分类计数原理与分步计数原理ppt课件

1、分类计数原理与分步计数原理 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？要回答这个问题，就要用到计数的两个根本原理分类计数原理与分步计数原理导入新课甲地乙地丙地丁地 问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 由于一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：325种 10.1分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理1、分类计数原理、分类计数原理定义：假设计数的对象可以分成假设

2、干类，使得每两类没有公共定义：假设计数的对象可以分成假设干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。相加，便得出所要计数的对象的总数。加法原理即：做一件事情，完成它可以有即：做一件事情，完成它可以有n类方法类方法,在第一类方法中有在第一类方法中有m1种种不同的方法不同的方法,在第二类方法中有在第二类方法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n类方法中有类方法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。

3、种不同的方法。解：取一个球的方法可以分成两类：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个球一类是从装白球的袋子里取一个球60个个40个个例例1：两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球，个红球，60个白球，个白球，从中任取一个球，有多少种求法？从中任取一个球，有多少种求法？例例1：两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球，个红球，60个白球，个白球，从中任取一个球，有多少种求法？从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个球一类是从装白球的袋子里取一个球60个个40个个例例1：两个袋子里

4、分别装有两个袋子里分别装有40个红球，个红球，60个白球，个白球，从中任取一个球，有多少种求法？从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球一类是从装白球的袋子里取一个白球60个个40个个有有40种取法；种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球另一类是从装红球的袋子里取一个红球例例1：两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球，个红球，60个白球，个白球，从中任取一个球，有多少种求法？从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白

5、球一类是从装白球的袋子里取一个白球40个个60个个有有40种取法；种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球另一类是从装红球的袋子里取一个红球有有60种取法。种取法。因此取法种数共有因此取法种数共有40+60=100种种例例1：两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球，个红球，60个白球，个白球，从中任取一个球，有多少种求法？从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球一类是从装白球的袋子里取一个白球有有40种取法；种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球另一类是从装红球的袋子里取一个红球40个个60个个

6、 问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 解： 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法。2、分步计数原理、分步计数原理定义：假设计数的对象可以分成假设干步骤来完成，并且对于定义：假设计数的对象可以分成假设干步骤来完成，并且对于 前面几步的每一种完成方式，下一步有一样数目的做法，前面几步的每一种完成方式，下一步有一样数目的做法，那么依次计算第一步的做法数目，第二步的做法数目，那么依次

7、计算第一步的做法数目，第二步的做法数目，,最后一步的做法数目，然后把各步的做法数目相乘，便最后一步的做法数目，然后把各步的做法数目相乘，便得出所要计数的对象的总数。得出所要计数的对象的总数。即：做一件事情，完成它需求分成即：做一件事情，完成它需求分成n个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法。种不同的方法。乘法原理乘法原理例例2： 两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球与个红球与60个白球，个白

8、球，从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？60个个40个个解：取一个白球和一个红球可以分成两步解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：来完成：第一步从装白球的袋子里取一个白球，第一步从装白球的袋子里取一个白球，例例2： 两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球与个红球与60个白球，个白球，从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？60个个40个个解：取一个白球和一个红球可以分成两步解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：来完成：第一步从装白球的袋子里取一个白球，第一步从装白球的袋子里取一个白球，有有6

9、0种取法；种取法；对于这每一种取法，第二步从装红球的对于这每一种取法，第二步从装红球的袋子里取一个红球，都有袋子里取一个红球，都有40种取法。种取法。因此取一个白球和一个红球的方法共有因此取一个白球和一个红球的方法共有60 40=2400种种思索：分类计数原理与分步计数原理的区别与联络？思索：分类计数原理与分步计数原理的区别与联络？联络：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不联络：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不 同方法的种数的问题同方法的种数的问题 。区别：分类计数原理与区别：分类计数原理与“分类有关，各种方法相互独立，用分类有关，各种方法相互独立，用 其中任何一种

10、方法都可以完成这件事；分步计数原理其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理 与与“分步有关，分步有关， 各个步骤相互依存，只需各个步骤都各个步骤相互依存，只需各个步骤都 完成了，这件事才算完成完成了，这件事才算完成 。例例3： 某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人。人。 (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖, 有多少种不同有多少种不同的选法？的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去从中任选男、女三好学生各一人去参与座谈会参与座谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？解解: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事完成从三好学生中任选

11、一人去领奖这件事,共有共有2类方法类方法, 第一类方法第一类方法, 从男三好学生中任选一人从男三好学生中任选一人, 共有共有 m1 = 5 种种 不同的方法不同的方法; 第二类方法第二类方法, 从女三好学生中任选一人从女三好学生中任选一人, 共有共有 m2 = 4 种种不不 同的方法同的方法; 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种。种。例例3： 某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人。人。 (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖, 有多少种不同有多少种不同的选法？的选法？ (2) 从中

12、任选男、女三好学生各一人去从中任选男、女三好学生各一人去参与座谈会参与座谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？解解: (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参与座谈完成从三好学生中任选男、女各一人去参与座谈会这件事会这件事, 需分需分2步完成步完成, 第一步第一步, 选一名男三好学生选一名男三好学生,有有 m1 = 5 种方法种方法; 第二步第二步, 选一名女三好学生选一名女三好学生,有有 m2 = 4 种方法种方法; 所以所以, 不同选法种数共有不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种。种。点评点评: 解题的关键是从总体上看这件事情是解题的关键是从总体上看这件事情是“分类完

13、成分类完成,还是还是“分步完成，分步完成，“分类完成用分类完成用“加法原理，加法原理，“分分步完成用步完成用“乘法原理。乘法原理。 1 1、书架的第、书架的第1 1层放有层放有4 4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2 2层放有层放有3 3本不同本不同 的文艺书，第的文艺书，第3 3层放有层放有2 2本不同的体育书本不同的体育书1 1从书架上任取从书架上任取1 1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？2 2从书架的第从书架的第1 1、2 2、3 3层各取层各取1 1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？ 4+3+2=9种种4 3 2=24种种2、由数字、由数字

14、1，2，3，4，5，6可以组成多少个四位数？可以组成多少个四位数？ 各位上的数字允许反复各位上的数字允许反复6 5 4 3=360个个3、一种号码锁有、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从个拨号盘，每个拨号盘上有从0到到9共共10个个 数字，数字， 这这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ 10 10 10 10=104练习1 有些较复杂的问题往往不是单纯的有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类分类“分步分步可以处理的，而要将可以处理的，而要将“分类分类“分步结合起来运分步结合起来运用普通是先用普通是先“分类，然后再在每一类中分类，然后再在每一类中“

15、分步，分步， 综合运用分类计数原理和分步计数原理请看下面的综合运用分类计数原理和分步计数原理请看下面的例题：例题： 留意留意例例4： 某城市号码由某城市号码由8位组成，其中从左边算起的第位组成，其中从左边算起的第1位只用位只用6或或8，其他，其他7位可以从前位可以从前10个自然数个自然数0，1，2，,9中恣意中恣意选取，允许数字反复。试问：该城市最多可装多少门？选取，允许数字反复。试问：该城市最多可装多少门？1 2 3 4 5 6 7 8第第1类类6解：装一门需求指定一个解：装一门需求指定一个号码，由题意号码可以号码，由题意号码可以分成两类：分成两类：第第1类号码第类号码第1位用位用6，确定其

16、他确定其他7位号码可以分位号码可以分7步完成。步完成。10 10 10 10 10 10 10因此第一类号码共有因此第一类号码共有10 10 10 10 10 10 10=1071 2 3 4 5 6 7 8第第2类类8同理，第同理，第2类号码也有类号码也有10 个，个，7因此，该城市所用的号码共有因此，该城市所用的号码共有10 +10 =2 10 个个从而最多可装从而最多可装2 10 门，即两千万门。门，即两千万门。7777 某中学的一幢某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯，问从处楼梯，问从1楼到楼到 5楼楼共有多少共有多少 种不同的走法？种不同的走法？ 3 3 3 3=81种种练

17、习2 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有条路，从乙地到丁地有2条路；条路；从甲地到丙地有从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有条路，从丙地到丁地有4条路，条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？问：从甲地到丁地有多少种走法？甲地乙地丙地丁地解：要完成从甲地到丁地这件事情有解：要完成从甲地到丁地这件事情有两种道路可以走，即可以分为两类：两种道路可以走，即可以分为两类：甲地甲地 乙地乙地 丁地丁地甲地甲地 丙地丙地 丁地丁地第一类又可以分为两步，第一步有第一类又可以分为两步，第一步有3种种方法，第二步有方法，第二步有2种方法，因此第一类种方法，因此第一类走法有走法有3 2=6种种同理第二类走法有同理第二类走法有3 4=12种种所以，从甲地到丁地有所以，从甲地到丁地有6+12=18种走法。种走法。小结请同窗们回答下面的问题请同窗们回答下面的问题 :1. 本节课学习了那些主要内容？本节课学习了那些主要内容？ 答答: 分类计数原理和分步计数原理。分类计数原理和分步计数原理。 2. 分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？ 答答: 共同点是共同点是,