复变函数复习自测题

1、第45章复习自测题、选择题:QO1.复级数£un收敛的必要条件是.n1(A)limnun=0(B)limun=0n_-n_孤(C)limnun=0(D)limUn=0n_-n_,;-:oO2.若复级数工un收敛，则.n1(A) limnun=0n二(B) limunsinn=0n二3.(C) limnun=0n_卜列复级数收敛的是(D) limunsinn=0n_n1i"r(A)<；in(B)(-1)n1n4_i：1,sinn(C)尹n3_2n4.卜列复级数发散的是.(A)-qnn1:二in(其中|q<1)(B)Z(C)Zinendn8n(D)vin112nQO

2、.5.哥级数Zz2n的收敛半径和收敛圆为n1(A)R=和z<收(B)R=1和(C)R=0和z-0.(D)R=1和z=(-1,1):1n,6.已知哥级数£(1F)zn的和函数为nJ2(z-1)(z-2)oO,则(1n=01c七)zn的收敛半径和收敛圆为2n1(A)R二二和z._3_3(B)R=1和|z|<1(C)R=2和|z<2.(D)R=&和|，<37. z=0是f(z)=(ez-1)2$的22是.(A)5阶零点(B)4阶零点(C)3阶零点(D)2阶零点8 .设z=a分别是函数f(z)和g(z)的n阶零点(n>2),则z=a必为+gJN.(A)n

3、阶零点(B)n-1阶零点(C)至多n阶零点或f(z)三0(D)f(z)=09 .设z=a分别是函数f(z)的n阶零点和g(z)的m阶零点，则z=a必为9的.g(z)(A)零点.(B)极点.(C)可去奇点或极点(D)可去奇点.10 .设z=a分别是函数f(z)和g(z)的n阶极点(n>2),则z=a必为f(z)+g(z)的(A)n阶极点(B)至少n阶极点(C)至多n阶极点或可去奇点(D)可去奇点11.设z=a分别是函数f(z)的n阶极点和g(z)的m阶极点，则z=a必为3的.g(z)(A)m-n阶极点(B)n-m阶极点(C)非孤立奇点(D)可去奇点或极点12 .设z=为f(z)的可去奇点或

4、极点，且在0<za<R内，f(z)#0,z=a为g(z)的本性奇点，则z=a为9(2)+2)的.(A)解析点(B)本性奇点(C)极点(D)可去奇点13 .设z=a为f(z)的可去奇点或极点，且在0<za<R内，f(z)#0,z=a为g(z)的本性奇点，则z=a为9(2)“2)的.(A)解析点(B)本性奇点(C)极点(D)可去奇点14 .设z=2为f(z)的可去奇点或极点，且在0<za<R内，f(z)#0,z=a为g(z)的本性奇点，则z=a为史豆的.f(z)(A)解析点(B)本性奇点(C)极点(D)可去奇点115 .设z=0为函数ezsinz的.(A)可去奇

5、点(B)极点(C)本性奇点(D)非孤立奇点16 .设z=0为函数1CoSz的.3z(A)可去奇点.(B)2阶极点(C)1阶极点(D)本性奇点二、填空题：O01 .哥级数nn2(z-1)n的收敛半径R=,收敛圆为，收敛圆周为.nzfi二(7a)n2 .哥级数Z(一n-的收敛半径R=,收敛圆为.n1noOoQoO3 .设R,R,R分别哥级数Zcn(za)n,£ncn(za尸和工-c-(za产的收敛半径，则R,R2,n=0n1nq0n1R的关系是.4 .分别写出ez,sinz,cosz,ln(1+z)(ln(1+z)表示以(，1为割线且满足ln(1+z)z=0的单值解析分析)和(1+z尸(

6、1+z)值表示以(*,1为割线且满足(1+z)Rz乩=1的单值解析分析)在z=0处的基本展式(注意指出展式成立的最大范围)ze=；sinz=；cosz=；ln(1+z)=；(1+z)"=.1115 .写出函数=在指7E圆域或圆环内的洛朗展式：(z-1)(z-2)z-2z-1在z<1内,1(z-1)(z-2),一，1在1<z<2内，=;(z-1)(z-2)1(z-1)(z-2)在0<z-1<1内,1(z-1)(z-2)一.116 .设函数f(z)在原点z=0解析，且对n>1,有f(-)=，由解析函数的惟一性，可得f(z)三.n1n7.写出z=a为解析

7、函数f(z)的m阶零点的定义：8.z=a为解析函数f(z)的m阶零点等价于：.9.设f(z)=(z-1)(z-2)，则f(z)在孤立奇点z=1的主要部分为，从而孤立奇点z=1的类型为f(z)的;f(z)在孤立奇点z=8的主要部分为，从而孤立奇点z=8的类型为f(z)的.110.设f(z)=ez,则f(z)在孤立奇点z=0的主要部分为，从而孤立奇点z=0的类型为f(z)的；f(z)在孤立奇点z=g的主要部分为，从而孤立奇点z=8的类型为f(z)的.三、解答或计算题：1 .求下列哥级数的收敛半径与收敛圆:CO(1)、n-1(z-1)n二(z1；(2)£n!(3)£zn!.nW2

8、 .求下列函数在z=0处的泰勒展式，并指出展式成立的范围:(1)1(1-z)21(1-z)3z；(3)J0cos%2;1zzz.z27二，iee(4) esinz,ecosz,sinz；(5)e-;(6)2,21z1-z3 .判断z=0是下列函数的零点，并求出零点的阶数：(1) z2(ez一1)；(2)6sinz3+z3(z66)；(3)sinz-tanz.4 .求下列函数在指定圆环内的洛朗展式:(1)f(z)=(z-1)(z-2),0.；：z：1;2cz<收；0<z-1<1.一1八,(2) f(z)=sin,0<z1<y.z-11f(z)=ez,0Vzlc+00

9、.z(4)f(z)=ez+,1Mlz<y.5 .求下列函数在扩充复平面上的所有孤立奇点，并分别求出函数在各孤立奇点的去心邻域内的洛朗展式(注意指出展式成立的范围)：111(1) f(z)=;(2)f(z)=;(3)f(z)=(a<b);(z-1)(z-2)z(z-1)(z-a)(z-b)1(4) f(z)=z2ez.若是孤立奇点还要指出类型:6 .求出下列函数在扩充平面上的所有奇点(注意包括1z2zeizz4.1(1)T；COtz；(3);(4)1-zsinz四、证明或讨论题：1.用解析函数的惟一性定理证明：4/6二n1Z.ln(1+z)=£(-1),z<1,nn其

10、中ln(1+z)是以(*,_1为割线，满足ln(1+z)噌=0的单值解析分支.2 .用解析函数的惟一性定理证明：sin2z=2sinzcosz.3 .若f(z)在区域D内解析，CuD为曲线或区域或有属于D的聚点的平面点集，在C上f(z)三常数，证明：在区域D内f(z)三常数.4 .用反证法及最大模，最小模原理证明：设C是一条围线，f(z)在C的内部D解析，在D=D+C上连续，且在C上，f(z)为常数，若f(z)¥常数，则f(z)在D内至少有一个零点.5 .设函数f(z)在区域D解析，闭圆域z-a<RcD,若f(z)在区域D内满足下列条件之一，则f(z)在区域D内恒为常数：(1)

11、在|za|<R内，f(z)#0,且在za=R上,|f(z)为常数；(2)在za<R内，ReIf.qd”或ImIf.fd”为常数；12冗i生个z_"ni启用z_Gf(2dl在za<R内解析.2川出tz6 .设z=a分别为f(z)的m阶零点和g(z)的n阶零点，试讨论下列函数在z=a的性质：(1) f(z)+g(z)；(2)f(z)g(z)；(3)f.g(z)7 .设z=a分别为f(z)的m阶极点和g(z)的n阶极点，试讨论下列函数在z=a的性质：(1) f(z)+g(z)；(2)f(z)g(z)；(3)f.g(z)8 .设z=a为f(z)的可去起点(看成解析点)或极点

12、，且在0<za<R内，f(z)#0,z=a为g(z)的本5/6性奇点，试讨论下列函数在z=a的性质：(1) g(z)+f(z)；(2)g(z)f(z)；(3)-giz).f(z)9 .设a是f(z)的孤立奇点(即f(z)在0<|za<R内解析)，且在0<za<R内，f(z)不恒为零，若存在0<|za<R内的一列收敛于a的点列zn,使得f(zn)=0,n=1,2,，则a是f(z)的本性奇点.10 .试用孤立奇点的特征证明下面有关整函数的命题：(1)设f(z)为整函数，若f(z)在z<内有界，则f(z)恒为常数.(刘维尔定理)(2)设f(z)为

13、整函数,若lim上孕=b#0存在，则f(z)是m次多项式.z二z(3)设f(z)为整函数，若lim"：)=0或z二zm工在0cz<一内有界，即存在M>0,使得在0<|z内，1fmz)<M,则f(z)是至多m-1次多项式.五、综合题：设fn(z)是定义在区域D内的解析函数列，试按下面的步骤探索fn(z)和f；(z)在区域D内内闭一致收敛的关系：(1)试用有限覆盖定理证明：fn(z)在区域D内内闭一致收敛u对任意zWD,存在邻域U(z)uD,使得在邻域U(z)内，fn(z)一致收敛；(2)若fn(z)在区域D内内闭一致收敛，则f；(z)也在区域D内内闭一致收敛；(3)若fn(z)在区域D内收敛，且fn'(z)在区域D内内闭一致收敛，则fn(z)也在区域D内内闭一致收敛；(4)若fn(z)在区域D内收敛，则fn(z