实变函数综合训练题

1、实变函数综合训练题(四)(含解答)一、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案)1、设E是0,1中的有理点全体，则(C、D)考核对典型集合掌握的情况(A)E是闭集(B)E中的每一点都是内点(C)E是可数集(D)mE=02、设E是0,1中的无理点全体，则(C、D)(A)E是可数集(B)E是闭集(C)E中的每一点都是聚点(D)mE>01.，3、若EuR的外测度为零，则(B、D)考核零测集的特点(A)E一定是可数集(B)E一定是可测集(C)E不一定是可数集(D)mE=014、若EuR至少有一个内点，则(B、D)考核典型集的外测度可数性的特点*.(A)mE可以等于零(B)mE>0(C

2、)E可能是可数集(D)E是不可数集5、设mE<g(EURn),函数列fn(x)为E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，若fn(x)=f(x)(xwE),则下列哪些结论不一定成立(A、8、 C、D)考核可测函数与勒贝格积分的简单综合(A)f(x)dx存在(B)f(x)在E上L可积Ea.e.(C)fn(x)Tf(x)(xWE)(D)nmJfn(x)dx=If(x)dx6、设Eua,b是可测集，则E的特征函数Xe(x)是(A、B、C)考核特征函数的特(A)a,b上的简单函数(B)a,b上的可测函数(C)E上的连续函数(D)a,b上的连续函数7、若f(x)在可测集E

3、上有L积分值，则(A、C)考核勒贝格积分的定义(A)fz)和f-(z)中至少有一个在E上L可积(B)f+(z)和f-(z)都在E上L可积(C) |f(z)在E上也有L积分值(D)|f(z)在E上一定L可积8、设f(x)在可测集E上L可积，则(A)f彳z)和f/z)有且仅有一个在积(C)f(z)在E上不一定L可积9、设f(z)是a,b的绝对连续函数，则(的基本性质(A)f(z)是a,b上的连续函数(C)f(z)是a,b上的有界变差函数B、D)考核勒贝格积分的定义E上L可积(B)f表)和f(z)都在E上L可(D) f(z)在E上一定L可积A、B、C)考核绝对连续函数、有界变差函数(B) f(z)是

4、a,b上的一致连续函数(D)f(z)在a,b上处处可导10、设f(z)是a,b的单调函数，则(A、C、D)考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质(A)f(z)是a,b的有界变差函数(B)f(z)是a,b的绝对连续函数(C) f(z)在a,b上几乎处处连续(D)f(z)在a,b上几乎处处可导二、单项选择题(每题仅有一个正确答案)1 .设E是0,1中的无理点全体，则E是(C).考核对典型集合掌握的情况(A)可数集(B)有限集(C)不可数集(D)零测集2 .下面集合关系成立的是(A).考核对集合的基本运算掌握的情况(A)(AB)=B=A=B(B)(AB)=B=A(C)(BA)=A=A(D)BA-A

5、23 .若E仁R至少有一个内点，则有(B).考核对典型集合外测度掌握的情况*(A)mE=0(b)mE>0(c)mE=0(D)mE<02八4 .设EuR是开集，则(B).考核开集团集的基本特征(A)E'uE(B)E°=E(C)E=E(D)E'=E5 .设Eua,b是可测集，则E的特征函数Xe(x)是a,b上的(A).考核对集合的特征函数的认识(A)简单函数(B)常函数(C)连续函数(D)单调函数一1x。，口_6 .设Qu0,1是有理数集,D(x)=4，则D(x)是0,1上的(C).考核目标同上0,xQ题(A)连续函数(B)单调函数(C)简单函数(D)定积分存

6、在的函数7 .设f(X)在可测集E上勒贝格可积，则(B).考核勒贝格积分的定义(A)fTx)和f"(x)有且仅有一个在E上勒贝格可积；(B)fx)和f(x)都在E上勒贝格可积(C)fx)和f(x)都在E上不勒贝格可积；(D)f(x)=f+(x)+f(x)在E上不勒贝格可积8 .设W是0,1上的无理数集，c表示连续基数，则(D).考核对典型集合基数和测度掌握的情况(A)W>c(B)W<c(C)mW=0(D)mW=19 .设f(x)是a,b上的单调函数，则f(x)是a,b上的(D).考核基本的有界变差函数和绝对连续函数(A)连续函数(B)绝对连续函数(C)可导函数(D)有界变

7、差函数10 .设f(x)在a,b上绝对连续，则f(x)在a,b上(A).考核绝对连续函数的关系的基本性质(A)有界变差(B)可导(C)单调(D)连续可微三、填空题C1 .设A,B为X的两个子集，则AB等于AcBC.考核集合之间的基本关系2 .设A,B为两个集合，则A=B等于(B2A考核目标同上3 .设EuRn,如果E满足E'uE,则E是闭集.考核开集、闭集的定义4 .设EuRn,如果E中的每一点都是内点，则E是开集.考核开集、闭集的定义5 .若开区间(5P)是直线上开集G的一个构成区间，则(u,P)满足(a,P)uG且口，P更G.考核开集的构成区间的定义和特点1一6 .设E是R上的开集

8、，若开区间(a,b)满足(a,b)匚E且a,b受E,则称(a,b)是开集E的构成区间.考核开集的构成区间的定义和特点7 .设A是无限集，则A的基数A大于或等于a(其中a表示可数基数).考核可数集的性质8 .设A是偶数集，则A的基数A等于a(其中a表示可数基数).考核可数集的性质9 .设Ei,E2为可测集，mE2<",则m(EiE2)大于或等于mEmE?.考核测度的性质，单调性和次可加性10 .设A,B为可测集，则m(AuB)小于或等于mA+mB.考核测度的性质，次可加性11 .设f(x)是定义在可测集E上的实函数，若对任意实数a,都有Exf(x)aa是可测舞，则称f(x)是可测

9、集E上的可测函数.考核可测函数的定义12 .设f(x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a<b),有Exa身x)b可测集.考核可测函数的基本性质113 .设EuR是可数集，则mE等于0.考核典型集合的测度和外测度14 .设Pu0,1是康托集，则mP等于0.考核典型集合的测度和外测度15 .设函数列fn(x)为可测集E上的可测函数列，且fn(x)在E上依测度收敛于f(x),则存在f<X)的子列"X),使得fnk(X)在E上几乎处处收敛于f(X).考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的黎斯定理16 .设mE<一,fn(x)是E上的可测函数列，f(

10、x)是E上的实函数，若fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x),则fn(x)在E上依测度收敛于f(x).考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的勒贝格定理_17 .设f(x)在a,b上黎曼可积，则f(x)在a,b上勒贝格可积，且它们的积分值_J1等.考核黎曼积分与勒贝格积分的关系18 .设f(x),g(x)都在a,b上勒贝格可积，且几乎处处相等，则它们在a,b上勒贝格积分值相等.考核勒贝格积分的基本性质19 .若f(x)是a,b上的绝对连续函数，则f(x)是ab上的有界变差函数.考核有界变差函数和绝对连续函数的关系20 .若f(x)是a,b上的有界变差函数，则f(x)可以表示成两个单

11、调函数的和或差.考核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理四、判断说明题(注意这类题不仅要求判断对还是不对，而且还要简单的说明理由)1 .无限个闭集的并集仍为闭集.考核开集、闭集的性质答：不对，因为闭集只对有限的并集运算封闭。2 .无限个开集的交集仍为开集.考核开集、闭集的性质答：不对，因为开集只对有限的交集运算封闭。3 .无限集均含有一个可数子集.考核可数集的性质答：对，因为这是可数集与无限集的关系。4 .无限集都是可数集.考核无限集的分类答：不对，因为无限集还包括不可数集。5 .设E是可测集，则一定存在G型集G,使得EuG,且m(GE)=0.考核可测集与G、.型集或F二型集的关系答：

12、对，因为这是可测集与G型集的关系。6,设E是可测集，则一定存在F仃型集F,使得FuE,且m(EF)=0.考核可测集与G、.型集或F；理集的关系答：对，因为这是可数集与F。型集的关系。7 .设E是测度为零的集，f(z)是E上的实函数，则f(x)不一定是E上的可测函数.考核可测函数的基本性质答：不对，因为零测集上的任何实函数都是可测函数。8 .设E是可测集，f(z)是E上几乎处处为零的实函数，则f(x)在E上可测.考核可测函数的基本性质答：对，因为常函数0是可测函数，由可测函数的性质可得f(x)在E上可测。9 .设f(z)是可测集E上的非负可测函数，则f(x)必在E上勒贝格可积.考核勒贝格积分的定

13、义答：不对，因为可测集E上的非负可测函数只能保证有勒贝格积分，不一定能保证勒贝格可积。10 .设f(z)是可测集E上的可测函数，则fEf(x)dx一定存在.考核勒贝格积分的定义答：不对，因为可测集E上的可测函数，不一定能定义勒贝格积分，因此不一定能保证Eef(x)dx存在。五、简答题(此类题关键是要把要点答出来)1 .简述无穷多个开集的交集是否必为开集？考核开集、闭集的运算性质要点：首先，回答结论：不一定为开集其次，举出交集为开集的例子和交集不是开集的例子。2 .简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？考核开集、闭集的运算性质要点：首先，回答结论：不一定为闭集其次，举出并集为闭集的例子和并集不是闭

14、集的例子。3 .可测集E上的可测函数与简单函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系要点：1、简单函数是可测函数；2、可测函数不一定是简单函数；3、可测函数一定可表示成一列简单函数的极限。4 .可测集E上的可测函数与连续函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系要点：1、连续函数是可测函数；2、可测函数不一定是连续函数；3、对任意8>0,在E中去掉一个测度小于君的可测集后，可测函数能成为连续函数(鲁津定理)。5 .a,b上的有界变差函数与单调函数有何关系？考核单调函数与有界变差函数的关系要点：1、单调函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是单调函数；3、有界变差函数能分解成两个单调函

15、数的和或差。6 .a,b上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？考核有界变差函数与绝对连续函数的关系要点：1、绝对连续函数是有界变差函数;2、有界变差函数不一定是绝对连续函数。六、计算题(注意这类题要写出主要步骤).2x0,11'W1.设f(x)=/L,J，其中W是有理数集，求ff(x)dx.考核简单的0x-0,1-Wmi勒贝格积分的计算解：因0,1-W是至多可数集,m(0,1W)=0,得f(x)=0在0,1上几乎处处成立。所以由勒贝格积分的惟一性,ff(x)dx=00dx=0。0,10,1一、sinx2xC2.设f(x)2x2x0,1,其中C是康托集，求ff(x)dx.考核简单的勒贝

16、C。内格积分白计算解：由康托集为零测集，即mC=0,得f(x)=x2在0,1上几乎处处成立。所以ff(x)dx=Jx2dxJx3：=10,10,133注意：上面两题是简单积分的计算，注意利用积分的惟一性。3,求limln(x+n)edx.考核勒贝格控制收敛定理的简单应用n-0nln(xn)*-斛：因为Hme=0,且ln(xn)n工ln(x+n)e=n*ln(1xn-1)/xn-1e二e-nne“<(x1)e”1ne，dx=二n00dx=0。而(x+1)e在0,依)勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理lim二1e'dxlimf0n0n一nx4.设fn(x)=屋为sinnx,E=0

17、,1,求lim1i(x)dx.考核勒贝格控制收敛定理的简1nxn一e单应用nx斛：因为lim.fn(x)=lim2TSinnx=0,且-1nxfn(X)=nx|/221nxsinnx<nx-221nx_1而1显然在E=0,1勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理!mJEfn(x)dx=fE!也fn(x)dx=JE0dx=0。注意：上面的两题在计算时，要注意验证勒贝格控制收敛定理的条件。七、证明题1 .证明：(E1=Ez)E=(已E)=(E2E).证明：(方法1)(E1.E2)E=(已E2)-Ec=(已一Ec)一(E2-Ec)=(工E)_.(E2E)(方法2)直接用集合相等的定义证明。2

18、.证明：E(BuA)=(EB)c(EA).证明：(方法1)E(BA)=E一(BA)c=E一(Bc-Ac)=(E.Bc)一(E.Ac)=(EB)一(EA)(方法2)直接用集合相等的定义证明。3 .设E是R中的有理点全体，则E是可测集且mE=0.提示：用外测度的定义证明证明：因为E是可数集，则E=r,1III,%,|对任意EA0,取开区间S-合，+言)，n=1,2,|,显然它们把E。覆盖住。于是mE££二=£。让et0得，mE=0,从而E。是可测集且mE=0。nm2n24 .设AuR,且mA=0,则A是可测集.提示：用可测集的定义证明。一、2证明：对任意TuR,显然*

19、_*_*_c一mT<m(T'A)m(T-A)又m(TcA)MmA=0(因为TcAuA),从而*m(T-A)=0所以*c*ccm(TcA)+m(TcA)=m(TcA)WmT(因为TcAuT)所以mT=m(T一A)m(T一即A是可测集。5 .证明：R上的实值连续函数f(x)必为R上的可测函数.证明：因为对于任意实数a,由连续函数的局部保号性易知，Rxf(x)Aa是开集，从而Rxf(x)aa是可测集。所以f(x)必为R上的可测函数。6 .证明：R上的单调函数f(x)必为R上的可测函数.证明：不妨设f(x)是单调递增函数，对于任意实数a，记infRxf(x)>a=«0,由

20、于f(x)是单调递增函数,1(Rxf(x)>a=fcc0SRxf(x)>aa0£Rxf(x)>a,显然是可测集。所以f(x)必为R上的可测函数。7.设f(x)是可测集EuRn上的勒贝格可积函数,En为E的一列可测子集，mE<+,如果lim0m曰=mE,则l圾ff(x)dx=Jf(x)dx.证明：因为mE且En二E,所以mEn=m(EEn)=mE-mEn从而由题设lim.m(EEn)=mE-limmEn=mE-mE=0又f(x)在EuRn上的L可积，且f(x)dx-f(x)dx=f(x)dx-f(x)dxEn(EEn)一EnEn=f(x)dx，If(x)dx-f(x)dx=f(x)dxE-ne'n所以由积分的绝对连续性得Um1f(x)dx-f(x)dx)=lnimE一EE,f(x)dx=0n8.设f(x)是可测集EuRn上的可测函数，则f(x)在E上勒贝格可积uf(x)在E上即limff(x)dx=ff(x)dx。-nnTE勒贝格可积.证明：必要性：因为f(x)在E上L可积，则Jf*(x)dx<rff"(x)dx<yEE而f(x)=f*x)+