b的夹角为120o，且|a|=4,b=2,(1)求a在b方向上的投影(2)求|3a+4b|(3)若向量a+kb与5a+b垂直，求头数k的值(答案：(1)-2,(2)4万(3)19)418、已知a、b满足|a|=1,bl=1且(a-b)2=3，则a-b=-丄219、若|a+b=la-b|，且a与b不共线，则a与b的夹角为90。20、已知a=(-2,-1),b=,1),若a与b的夹角为钝角，则九的取值范围是(A)A(-2,2)u(2,+QB(2,+s)D(-g,-2)21、已知a=(6,0),b=(-5,5),则a与b的夹角为135。22、已知A(3,2),B(-1

29、,-1),若点P(x,-丄)在线段AB的中垂线上，则x=-24平面向量高考经典试题选择题1 已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与bA垂直-B环垂直也不平行-C平行且同向D平行且反向2、已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直，则a=()A.1B./2C.2D.43、若向量a,b满足|a1=1b1=1,a,b的夹角为60°，则a-a+a-b=4、在AABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB,CD=1CA+九CB，则X=()3A.3B.1C.-1D+6、若0、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF=OF+OEB.EF=OF-OEC

30、.EF=-OF+OED.EF=-OF-OE136、已知平面向量a=£11)b=(1-1)，则向量尹-津=(一.2 2A.(-2,-1)B.(2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)二、填空题1、已知向量a=(2,4)b=(1,1)若向量b丄(a+Xb),则实数X的值是2、若向量a,b的夹角为60,a=b=1,则(a-b)=3、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0),B(1,1),则ABAC=.三、:解答题：1、已知AABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)若ABC=0，求c的值;若c=5，求sinZA的值2.已知a=(1

31、,2),b=(-3,2),当k为何值时,(1)ka+b与a-3b垂直？(2)ka+b与a-3b平行？3 已知a=(cosa,sina),b=(cos卩,sin卩)(0兀)求证：a+b与a-b互相垂直；4 已知a=(2,1)与b=(1,2)，问当实数t的值为多少时|a+呦最小。5 已知向量a=(cos0,sin0)，向量b=G/3,-1),则2a-b的最大值是ffj6、在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=3j7(1)求cosC；(2)若CBCA=2，且a+b=9，求c7、在ABC中，a，b，c分别是三个内角AB，C的对边若a=2,C=n，co碍=学，求ABC的面积S8、设锐

32、角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(I)求B的大小；(H)若a二3吕,c=5，求b.139、在ABC中，tanA=一,tanB=-45(I)求角C的大小；(口)若ABC最大边的边长为昭17，求最小边的边长.答案选择题1、A.已知向量a=(-5,6),b=(6,5),a-b=30+30=0，贝a与b垂直。2、C2ab=(3必)，由2ab与b垂直可得：一-(3,n)-(1,n)=3+n2=0nn=±J3,|a|=2o3、3解析：a-a+a-b=1+1x1丄=丄，2224、A在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB,322122CD=CA+AD=CA+AB=CA+(CBCA)=CA+CB,4九=。333335、B由向量的减法知EF=OFOE一一一136、D