相似三角形知识点总结及练习题.

1、相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念: 在比例式:中, 、 叫外项, 、 叫内项, 、 叫前项, a b cda b c d a d b c a c =( b 、 d 叫后项, d 叫第四比例项,如果 b=c,那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,使 AC 2=AB·BC ,叫做把线段 AB 黄金分割, C 叫做线 段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: 基 本 性 a b cd a d b c = 合 比 性 ±±a b c d ab b cd d a b c d m n b d n a c m b d

2、 n ab=+( 3. 平行线分线段成比例定理:定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1 l 2 l 3。 , A B B C D E E F A B A C D E D F B C A C E F D F推论:平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线 所得的对应线段成比例。定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线所得的对应线段成比例,那 么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定:两角对应相等,两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 三边对应成比例,两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一

3、条直角边 对应成比例,那么这两个直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线 相交, 所构成的三角形与原 三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方注意1、相似三角形的基本定理,它是相似三角形的一个判定定理,也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础,这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“ A ”型和“ 8 ”型。在利用定理证明时要注意 A 型图的比例 AD

4、 AB DE BC AEAC=,每个比的前项是同一个三 角形的三条边, 而比的后项是另一个三角形的三条对应边, 它们的位置不能写错, 尤其是要 防止写成AD DB DE BC AEEC=的错误。 2、 相似三角形的基本图形 . 平行线型:即 A 型和 X 型。II. 相交线型 3、三角形相似及比例式或等积式。4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。5、对比例问题,常用处理方法是将“一份”看着 k ; 对于等比问题,常用处理办法是设 “公 比”为 k 。中考试题分类汇编 相似三角形一、选择题 1、 如图 1, 已知 AD 与 BC 相交于点 O,AB/CD,如果 B=40

5、76;, D=30°, 则 AOC 的大小为 ( A.60° B.70° C.80° D.120°2、 如图, 已知 D 、 E 分别是 ABC 的 AB 、 AC 边上的点, , DE BC /且 1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么 :AE AC 等于( A . 1 : 9 B . 1 : 3 C . 1 : 8 D . 1 : 23、图为 ABC 与 DEC 重迭的情形,其中 E 在 BC 上, AC 交 DE 于 F 点,且 AB / DE。 若 ABC 与 DEC 的面积相等,且 EF=9, AB=12,则 DF=? (

6、 (A 3 (B 7 (C 12 (D 15 。 B 图 1C EAADC B4、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图 , 点 P 处放一水平的平面镜 , 光线从 点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处, 已知 AB BD , CD BD , 且测得 AB=1.2米, BP=1.8米, PD=12米, 那么该古城墙的高度是( A 、 6米 B、 8米 C、 18米 D、 24米 5、 如图, DEF 是由 ABC 经过位似变换得到的,点 O 是位似中心, D E F , , 分别是 OA OB OC , , 的中点,则 DEF 与 ABC 的面积比是( A.

7、1:6 B . 1:5 C . 1:4 D . 1:26、给出两个命题:两个锐角之和不一定是钝角;各边对应成比例的两个多边形一定相 似. ( A .真真 B .假真 C .真假 D .假假 7、如图所示, Rt ABC Rt DEF ,则 cosE 的值等于( A.12B. 2 第 7题图第 8题图8、如上图,直角梯形 ABCD 中, BCD =90°, AD BC , BC =CD , E 为梯形内一点,且 BEC =90°,将 BEC 绕 C 点旋转 90°使 BC 与 DC 重合,得到 DCF ,连 EF 交 CD 于 M .已知 BC =5, CF =3,

8、则 DM:MC的值为 ( A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:49、如图,在 ABC 中, D 、 E 分别是 AB 、 AC 边的中点,若 6BC =,则 DE 等于 A . 5 B . 4 C . 3 D . 2第 4题C E10、已知 ABC DEF ,相似比为 3,且 ABC 的周长为 18,则 DEF 的周长为 ( A . 2 B . 3 C . 6 D . 5411、如图 ,Rt ABAC 中 , AB AC , AB =3,AC =4,P 是 BC 边上一点 , 作 PE AB 于 E, PD AC 于 D , 设 BP =x , 则 PD+PE=( A. 35x + B

9、. 45x -C.72D.21212525x x -12、 如图, 在 Rt ABC 内有边长分别为 , , a b c 的三个正方形, 则 , , a b c 满足的关系式是 ( A 、 b a c =+ B 、 b ac = C 、 222 b a c =+ D 、 22b a c =113、如图, ABC 是等边三角形,被一平行于 BC 的矩形所截, AB 被截成三等分,则图中阴影部分的面积是 ABC 的面积的 ( A . 91 B . 92 C . 31 D . 9414、下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( 15、在同一时刻,身高 1.6米的小强在阳光下的影长为 0.8米,一棵

10、大树的影长为 4.8米,则树的高度为( A 、 4.8米 B 、 6.4米 C 、 9.6米 D 、 10米(第 14题 A . B . C . D .(第 13题图 E图 5图 8(第 12题A CD 二、填空题 1、 如图, D E , 两点分别在 ABC 的边 AB AC , 上, DE 与 BC 不平行,当满足 条件(写出一个即可时, ADE ACB .2、如果两个相似三角形的相似比是 1:3,那么这两个三角 形面积的比是 .3、 如图 5, 平行四边形 ABCD 中, E 是边 BC 上的点, AE 交 BD 于点 F ,如果 23BE BC =, 那么BFFD=.4、在 Rt AB

11、C 中, C 为直角, CD AB 于点 D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ; 并写出它的面积比 . 5、 如图, 点 1234A A A A , , , 在射线 OA 上, 点 123B B B , , 在射线 OB 上,且 112233A B A B A B , 213243A B A B A B .若 212A B B ,323A B B 的面积分别为 1, 4,则图中三个阴影三角形面积之和为 .6、两个相似三角形的面积比 S 1:S2与它们对应高之比 h 1:h2之间的关系为 . 7、 如 图 8, D 、 E 分 别 是 ABC 的 边 AB 、 AC 上 的

12、点 , 则 使AED ABC 的条件是8、如图 4,已知 AB BD , ED BD , C 是线段 BD 的中点,且 AC CE , ED=1, BD=4,那么 B (第 5题图1 2 34D，E 分别是 AB，AC 的中点， 9、 如图， 在 ABC 中， 若 DE = 5 ， 则 BC 的长是 10、如图 3，要测量 A、B 两点间距离，在 O 点打桩，取 OA 的中点 C，OB 的中点 D，测 得 CD=30 米，则 AB=_米 图3 三、解答题 1、如图 5，在ABC 中，BC>AC， 点 D 在 BC 上，且 DCAC,ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F， 点 E 是

13、AB 的中点，连结 EF. （1）求证：EFBC. （2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面积. 2、 如图： 在等腰ABC 中， CH 是底边上的高线， 点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一点， 连接 AP 交 BC 于点 E,连接 BP 交 AC 于点 F. (1 证明：CAE=CBF; (2 证明：AE=BF; (3 以线段 AE，BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG（点 E 与点 F 重合于点 G） ，记ABC 和ABG 的面积分别为 SABC 和 SABG,如果存在点 P,能使得 SABC=SABG,求C 的取值范围。 C F P A H E B 6

14、3、如图 10，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N 求证： （1） AE = CG ； （2） AN · DN = CN · MN . 4、如图，在 Rt ABC 中， ÐA = 90 ， AB = 6 ， AC = 8 ， D，E 分别是边 AB，AC 的 中点， 点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动， 过点 P 作 PQ BC 于 Q ， 过点 Q 作 QR BA 交 AC 于 R ，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动设 BQ = x ， QR = y （1）求点

15、D 到 BC 的距离 DH 的长； （2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； D B P A R E C H Q 5、如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点， BR 分别 交 AC，CD 于点 P，Q （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ； （2）求 BP : PQ : QR B A P C O D R E 7 6、如图，ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F， DE = 求证：ABFCEB; 若DEF 的面积为 2，求ABCD 的面积。 1 CD 。 2 E F D

16、A B 第 21 题图 C 0 ，点 A，B 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，且 7、如图，在平面直角坐标系中，点 C (-3， 满足 OB - 3 + OA - 1 = 0 2 （1）求点 A ，点 B 的坐标 （2）若点 P 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 运动，连结 AP 设 ABP 的面积为 S ，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围 （3）在（2）的条件下，是否存在点 P ，使以点 A，B，P 为顶点的三角形与 AOB 相 似？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 y B C O A x 8、如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分 别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s） ，解答下列问题： （1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由； （2）设BPQ 的面积为 S（cm2） ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APRPRQ？ 8 9、如图