增分点3二次求导在解题中的妙用

1、增分点，二次求导在解题中的妙用导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容.近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现.rrsi利用二次求导求函数的单调性sinx典例右函数f(x)=,0<xi<x2<a=f(xi),b=f(X2),试比较a,b的大小.X思路点拨此题可联想到研究函数f(x)=snH在(0,兀的单调性.函数图象虽然可以直观地反映出两个变量之间的变化规x律，但大多数复合的函数作图困难较大.导数的建立拓展了应用图象解题的空间.导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方

2、法，具有很强的可操作性.当f'(x)>0时，函数f(x)单调递增；当f'(x)<0时,函数f(x)单调递减.方法演示sinxxcosx-sinx解：由f(x)=,彳导f(x)=2,xx设g(x)=xcosxsinx,贝Ug'(x)=xsinx+cosxcosx=xsinx.10<x<Tt,.g'(x)<0,即函数g(x)在(0,兀上是减函数.g(x)<g(0)=0,因此f'(x)<0,故函数f(x)在(0,兀是减函数，.当0<xi<x2<7t,有f(xi)>f(x2),即a>b.解题

3、师说从本题解答来看，为了得到f(x)的单调性，须判断f'(x)的符号，而f'(x)=xcosx；sinx的分母为正，只需判x断分子xcosx-sinx的符号，但很难直接判断，故可通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题.应用体验_,一1_，、_1,已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)ex1f(0)x+x2,求f(x)的解析式及单倜区间.,一一.1c解：因为f(x)=f'(1)ex1f(0)x+1x2,所以f'(x)=f'(1)ex1f(0)+x.令x=1,得f(0)=1.所以f(x)=f'(1)ex1x+$2,所以f(0)

4、=f'(1)e1=1,解得f'(1)=e.1 一所以f(x)=ex-x+2x2.第1页共9页设g(x)=f'(x)=ex1+x,则g'(x)=ex+1>0,所以y=g(x)在R上单调递增.因为f'(0)=0,所以f'(x)>0=f'(0)?x>0,f'(x)<0=f'(0)?x<0.所以f(x)的解析式为f(x)=ex-x+2x2,且单调递增区间为(0,+8),单调递减区间为(一8,0).利用二次求导求函数的极值或参数的范围典例(理)已知函数f(x)=ln(ax+1)+x3-x2-ax.2 .

5、(1)若x=3为y=f(x)的极值点，求头数a的值；(2)若y=f(x)在1,+oo)上为增函数，求实数a的取值范围；(3)若a=1时，方程f(1x)(1x)3=,有实根，求实数b的取值范围.x方法演示解：(1)f'(x)=a+3x2-2x-a.ax+1由题意，知f'2=0,3所以丁a-+4-4-a=0,解得a=0."a+132.当a=0时，f(x)=x(3x2),从而x=3为y=f(x)的极值点.(2)因为f(x)在1,+8)上为增函数,所以f'(x)=-a+3x22xaax+1x3ax2+32axa2+2,=>0在1,+8)上恒成立.ax+1当a=0

6、时，f'(x)=x(3x2),此时f(x)在1,+8)上为增函数恒成立，故a=0符合题意；当aw0时，由ax+1>0对x>1恒成立，知a>0.所以3ax2+(3-2a)x-(a2+2)>0对xC1,+8)恒成立.令g(x)=3ax2+(3-2a)x-(a2+2),其对称轴为x="1一因为a>0,所以1/2，所以g(x)在1,+00)上为32a32a3增函数，所以只需g(1)>0即可，即一a2+a+1>0,解得0<aw等近.综上，实数a的取值范围为0,1呼.(3)由已知得，x>0,1-b=x(lnx+xx2)=xlnx+x2

7、x3.令g(x)=xlnx+x2x3,则g'(x)=Inx+1+2x3x2.令h(x)=g'(x),则h'(x)=+26x=6x2x1xx第2页共9页当0<x<1"时,h'(x)>0,函数h(x)=g'(x)在0止注上递增；'6当x>l46币时,h'(x)<0,，函数h(x)=g'(x)在1+币,+oo上递减.6又g'(1)=0,，存在x°e0,17，使得g'(xo)=0.当0<x<x0时，g'(x)<0,函数g(x)在(0,x0)上递减;

8、当x0<x<1时，g'(x)>0,.函数g(x)在(x0,1)上递增；当x>1时，g'(x)<0,.函数g(x)在(1,+00)上递减.又当x一十00时，g(x)一OO.1又g(x)=xlnx+x2x3=x(lnx+xx2)wxInx+4,1一一当x-0时，Inx+4<0,则g(x)<0,且g(1)=0,，b的取值范围为(8,0.解题师说本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b的范围问题，实际上是求g(x)=x(lnx+xx2)极值问题，问题是g'(x)=lnx+1+2x3x2=0这个方程求解不易，这时

9、我们可以尝试对h(x)=g'(x)再一次求导并解决问题.所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法.(文)已知函数f(x)=exxlnx,g(x)=extx2+x,tR,其中e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程；(2)若g(x)>f(x)对任意的xC(0,+8)恒成立，求t的取值范围.方法演示解：(1)由f(x)=exxlnx,知f'(x)=elnx1,则r(1)=e-1,而f(1)=e,则所求切线方程为ye=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+1.(2).1f(x)=exxlnx,g(x)=ext

10、x2+x,tR,g(x)>f(x)对任意的x(0,+8)恒成立等价于extx2+xex+xlnx>0对任意的xC(0,+00)恒成立，+8)恒成立.ex+xex+xlnx即tw2对任意的xC(0,令F(x)=ex+xex+xlnx则F'(x)=xex+ex2exxlnx1x2exx3=x2e+e-T-lnx第3页共9页Inx,人2ex令G(x)=ex+e-/x2xexexeexx12+exx则G'(x)=ex上-1=-2>0对任意的xC(0,+8)恒成立.xxx.G(x)=ex+e-2eInx在(0,+8)上单调递增，且G(1)=0,x当xC(0,1)时，G(

11、x)v0,当xC(1,+8)时，G(x)>0,即当xC(0,1)时，F'(x)<0,当xC(1,十)时，f'(x)>0,F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，F(x)>F(1)=1,t<1,即t的取值范围是(一8,1,解题师说本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(2)问要求参数t的范围问题，实际上是求F(x)=px+xex+xlnxx0axe2极值问题，问题是F'(x)=，ex+e丝lnx这个方程求解不易，这日我们可以尝试对G(x)=xxxF'(x)再一次求导并解决问题.所以当导数值等于0这个方程求解

12、有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法.应用体验2.设kCR,函数f(x)=ex(1+x+kx2)(x>0).(1)若k=1,求函数f(x)的导函数f'(x)的极小值；(2)若对任意的t>0,存在s>0,使得当x(0,s)时，都有f(x)<tx2,求实数k的取值范围.解：当k=1时,函数f(x)=ex(1+x+x2),则f(x)的导数f'(x)=ex-(1+2x),令g(x)=f'(x),则g'(x)=ex2,当0<x<ln2时，g'(x)<0;当x>ln2时，g'(x)>0,从而f'

13、;(x)在(0,ln2)上递减，在(ln2,+8)上递增.故导数f'(x)的极小值为f'(ln2)=1-2ln2.(2)对任意的t>0,记函数F(x)=f(x)tx2=ex1+x+(k+t)x2,x>0,根据题意，存在s>0,使得当xC(0,s)时，F(x)<0.易得F(x)的导数F'(x)=ex-1+2(k+t)x,令h(x)=F'(x),则h'(x)=ex-2(k+t).若h'(x)>0,注意到h'(x)在(0,s)上递增，故当xC(0,s)时，h'(x)>h'(0)>0,于是

14、F'(x)在(0,s)上递增，则当xC(0,s)时，F'(x)>F'(0)=0,从而F(x)在(0,s)上递增.故当xC(0,s)时，F(x)>F(0)=0,与已知矛盾；若h'(x)<0,因为h'(x)在(0,s)上连续且递增，故存在s>0,使得当xC(0,s),h'(x)<0,从而F'(x)在(0,s)上递减，于是当xC(0,s)时，F'(x)<F'(0)=0,因此F(x)在(0,s)上递减.故当xC(0,s)时，F(x)<F(0)=第4页共9页0,满足已知条件.综上所述，对任意

15、的t>0,都有h'(x)<0,1所以1-2(k+t)<0,即k>1-t,典例证明当x>0时,故实数k的取值范围为LLLi利用二次求导证明不等式sinx>xxr.6方法演示x3证明：令f(x)=sinxx+,62则f'(x)=cosx-1+学所以f"(x)=sinx+x.易知当x>0时，sinx<x,所以在(0,+°°)上f(x)>0,所以f'(x)在(0,+8)上单调递增.又f'(0)=0,所以在(0,+8)有1(x)>f'(0)=0,所以f(x)在(0,+8)上单

16、调递增.x3故当x>0时，f(x)=sinx-x+>f(0)=0.所以sinx>xx3(x>0).解题师说本题是应用导数证明不等式.证明的关键在于构造适当的函数，然后在相应区间上用二次求导的方法判定导数的符号，得到导函数的单调性，再利用单调性证明不等式.应用体验3.(2018西安八校联考)已知函数f(x)=mexlnx1.(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当m>1时，证明:f(x)>1.1解：(1)当m=0时，f(x)=lnx1,则f(x)=-x所以f(1)=-1,f'(1)=-1.所以曲线y=f(x)在点(1

17、,f(1)处的切线方程为y-(-1)=-(x-1),即x+y=0.(2)证明：当m>1时，f(x)=mex-lnx-1>ex-lnx-1.要证f(x)>1,只需证ex-lnx-2>0.1设g(x)=exlnx2,则g(x)=exx设h(x)=ex1,则h'(x)=ex+4>0.xx第5页共9页一.一1,所以函数h(x)=g(x)=ex-在(0,+00)上单倜递增.x一，11,因为g2=e,-2<0,g(1)=e1>0,所以函数g'(x)=ex1.(理)对任意实数x,证明不等式1+xln(x+，1+x2)>1+x2.证明：设f(x)

18、=1+xln(x+1+x2)R1+x2,.xx1+J+x2.T(x)=ln(x+5+x2)+*x=in(x+J1+x2),x+1+x21+x2设h(x)=f'(x),1+-x-则h'(x)=法与='：+x;x2x+x2、1+x2x+1+x2-=R2>0，在(0,+8)上有唯一零点xo且xoC1,1X21因为g(x0)=0所以ex0=一,即lnx0=x0.当xC(0,x0)时，gz(x)<0；当xC(x0,+8)时，gz(x)>0,所以当x=x。时，g(x)取得极小值也是最小值g(x0).1故g(x)>g(x0)=ex0-lnx。2=京+x02&g

19、t;0.综上可知，当m>1时，f(x)>1.升级增分训练即y(X0+i)inX0+ax0=InX0+1a(xx。)X0即y=lnx0+工+1ax+lnX0-x0-1,X0所以lnx0+5+1V，X0inX0+1=e.A,1X1令g(x)=xinx+1,则g(x)=1=,xx当xC(1,+8)时，gz(x)>0,故当x(1,+8)时，g(x)单调递增.又因为g(e)=e,所以x0=e,将X0=e代入inX0+1a=1,得a=2.X0e(2)证明：由a=2,彳导f'(x)=inx+1-1(x>0).X人.，、.1令h(x)=inx+-，x则h，(X)=1-2=x-2

20、1.xx2x2当xC(0,1)时，h'(x)v0;当xC(1,+8)时，h'(x)>0,故当xC(0,1)时，h(x)单调递减；当xC(1,+oo)时，h(x)单调递增，故h(x)>h(1)=1.因此当xC(0,+8)时，1(x)=h(x)-1>0,当且仅当x=1时，f'(x)=0.所以f(x)在定义域内单调递增.2,已知函数f(x)=eXax2bx1,其中a,bCR,e=2.71828为自然对数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.解：由f(x)=ex-ax2-bx-1,得g(x)=f'(x)=ex2

21、axb.所以g'(x)=ex2a.因此,当xC0,1时,g'(x)C12a,e2a.当a2时，g1(x)>0,所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1b;当a>|时，g'(x)w0,所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e2ab;,1e当.ave时,令g(x)=0,得x=in2aC(0,1).当g'(x)<0时，0Wx<in2a;当g'(x)>0时，in2a<x<1,所以函数g(x)在区间0,in2a)上单调递减，在区间(in2a,1上单调递

22、增，于是g(x)在0,1上的最小值是g(in2a)=2a-2ain2a-b.综上所述，当awj时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1b;当；<a<；时，g(x)在0,1上的最小值是g(in2a)=2a-2ain2ab;当a>：时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e2ab.3,已知函数F(x)=eX+sinx-ax,当x>0时，函数y=F(x)的图象恒在y=F(x)的图象上方，求实数a的取值范围.解：设(j)(x)=F(x)F(x)=exex+2sinx2ax.第7页共9页则.(x)=ex+ex+2cosx2a.设S(x)=4"(x)=exex2si

23、nx.S'(x)=ex+ex2cosx>0在x>0时恒成立， 函数S(x)在0,+8)上单调递增， .S(x)>S(0)=0在xC0,+8)时恒成立，因此函数力(x)在0,+8)上单调递增，.4'(x)>(0)=42a在xC0,+8)时恒成立.当aW2时，-(x)>0, (f)(x)在0,+8)单调递增，即Mx)>(X0)=0.故aW2时F(x)>F(x)恒成立.当a>2时，力(x)<0,又丁-(x)在0,+8)单调递增，存在x0(0,+8),使得在区间0,x°)上8(x)<0.则(f)(x)在0,x。)上递

24、减，而&0)=0, 当xC(0,x0)时，&x)<0,这与F(x)-F(-x)>0对xC0,+8)恒成立不符，a>2不合题意.综上，实数a的取值范围是(8,2.a4.(2018长沙卞拟)已知函数f(x)=ex,g(x)=-,a为头吊数.x(1)设F(x)=f(x)g(x),当a>0时,求函数F(x)的单调区间;(2)当a=e时，直线x=m,x=n(m>0,n>0)与函数f(x),g(x)的图象共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形.求证：(m1)(n1)<0.a解：(1)F(x)=ex-,其定义域为(8,0)U(0,+8).xa而F(x)=ex+