第2章极限与连续数列的

1、 第 2 章 2 . 2 函函 数数 的的 极极 限限 2 . 3 无无 穷穷 小小 量量 与与 无无 穷穷 大大 量量 2 . 1 数数 列列 的的 极极 限限 第第 2 2 章章 极极 限限 与与 连连 续续 2 . 4 函函 数数 的的 连连 续续 性性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 2 章 2. 1. 4 2. 1. 4 收收 敛敛 数数 列列 的的 性性 质质 2. 1. 3 2. 1. 3 数数 列列 极极 限限 的的 定定 义义 2 . 1数列的极限数列的极限2. 1. 1 2. 1. 1 问问 题题 的的 引引 入入2. 1. 2 2. 1. 2 数数 列列2. 1.

2、5 2. 1. 5 实实 数数 的的 基基 本本 定定 理理机动 目录 上页 下页 返回 结束 r2.1.1 2.1.1 问题的引入问题的引入引例引例. .设有一半径为设有一半径为 r 的圆的圆 ,nAn如图所示如图所示 , 可得可得 ：222sincossin2nnrAnrnnn(3, 4, 5,)n 当当 n 无限增大时无限增大时, nA解：解：,nl分别表示圆内接正分别表示圆内接正 n 边形的周长与面积边形的周长与面积,2sin;nlrnn,nl的变化特征如何？的变化特征如何？“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣

3、。则与圆周合体而无所失矣。”cosrnsinrn刘徽刘徽 ：试问：试问：试求其周长试求其周长 l 与面积与面积 A ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2. 1.1. 2 2 数数 列列按自然数的按自然数的顺序顺序排列的排列的一串实数一串实数 :12,nxxx,1 ,nnx.nx nx称为（实）称为（实）数列数列。or由函数的概念，知数列由函数的概念，知数列可视为自变量取自然数的可视为自变量取自然数的函数（即定义域为函数（即定义域为 N 的函数），的函数），或或整序变量整序变量。 nx还可理解为数轴上不断还可理解为数轴上不断运动着的点列运动着的点列，随着时刻的推移在数轴上依次取随着时刻的

4、推移在数轴上依次取12,nx xx各点。各点。从几何上看，从几何上看，故数列也常被称为故数列也常被称为整标函数整标函数记作：记作：记作：记作： ,nf nnNx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如 ：1316131,1 ,nn1( 1),1 ,nnn ( 1),1 ,nnn11 ,nn011213141516-11213141516001121214-1151614又如又如 ：再如再如 ：15机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如 ：( 1),1 ,nnnn ( 1),1 ,nknn 01k 12k13k 14k 15k 16k 17k 03223544576671再如再如 ：机

5、动 目录 上页 下页 返回 结束 nx的量在各个时刻所处的状态，的量在各个时刻所处的状态，但还不够，但还不够，变化趋势变化趋势。也就是说，随也就是说，随 n 逐步增大时，逐步增大时，是是如何如何变化的？变化的？是否与某个常数是否与某个常数任意接近任意接近？) 如何度量两个量的接近程度？如何度量两个量的接近程度？）如何刻画）如何刻画“任意接近任意接近”？对于用数列所描述的实际问题而言，对于用数列所描述的实际问题而言，我们怎样才能找到此常数？我们怎样才能找到此常数？个理论问题。个理论问题。这就提出了以下急待解决的问题：这就提出了以下急待解决的问题：机动 目录 上页 下页 返回 结束 其取值反映了所

6、关心其取值反映了所关心这对于研究问题无疑是有益的，这对于研究问题无疑是有益的，我们不仅关心这个量在固定时刻的值，更关注它的我们不仅关心这个量在固定时刻的值，更关注它的假若如此，这个常数等于多少？假若如此，这个常数等于多少？后者是个方法问题，而前者则是后者是个方法问题，而前者则是（即构建（即构建任意接近任意接近的的逻辑基础逻辑基础）如对于数列：如对于数列：1n1nn11100n( 1),1,2,nnnnnx 1nx 由于由于反映了反映了与与 “ 1” 的接近程度，的接近程度，nxnx与与 1 就就 “ 越接近越接近 ” ，不难看出，不难看出， n “ 越大越大” ，要使要使11,100nx故只要

7、故只要100,n就能保证从就能保证从 100 项之后的各项项之后的各项101102,xx与数与数 1 的接近程度均小于的接近程度均小于也就是说：也就是说：( 1)1nnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1,100只须只须即可，即可，例如：例如：100n 11001,nNx1nx要使要使只须只须10000n即可，即可，10000n 也就是说：也就是说：完全类似地，完全类似地，( 1)11nnnn 1100001100001,nxN一般地一般地，1n只须取只须取1,N 1111n 当当Nn时，时，111,2,n 即：即：有有机动 目录 上页 下页 返回 结束 1nx对于任意地对于任意地要使要

8、使0,1,nNx1n2.2. 1.1. 3 3 数列极限的定义数列极限的定义定定 义义设设nx是一数列，是一数列，对于对于任意给定任意给定的正数的正数nx总总存在存在着自然数着自然数 N ，当当 n N 时时都有：都有：或或则称数列则称数列nx是是收敛收敛（于（于 a ）的的 ；常数常数 a 称为数列称为数列nx( 当当 n 趋于无穷时趋于无穷时 ) 的的极限极限 。limnnax或或()nnax.nnax 或或如果数列如果数列nx不收敛不收敛，就称之是，就称之是发散的发散的。,nN axnax,记作：记作：若若常数常数 a 满足满足 ：():N的的一切一切机动 目录 上页 下页 返回 结束

9、例例 如如, ,1,43,32,21nn1nnnx)(1n,) 1(,43,34,21,21nnn1( 1)nnnnx )(1n,2,8,4,2n2nnx)(n,) 1( ,1,1,11n1( 1)nnx 趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 1. . 设设nx,1,2,nCnx0, 0CC0nCx试证数列试证数列的极限为的极限为 C 。 证证 : nCx对一切的自然数对一切的自然数 ，总有：总有：因此因此 , 取取1,N 则当则当时时, 就有就有机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中：其中：C为常数，为常数，nNnCx,nN Cx分析分析：综上分析综

10、上分析：0, ( 1) ,N当当时时, nNnCx都有：都有：lim.nCC即即例例 2. 设设,) 1() 1(2nnnx.lim0nnx试证：试证：11N11N证证 :0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n0 ,欲使欲使,0nx只须只须11n取取.11n分析分析：111111则当则当Nn 时时, 必有：必有：0nx2( 1)lim0(1).nnn综上分析综上分析：(1 ),011,N当当时时, nN都有：都有：2( 1)0(1)nn11n0.,nNx1N ,0111nnnx故也可取也可由也可由210(1)nnx说明说明: 取取11NN 与与 有关，但不唯一，有关，但不唯一，只要

11、只要 N 存在，不一定取最小的存在，不一定取最小的 N。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 3. 设设0,1q试证等比数列试证等比数列证证 : 0nx01nq欲使欲使0,nx只须只须1,nq即即(1)lnlnnq因此因此 , 取取则当则当 n N 时时,必有必有的极限为的极限为 0 . 1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 ln1l.n qn lnn,1lNq10.nq1lim0.nnq分析分析:综合分析综合分析:,10 1ln1,ln qN1,1nqn当当时时, nN都有：都有：10nq例例 4 . 212nn n,n试证：试证：证证 :1n 1nn欲使欲使1,nn212nn nn

12、即即2112nnnnn nn 因此因此 , 取取221,N则当则当 n N 时时, 就有就有1;nn2011nnn1,nnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 令令 则只须则只须1nnn又又21n221n 0, lim. 1nnn故只要故只要综上分析综上分析: :0, 221,N当当时时, nN都有：都有：1nn故故lim. 1nnn分析分析:注注 明：明：0,nN ax01 .02 .N 与与 的的关联性关联性以及以及 N 选取的选取的多样性多样性；收敛极限的几何意义收敛极限的几何意义 :aaa)(1Nx2Nx改变数列改变数列nx有限项之值，其敛散性不受影响；有限项之值，其敛散性不受影响；机

13、动 目录 上页 下页 返回 结束 04 . 取值的取值的任意性任意性与相对与相对( 寻求寻求 N 时时) 的的确定性确定性；若收敛，若收敛，对于某个特定的对于某个特定的0,使得使得必有无限多项。必有无限多项。limnnxax()N是数列极限的一种逻辑法则，并非求极限的方法；是数列极限的一种逻辑法则，并非求极限的方法；其极限值也不发生变；其极限值也不发生变；03 .05 .06 .,(nN ax最多有限项最多有限项）例例 5. 证明数列证明数列nx1,2nNax2,11( 1)(1, 2,)nnnx 是发散的。是发散的。 证证 : 用反证法用反证法假设数列假设数列收敛收敛 于常数于常数 a ,

14、取取则存在则存在 N ,但因但因交替取值交替取值 1 与与1 , 内内,而此二数不可能同时落在长度而此二数不可能同时落在长度21a21aa为为 1 的开区间的开区间 使得当使得当 n N 时时 , 有有因此该数列发散因此该数列发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 nx1122naax11,22aa即与条件矛盾，即与条件矛盾，2.2. 1.1. 4 4 收敛数列的性质收敛数列的性质定理定理 1 1（有界与唯一性）（有界与唯一性）收敛数列必是有界的且极限是唯一的。收敛数列必是有界的且极限是唯一的。证证 :lim,nnax先证有界性：先证有界性：取取01,NNn从而从而有有naaxa1取取 12

15、max,1 NMaxxx则有则有(1, 2,.,)nMnx()naax, 1nax有有当当时时, 则则nx,1nnx收敛于收敛于 a ，即即 设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab再证唯一性：再证唯一性：,;2nN ab ax2,;nb aN bx2,nb aN ax用反证法：用反证法：limnnax及及lim,nnbx且且,ab取取02,b a因因,limnnax故存在故存在 N1 , , 2nb aax同理同理, 因因,limnnbx故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时 , 有有使当使当 n N1 时时 , 有有 2ba2ab2ab假设假设2nb abx则当则当 n N

16、时时, 12max,NNN取机动 目录 上页 下页 返回 结束 不妨设不妨设.ablim, limnnnnabxx且且这与这与矛盾。矛盾。2,;nb aN bx定理定理 2 （保序性）（保序性）证证: 设设lim, lim,nnnnabyx即：即：）用反证法，）用反证法，机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 ,nnxy均收敛，均收敛，）若）若）若）若limlim.nnnnyx）,ab02,b a取取由极限的唯一性证明知，由极限的唯一性证明知，存在着存在着 N ，当，当 n N 时，有时，有2;nna byx,:;nnNnNyxlimlim,nnnnyx,ab若若即即由由）得）得,:,nnN

17、nNyx这与题给条件矛盾。这与题给条件矛盾。,:;nnNnNyx,:,nnNnNyxlimlim,nnnnyx说明说明: :在在）中用的是严格的不等号；）中用的是严格的不等号；在在）中用的是非严格的）中用的是非严格的严格的不等号，如：严格的不等号，如：显然：显然：lim0lim.nnnnyx推论推论 1 1设设nz收敛，收敛，a , b 均为常数，且均为常数，且,ab不等号，不等号，）若）若）若）若lim.nnzab,:;nNnNazb 只要在保序性定理中，分别取只要在保序性定理中，分别取,nnxa yb再分别与再分别与nz作比较即得验证。作比较即得验证。即使把即使把）条件改为严格的不等号，其

18、结论也未必是）条件改为严格的不等号，其结论也未必是111,1nnnnnyxlim,nnabz,:,nNnNabz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论 2 （保号性）（保号性）lim,nnczlim( )0.nnz limlim,nnnnlxy 设设显然，只须在推论显然，只须在推论 1 中，分别令中，分别令 a , b 等于等于 0 即可。即可。机动 目录 上页 下页 返回 结束 ）若）若）若）若,:nNnNz与与 c 同号同号;推论推论 3 （夹挤原理）（夹挤原理） 设设只须在保序性定理只须在保序性定理）中，取）中，取,nnnnzyzx进行比较就得所要的结果。进行比较就得所要的结果。

19、分别与分别与,nnyx若若0 ,c,:( )0,nNnNz ,:, nnnNnNxzylim.nnlz例例 6. 证证 明明22211l m1.1i2nnnnnn22limnnnn证证: : 用夹逼准则用夹逼准则 ，nnn2222nn而而nn11lim211limnn因因机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnnn2221211222111lim12.nnnnnn22limnnn,1,1且且定定 理理（四则运算法则）（四则运算法则）limlim;nnnnxylimlim;nnnnxylimlim0 .lim,nnnnnnxyylimnnnyx设数列设数列均收敛，均收敛，）limnnnyxli

20、mnnnyx）推推 论论:设设, limnnx均为常数，且均为常数，且 ,nnxy均收敛，均收敛，则则）limnnnxy）1limmnnx）limqnnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,nnxylim;nnxlimlim;nnnnxy 1limlim0,;,mnnnnmNxx limlim.0,qnnnnqQxx则则例例 7. 计算计算lim(0),nnaalim1(0),.nnaa解解： 1）当）当 a = 1 时，显然有：时，显然有：2）当）当 a 1 为一定值，且为一定值，且 n a 时，时， 1aaa1,nnan由夹挤原理得：由夹挤原理得：01a11,a1lim1nna综上讨论得

21、：综上讨论得：有有3）当）当时，时，由由2）得）得机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;lim1nnalimnna;lim1nna1lim1nna11limnna有有,12.2. 1.1. 5 5 实数基本定理实数基本定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 定定 理理 ：单调有界数列必收敛单调有界数列必收敛 。( P57 ) 121nnMxxxx121nnxxxxmlim()nnMbxlim()nnamxnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xxba）若）若）若）若1.1.单调有界收敛原理单调有界收敛原理证证 明明： nx,1nnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 0,nNx 设设是一单调

22、不减且上有界的数列，是一单调不减且上有界的数列，显然由数列显然由数列因此有：因此有：所构成的实数集是上有界的，所构成的实数集是上有界的，必有一项必有一项满足：满足：即即又因为又因为nx,NxNx时，有时，有当当的单调不减性，的单调不减性，,NNnxxnN时，有时，有即当即当Nn,Nnxx0, ,nN 有有同理可证单调不增且下有界的数列也必收敛。同理可证单调不增且下有界的数列也必收敛。nx,1,2.nnx,;limnnx上确界上确界由确界原理知其必有由确界原理知其必有例例 8. 设设11nnnx11(1,2,),nnnnx1 n证明数列证明数列nx收敛收敛 . ( P58 例例 2.5.1 )证

23、证:1111 111nnn 1111111nnn121nnn1111nn nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可见数列由此可见数列是单调（不减）增的；是单调（不减）增的；n +1 项相乘项相乘n +1 项相加项相加11n利用不等式（利用不等式（n 个正数的几何平均小于其算术平均），个正数的几何平均小于其算术平均）， 得得1,(1)nnx根据准则根据准则可知数列可知数列此极限记为此极限记为 e , e 为无理数为无理数 , 其值为：其值为：590457182818284. 2e即即收敛收敛 。原题 目录 上页 下页 返回 结束 2111112nnnnnnnn 211! 11 12!nn

24、nnnnn 1111 12!3!n 1112212112n又又2121111n1213n11nnnx3nx1lim 1nnne由单调有界收敛原理得该极限收敛，由单调有界收敛原理得该极限收敛，例例9. 9. lim.nnx112, (1,2,)nnnanxxx设设 0a ,01x且且计算该数列的极限计算该数列的极限解解 ：不妨设不妨设,limnnxA则由递推公式有则由递推公式有:12aAAAaAnxnxa;annxx12112nax112aa1数列为单调递减且下有界，数列为单调递减且下有界，,01x从而得从而得:,0nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 .limnnxa为常数为常数,112nn

25、naxxx1, (1,2,)nnnxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 10 . nx1,nnxx, ),2, 1(0iai证证:显然显然证明下述数列极限收敛证明下述数列极限收敛。12112121(1)(1)(1)(1)(1)(1,2,),nnnnaaaaaaaaax即单调增单调增,又11(1)(1)knkknaaax1111a1(1)2111(1)(1)kknaa)1 ()1 (111naa1收敛。收敛。“拆项相消拆项相消” 法法limnnx11(1)(1)kaa设设2. 2. 子子 列列,1nxn从数列从数列中任意选取无限项并按中任意选取无限项并按原来原来的先后顺序的先后顺序组成的

26、数列：组成的数列：12,knnnxxx称为数列称为数列的一个的一个子列子列，记作：，记作：或者注意：注意：knknx在数列在数列nx中的序号，中的序号，knx在子列在子列knx中的序号，中的序号，是是机动 目录 上页 下页 返回 结束 而而 k 则是则是显然有显然有,1nxn,1knkxknx1,2,kkkn*定定 理理：数列数列,1nnx0,kK证证 : 必要性必要性 knx是数列是数列nx的任一子数列的任一子数列 。因因lim,nnax则则,N当当 Nn 时时, 有有axn现取正整数现取正整数于是当于是当时时, 有有从而有从而有由此证明由此证明 *NKnNxKnx机动 目录 上页 下页 返

27、回 结束 收敛于收敛于 a 的的充要条件充要条件是：是：“其其任一任一子列均收敛于子列均收敛于同一同一极限极限 a ”。.limkknax,KNkKnnNK,knax设数列设数列充分性：充分性：00,用反证法，用反证法，由极限的定义知，由极限的定义知，0,nN ax给定的某个给定的某个0,Na的项必构成数列的项必构成数列 nx的一个子列，的一个子列，且一定不收敛于且一定不收敛于 a ，这与所给条件矛盾，这与所给条件矛盾，注明：注明：该定理的作用并非是由子序列的极限求原数列的极限，该定理的作用并非是由子序列的极限求原数列的极限，而是由子序列的发散来推断原数列必发散。而是由子序列的发散来推断原数列

28、必发散。 nx中必有无穷多项中必有无穷多项数列数列例如，数列例如，数列奇数顶子列各项取值为奇数顶子列各项取值为 (-1) ，故该子列收敛于，故该子列收敛于 (-1) ；偶数顶子列各项取值为偶数顶子列各项取值为 1，故该子列收敛于，故该子列收敛于 1 ；由于其奇、偶两子列收敛于不同的值，故原数列发散。由于其奇、偶两子列收敛于不同的值，故原数列发散。若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 lim.nnxalim,nnxa,1n故有故有而这些不属于而这些不属于对于对于推推 论论：数列数列用反证法证之用反证法证之由定理显然可得；由定理显然可得；均收敛于同一极限。均收敛于同一极限。收敛的充要条件是收敛的

29、充要条件是:nx2,1 ,nnx21,1nnx证证 明明：（必要性）（必要性）下证下证（充分性）（充分性）lim,nnxa21nx2nx221limlim,nnnnaxx对于某个特定的对于某个特定的）除去有限项外，其余各项均是）除去有限项外，其余各项均是的子列，的子列，若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 两子列两子列中不收敛于中不收敛于 a 的子列的构成只能有的子列的构成只能有的一个子列，的一个子列，而这样的无穷多项必是数列而这样的无穷多项必是数列使得使得）除去有限项外，其余各项均是）除去有限项外，其余各项均是这与条件矛盾；这与条件矛盾；）无限项是）无限项是的子列，的子列， 这与条件矛盾；

30、这与条件矛盾；的子列，的子列，所给条件矛盾；所给条件矛盾；2nx无限项是无限项是的子列，的子列，21nx必有无穷项，必有无穷项，由极限的等价定义，由极限的等价定义，以下三种情形：以下三种情形：这同样与这同样与从而得：从而得：00,0,nN ax nx nxlim.nnax3. 3. 闭区间套定理闭区间套定理定定 理理：证证 明明：1,b）由单调有界收敛原理得：由单调有界收敛原理得：则存在唯一的实数则存在唯一的实数位于所有的区间之内。位于所有的区间之内。机动 目录 上页 下页 返回 结束 是一串闭区间且满足条件：是一串闭区间且满足条件：单调增加有上界单调增加有上界数列数列由条件由条件）知，）知，

31、）且即即又由条件又由条件）知，）知，11,1, ,;2nnnnaba bn,1,2,nna bnim0 ;lnnnba设设 na1,a单调减少有下界单调减少有下界数列数列 nb1lim,nna2lim,nnb12,1,2,nnabn210limlimlimnnnnnnnbaba12令令12即由极限的唯一得：由极限的唯一得：,1,2,nnabn,1,2,nna bn4. 4. 致密性定理致密性定理证明证明：中的无穷中的无穷等分为两个小区间，等分为两个小区间，定定 理理（BolzanoWeierstras）：机动 目录 上页 下页 返回 结束 即满足：即满足：为一有界数列，为一有界数列，设设任一有

32、界数列必有收敛的子列。任一有界数列必有收敛的子列。则其中至少有一个小区间含则其中至少有一个小区间含将此小区间记为：将此小区间记为：现将区间现将区间11,1,2,nnabx11,ab nx nx22,;ab二等分，二等分，同样再将区间同样再将区间22,ab中的无穷多个互中的无穷多个互其中至少有一个区间含有其中至少有一个区间含有 nx不相同的数，不相同的数，33,;ab，照此继续做下去，照此继续做下去，若若数反复出现无穷多次，数反复出现无穷多次，则其中至少有一则其中至少有一实际上只包含有限多个互不相同的数，实际上只包含有限多个互不相同的数，nx此时，选取其中出现无穷多次的这个数此时，选取其中出现无

33、穷多次的这个数构成一个子列，构成一个子列，若若中确实包含无穷多个互不相同的数，中确实包含无穷多个互不相同的数，nx多个互不相同的数，多个互不相同的数，将此小区间记为：将此小区间记为：显然该子列必收敛。显然该子列必收敛。从而得到一闭区间序列：从而得到一闭区间序列：nx,1,2,nnabn111,na bx机动 目录 上页 下页 返回 结束 11,1, ,;2nnnnaba bn111liml;im02nnnnnbaba中的无穷多个互不相同的数。中的无穷多个互不相同的数。且每一个区间都含数列且每一个区间都含数列,;1,2,nna bn 由闭区间套定理知，由闭区间套定理知，它们满足：它们满足：存在一实数存在一实数我们选取我们选取但但类似地，选取类似地，选取这样得到这样得到的一子列的一子列由子列的构成知：由子列的构成知：122,;na bx222,nabx选取选取但但233,;na bx,knkkabx但但11,1,2,;kkknabkx nx,knxlim.kknx5. 5. 柯西柯西（Cauchy）收敛准则收敛准则 (P61),mN nN0, nx若数列若数列满足满足:存在正整数存在正整数 N ,使当使当时时,证证 : 必要性：必要性： 设设,limaxnn则则,0NnNm,时时, 有有 使当使当2,nax2max因此，因此，nmxx axaxmnnaxmax;,N都有：都有