基本不等式的应用

1、3.4.2基本不等式的应用学校：临清二中学科：数学编写人：郑敏杰审稿人丁良之【教学目标】1会应用基本不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题；2本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。3能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题.教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件教学过程：一、创设情景，引入课题提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把亘上b叫做正数a、b的算术平均数，2把刷叫做正数a、b的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。讲解：已

2、知x,y都是正数，如果xy是定值p,那么当x=y时，和x+y有最小值2斤；12如果和x+y是定值s,那么当x=y时，积有最大值一s4二、探求新知，质疑答辩，排难解惑1、新课讲授例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2） 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则xy=100，篱笆的长为2（x+y）

3、由一一方,2可得xy_2.1002(x+y)之40等号当且仅当x=丫时成立，止匕时x=y=10,因此，这个矩形的长、宽为10m时,所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2)设矩形菜园的长为Xm,宽为ym,则2(X+y)=36,X+y=18,矩形菜园的面积为xym2,xy18一由67三一-=万=9,可得xy81,可得等号当且仅当x=丫时成立，止匕时x=y=9点评：此题用到了如果xy是定值p,那么当x=y时，和x+y有最小值2界；12如果和x+y是定值s,那么当x=y时，积有最大值-s4变式训练：用长为4a的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？解：设矩形的长为x(0cx0,2ax0.上rrx(2

4、a-x)由Jx(2ax)w彳=a.(当且近当x=2ax,即x=a时取等号)，2由此可知，当x=a时，S=x(2a-x)有最大值a.答：将铁丝围成正万形时，才能有最大面积a2.例2(教材F89例2)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1吊的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为l元，根据题意，得16001600l=240000720(x)-24000

5、07202xxx=240000720240=297600当x=1600，即x=40寸,l有最小值2976000.x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。、一一3、一变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是3n立方分米，用来做底的2金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。解：设圆桶的底半径为r分米，高为h分米，圆桶的成本为m元，则2m二3二r22

6、二rh3求桶成本取低，即是求m在r、h取什么值时取小。将h=代入m的解析式，得2r22326二m=3：r2（2：r）（2）=3：r=2r2r2 3二3二23二3二3 二r33（3二r）=9二rr;rr3二3二3二当且仅当3町2=时，取“=”号。rrr.3当r=1（分米），h=（分米）时，圆桶的成本最低为9n（兀）。2点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，归纳整理，整体认识1 .求最值常用的不等式：a+b2Vab,abE（王也）2,a2十b2至2ab.22 .注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小.3 .建立不等式模型解决实际问题当堂检测：1下列函数中，最小值为4的是:4A

7、.y=x一xC.y=ex-4e)一.4B.y=sinx(0:xsinxD.y=log3x410gx32.设x,yWR,且x+y=5,则3x+3y的最小值是（）A.10B.63C.46D.1833函数y=xd-x2的最大值为4建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？答案：1C2D31436005x=10时，y有最

8、小值10989,基本不等式的应用课前预习学案一、预习目标会应用基本不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题二、预习内容1如果xy是定值p,那么当x=y时，和x+y有最2如果和x+y是定值s,那么当x=y时，积有最13右x-1,则x=时，x有最小值，最小值为.x14.若实数a、b满足a+b=2,贝U3a+3b的最小值是.三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内谷课内探究学案一、学习目标1用基本不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题.2引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心教学重点：正确运用基本不等式解决一些简

9、单的实际问题教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件二、学习过程例题分析：例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：变式训练：1用长为4a的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？2一份印刷品的排版面积（矩形）为A它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白，如何选择纸张的尺

10、寸，才能使用纸量最少？变式训练答案1x=a时面积最大。2此时纸张长和宽分别是：a+2a和弓+2b.例2:）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800油深为3m如果池底每im的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。答案：底面一边长为40时，总造价最低29760000变式训练：建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.答案：3600当堂检测：1若x,y

11、是正数，且1+_4=1,则xy有（3）xyA.最大值16B.最小值.!C,最小值16D,最大值1616282已知x0,y0且满足一+=1,求x+y的取小值,4xyA.16B20.C.14D.183某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？答案：1C2D3x=10时，y有最小值10989,课后复习学案1已知x0,y0,且3x+4y=12,求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值.2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？3某公