山东青岛胶州高二数学下学期期中试卷理含解析

1、2014-2015学年山东省青岛市胶州市高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1. (5分)(2015春?胶州市期中)甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有()A.6种B.12种C.30种D.36种考点：排列、组合及简单计数问题.专题：计算题；排列组合.分析：直接利用乘法原理，可得结论.解答：解：二.甲、乙两人从4门课程中各选修1门，由乘法原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4X3=12种.故选：B.点评：本题考查排列组合知识，正确分步是解题的关键.2. (5分)(200

2、5?广东)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为()A.(2,+8)B.(一巴2)C.(-巴0)D.(0,2)考点：利用导数研究函数的单调性.专题：计算题.分析：求出f'(x)令其小于0即可得到函数是减函数的区间.解答：解：由f'(x)=3x26xv0,彳导0<x<2，函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为(0,2).故答案为D.点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力.3. (5分)(2013秋?黄州区校级期末)已知函数f(x)=(x-3)ex,则f'(0)=()A.2B.-2C.3D.4考点：导数的运算.专题：导数的综合应用.分析：根

3、据函数的导数公式直接进行求导，然后即可求f(0)的值.x解答：解：f(x)=(x3)e,(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,.f(0)=(0-2)e0=-2,故选：B.点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则，比较基础.4. (5分)(2014春?城关区校级期末)在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是()尸il厂Q广33C6ccwoCgqC.D.衣3-*3A100与4考点：计数原理的应用.专题：排列组合.分析：在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的对立事件是没有次品，3没有次品的

4、事件有Q4,得到至少有1件次品的不同取法用所有减去不合题意的.解答：解：在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，共有。种结果，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有Cm3,33，至少有1件次品的不同取法有。00-C94,故选：B.点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时可以从正面来考虑，至少有一件次品包括有一件次品，有两件次品，有三件次品，分别写出结果再相加.5. (5分)(2014?州区校级卞拟)设a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数，则曲线：y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为()

5、A.9x-y-16=0B.9x+y-16=0C.6x-y-12=0D.6x+y-12=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的概念及应用.分析：先由求导公式求出f'(x),根据偶函数的性质，可得f'(-x)=f'(x),从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程.解答：解：f'(x)=3x2+2ax+(a3),-fz(x)是偶函数，.3(-x)+2a(-x)+(a-3)=3x+2ax+(a-3),解得a=0,.f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,贝Uf(2)=2,k=f'(2)=9,即切点为(2,

6、2),切线的斜率为9,切线方程为y2=9(x-2),即9x-y-16=0.故选：A.点评：本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题.6. (5分)(2013秋？临淄区校级期末)下列函数中x=0是极值点的函数是()A.f(x)=-x3B.f(x)=-cosxC.f(x)=sinx-xD.f(x)=-考点：函数在某点取得极值的条件.专题：导数的概念及应用.分析：结合极值的定义，分别判断各个函数是否满足(-8,0)与(0,+8)有单调性的改变，若满足则正确，否则结论不正确.解答：解：A、y'=-3x2wo恒成立，所以函数在R上递减，无极值点E

7、kv'=sinx,当-兀vxv0时函数单调递增；当0vxv兀时函数单调递减且y'x=0=0,故B符合Cv=cosx-KO恒成立，所以函数在R上递减，无极值点Dy=在（-巴0）与（0,+8）上递减，无极值点故选B点评：本题主要考查了极值的定义，函数在x。处取得极值？f'（x。）=0且在的x。两侧发生单调性的改变.7. （5分）（2013春？内江期末）如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x?f'（x）V0的解集为（）A.（-OO,一加）B.（0，V5）C.（行，+8）D.（-OO,-的）U（0,限考点

8、：导数的运算；函数的图象.专题：数形结合法.分析：先从原函数的极值点处得出导数的零点，再利用导函数是二次函数的特点，结合二次函数的图象，即可解出不等式x?f'（x）V0的解集解答：解：由图可知：士寸G是函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的两个极值点，且a>0即土£是导函数f'（x）的两个零点，导函数的图象如图，当xC（8,一近）时，f（x）>0,则x<0,故（-8,一近）是解集的一部分；同理（0，方）也是解集的一部分.故选D.点评：本小题主要考查函数的图象、一元二次不等式的解法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转

9、化思想.属于基础题.8. （5分）（2011?国建）若a>0,b>0,且函数f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于（）A.2B.3C.6D.9考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式.专题：计算题.分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a,b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等.解答：解：:f'（x）=12x2-2ax-2b,又因为在x=1处有极值，a+b=6,.a>0,b>0,abC）二9,当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9.故选：D.点评

10、：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等.9. （5分）（2013?西城区一模）从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A,B,C,D四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有（）A.60种B.72种C.84种D.96种考点：排列、组合及简单计数问题.专题：概率与统计.分析：根据题意中“甲、乙只能从事后三项工作，其余三人均能从事这四项工作”这一条件，分两种情况讨论：甲、乙中只有1人被选中，、甲、乙两人都被选中，由分步计数原理可得每种情况的选派方案的数目，进而由分类计数原理，即可得答案.解答：解：根据题意，

11、分两种情况讨论：、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有c/caZbg种选派方案.、甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有。2?为2?。2?储=36种选派方案，综上可得，共有36+36=72中不同的选派方案，故选B.点评：本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，注意根据题意中“甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作”这一条件，进行分类讨论，属于中档题.10. (5分)(2015?W州模拟)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f'

12、(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+8)B.(-8,0)U(3,+8)C.(-8,0)u(0,+8)D.(3,+oo)考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算.专题：导数的综合应用.分析：构造函数g(x)=exf(x)-ex,(xCR),研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g(x)=exf(x)-ex,(xCR),贝Ug'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=exf(x)+f'(x)1,.f(x)+f'(x)>1,.f(x)+f'

13、;(x)T>0,，g'(x)>0,-y=g(x)在定义域上单调递增， exf(x)>ex+3, g(x)>3,又g(0)e0f(0)e0=41=3, g(x)>g(0),.x>0故选：A.点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.二、填空题(共5小题，每小题5,满分25分)考点：分析：解答:11.(5分)(2013?广宁县校级模拟)函数尸鱼巫的导数为工导数的运算.根据导数的运算法则可得答案.Ie-invk(sinx)-ksinsxcosx-sinx解：.尸旦巫y'=T故答案为:xco

14、sx-sinx2X点评：本题主要考查导数的运算法则.属基础题.求导公式一定要熟练掌握.12.(5分)(2015春?胶州市期中)若(2x+k)dx=2,则k的值为1考点：定积分.专题：导数的概念及应用.分析：根据积分公式直接计算即可得到结论.解答：解：1(2x+k)dx=(x2+kx)|l=1+k=2,JQ0解得k=1,故答案为：1点评：本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础.13. (5分)(2013搐武区校级模拟)6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为576种.考点：排列、组合及简单计数问题.专题：计算题；概率与统计.分析：6人站成一排，总的排法种

15、数为小甲、乙、丙3个人都站在一起的排法种数为4由此能求出6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数.解答：解：6人站成一排，总的排法种数为6人站成一排，甲、乙、丙3个人都站在一起的排法种数为正人工.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为：故答案为：576.点评：本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法.14. (5分)(20117#祥市校级模拟)已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)?(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是(T,0).考点：利用导数研究函数的极值.专题：压轴题.分

16、析：根据题意，由f(x)在x=a处取到极大值，分析可得有xva时，f'(x)>0,x>a时，f'(x)v0,分3种情况讨论x>a时与xva时的f'(x)的符号，综合可得答案.解答：解：:f'(x)=a(x+1)(x-a)且f(x)在x=a处取到极大值，则必有xva时，f'(x)=a(x+1)(xa)>0,且x>a时，f'(x)=a(x+1)(xa)<0,当a>0时，不成立，当-1vav0时，有xva时，f'(x)>0,x>a时，f'(x)<0,符合题意；当aw-1时，有x

17、va时，f'(x)<0,x>a时，f'(x)>0,f(x)在x=a处取到极小值，综合可得：1vav0,故答案为(-1,0).点评：掌握函数的极值与导数的关系.15. (5分)(2011秋?南京期末)设函数f(x)在其定义域D上的导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的xCD都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).给出下列四个函数：f(x)=_!x3-x2+x+1;3f(x)=lnx+:;x+1f(x)=(x2-4x+5)ex;2.f(x)=-,2x+l其

18、中具有性质P(2)的函数是.(写出所有满足条件的函数的序号)考点：命题的真假判断与应用.专题：导数的综合应用.分析：因为a=2,所以先求出函数f(x)的导函数f'(x),然后将其配凑成f'(x)=h(x)(x2-2x+1)这种形式，分别求出h(x),然后确定h(x)是否满足对任意的xCD都有h(x)>0.解答：解：f(x)=x22x+1，若f'(x)=h(x)(x22x+1),即x22x+1=h(x)(x22x+1),所以h(x)=1>0,满足条件，所以具有性质P(2)._一、，,，d函数f(x)=lnx+的te义域为(0,x+1+00).£(6二

19、3-""署二-,K(i+l)2x(Hl)2K(x+D2所以h=当xC(0,+OO)时，h(x)>0,所以具有性质P(2).X(宜+1)2f(x)=(2x4)ex+(x24x+5)ex=(x22x+1)ex,所以h(x)=ex,因为h(x)>0,所以具有性质P(2).,._+1)+1)-2(e2+1)2x2+2x+1芳r二右(2x+l)2(2x+l)z2/、_2/+2工+13-3(2x+l)*2则一,因为h(1)=0,所以不满足对任意的21+2x+l(2x+l)2(j2-2x+l)(x)>0,所以不具有性质P(2).故答案为：.点评：本题的考点是导数的运算以

20、及通过条件求h(x),本题的关键是通过关系式确定函数h(x)的表达式，然后判断条件是否成立.运算量较大.三、解答题(共6小题，满分75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)16. (12分)(2015春?胶州市期中)设函数f(x)=2x3+ax2+bx+1的图象在(1,f(1)处的切线方程为12x+y-2=0.(1)求实数a、b的值；(2)求函数f(x)的极值.考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用.分析：(I)求出导函数，然后利用切线方程，得到方程组，即可求解a,b.(n)求出极值点，通过列表判断函数的导函数符号，判断函数的单调性，

21、然后求解极值.解答：(本题满分12分)解：(I)f(x)=6x2+2ax+b(1分)因为f(x)在(-1,f(-1)处的切线方程为12x+y-2=0所以f(1)=-12,f(-1)=14-(2分)所以(4分)F(-1)=-12f(-1)=14口口(6-2a+b=-12即：-2+a-b+l=14所以，La=3b=-12(6分)(n)由(I)f(x)=2x3+3x2-12x+1,所以f(x)=6x2+6x-12令f(x)=6x2+6x-12=0,解得：x1=-2,x2=1(8分)x(-°0,-2)-2(-2,1)1(1,+8)f(x)+0-10+f(x)T21J-6T(10分)所以函数f

22、(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21,在x=1处取得极小值f(1)=-6.(12分)点评：本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力.17. (12分)(2011?安徽模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-%0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点.(1)求b的值；(2)求a的取值范围.考点：函数的单调性与导数的关系.专题：计算题.分析：(1)根据函数的单调性判断出x=0是函数的一个极值点，求出函数的导函数，令f'(0)=0,求出b的值.(2)将b的值代入f(x),将x=1代

23、入f(x)的解析式令其值为0,得到a,c的关系，求出导函数，令导函数为0,得到函数的两个极值点，据函数的三个根，令求出a的范围.3解答：解：(1).1f(x)=-x3+ax2+bx+c1.f1(x)=-3x2+2ax+b.因为f(x)在(-8,0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，所以当x=0时，f(x)取到极小值，即f(0)=0b=0.(2)由(1)知，f(x)=-x3+ax2+c1是函数f(x)的一个零点，即f(1)=0,c=1af1(x)=-3x2+2ax=0的两个根分另1J为工二0,x?二警.又f(x)在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，即a>-.2点评：函

24、数在极值点处的导数值为0,导函数大于0对应函数的单调递增区间；导函数小于0对应函数的单调递减区间.18. (12分)(2015春?胶州市期中)已知n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含x项的系数为112.(1)求m,n的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；(3)求(1-力的展开式中含x2项的系数.考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质.专题：计算题.分析：(1)由题意可得2n=256,由此解得n=8.再根据含x项的系数为CqmZll?，求得m的值.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为c!+cm+cg+cL再根据二项式系数的性质求得QQ00结果.(3)(1+24

25、)S(1-X)=(1+2«)(1+24)可可得含x2的系数为Cjz"-ch2,运算求得结果.解答：解：(1)由题意可得2n=256,解得n=8.(3分)含x项的系数为Coinll2，(5分)O解得m=2或m=-2(舍去).故m,n的值分别为2,8.(6分)(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为c'+Ci+c5+C，二28'二128,(9分)8888一口（3）（1+2J；）6（1-x）=e-x（1+24）8,（11分）所以含x2的系数为点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题.19. (12分)(2014?商丘三模)已知函数f(x)=l

26、nx-lax2-2x(a<0)2(1)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2)若a=-4且关于x的方程f(x)=-x+b在1,4上恰有两个不相等的实数根，求实数22b的取值范围.考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值.专题：计算题.分析：(1)对函数f(x)进行求导，令导数大于等于0在x>0上恒成立即可.(2)将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题.解答：解：(1)f(x)=-(x>0)依题意f(x)>0在x>0时恒成立，即ax2+2x-1W0在x>0恒成立.-,1-2x,则a<厂=在x

27、>°恒成立，x1 2即aw(1)-1minx>0x12当x=1时，-1取最小值-1.a的取值范围是(-8,-1(2)a=-,f(x)=-x+b2242设g(x)=yi-x+lm-b(篡>0)贝Ug'(x)=1歹U表：422xX(0,1)1(1,2)2(2,4)g'(x)+0-0+g(x)T极大值J极小值T1g(x)极小值=g(2)=ln2-b-2,g(x)极大值=g(1)=-b-4又g(4)=2ln2-b-2,方程g(x)=0在1,4上恰有两个不相等的实数根.g>0则4g(2)<0,得ln2-2<b<-Sg(4)>04点

28、评：本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减.220.(13分)(2015春?胶州市期中)已知函数f=x+色一，g(x)=x+lnx,其中a>0.(1)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点，求实数a的值；(2)若对任意的x1,xzC1,e(e为自然对数的底数)都有f(x。>g(x2)成立，求实数a的取值范围.考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.专题：导数的概念及应用.21分析：(1)通过h'(工)=2'x=1是函数h(x)的极值点及

29、a>0,可得a=V3,2YX&再检验即可；(2)通过分析已知条件等价于对任意的x1,x2C1,e都有f(x)min>g(x)max.结合当x1,e时及葭(式)=l十20可知g(x)max=g(e)=e+1.利用F(x)二1K二"+')/一己),且xC1,e,a>0,分0vav1、1<a<e>ZXa>e三种情况讨论即可.2解答：解：(1)f(x)二肝三,g(x)=x+lnx,2h(x)二2"且Time，其定义域为(0,+°°),x21h'(工)-2m+一.Jxx=1是函数h(x)的极值点，.

30、h(1)=0,即3-a2=0.a>0,a=V3经检验当时，x=1是函数h(x)的极值点，a/3；(2)对任意的xi,x2e1,e都有f(xi)>g(x2)成立等价于对任意的Xi,x21,e都有f(x)min引g(x)max.当xC1,e时，葭(x)=1+>0.函数g(x)=x+lnx在1,e上是增函数.g(x)max=g(e)=e+1.F(Q二1-二二"3),且xe1,e,a>0.当0vav1且xC1,e时，fJ(X)二(./一.0,x2函数f(k)=x+且一在1,e上是增函数，由1+a2>e+1,得a>又0vav1,.a不合题意；当1WaWe时，

31、右1Wxva,贝Uf(x)=<0,若a<xwe,则f'(Q二(=)仆一，。,2二函数f(k)=x+且一在1,a)上是减函数，在(a,e上是增函数.f(x)min=f(a)=2a.由2aRe+1,得a>-,2，一一1.又1WaWe).waWe;2当a>e且xC1,e时，f'二宴<0,2，函数f(x)=x+且一在1,e上是减函数.由>e+1,得a>,e又a>e,a>e;综上所述：a的取值范围为|号，+8).点评：本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等基本知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.21.(14分)(2014春?东港区校级期末)已知函数f(x)=Jlx2-3x+(a-1)Inx,g(x)=ax,2h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中aCR且a>1.(I)求函数f(x)的导函数f'(x)的最小值；(n)当a=3时，求函数h(x)的单调区间