振动与波动(习题与答案)

1、振动与波动一.基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。6. 理解机械波产生的条件。7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。10.

2、 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。二.内容提要1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即由它可导出物体的振动速度v=-WAsin伽+9）物体的振动加速度a=-®2Acost+9）3. 振幅A作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即4. 周期与频率作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T称为周期，单位时间内完成的振动次数Y称为频率。周期与频率互为倒数，即5.角频

3、率(也称圆频率)®作谐振动的物体在2n秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为T=或6.相位和初相谐振动方程中(血+申)项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的屮在02n范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。7.旋转矢量法作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A,其角速度等于谐振动的角频率o,且t=0时，它与x轴的夹角为谐振动的初相屮,t二t时刻它与X轴的夹角为谐振动的相位+P。旋转矢量A的末端在X轴上的投影点的运动代表着质点的谐振动。8.简谐振动的能量作谐振动的系统具有动

4、能和势能，其动能11E=mV2=mro2A2sin2(rot+甲)势能11E=kx2=kA2cos2(rot+9)p22机械能E=E+E=kA2kp29.两个具有同方向、同频率的简谐振动的合成其结果仍为一同频率的简谐振动，合振动的振幅初相Asin9+Asin9tan9=1122-Acos9+Acos91122(1)当两个简谐振动的相差9=2k兀(k=0,±1,±2,)时，合振动振幅最大，为21A+A，合振动的初相为Q或Q。1212（2）当两个简谐振动的相差申2=（2k+1）兀（k=0,±1,±2,）时，合振动的振幅最小，为|A-A2|，合振动的初相与振幅

5、大的相同。10. 机械波产生的条件机械波的产生必须同时具备两个条件：第一，要有作机械振动的物体波源；第二，要有能够传播机械波的载体弹性媒质。11. 波长久在同一波线上振动状态完全相同的两相邻质点间的距离（一个完整波的长度），它是波的空间周期性的反映。12. 周期与频率波前进一个波长的距离所需的时间，它反映了波的时间周期性。周期的倒数称为频率，波源的振动频率也就是波的频率。13. 波速u单位时间里振动状态（或波形）在媒质中传播的距离，它与波源的振动速度是两个不同的概念。波速U、波长入、周期T（频率V）之间的关系为入=uT14. 平面简谐波的波动方程如果平面波沿x轴正向传播，则其波动方程为若波沿x

6、轴的负向传播，则其波动方程为其中9为坐标原点的初相。015. 波的能量波动中的动能和势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相等：（1）在平衡位置处，动能最大，势能也最大；（2）在最大位移处，动能最小（为零），势能也最小（为零）；（3）当媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中：它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加。（4）当媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小。16. 波的干涉满足相干条件（同频率、同振动方向且相位差恒定）的两列波的叠加，其规律是：(1) 右两列波的相位差甲=貨_申-2n-21=2k冗(k=0,±1,&

7、#177;2,)则合成振动的振幅有极大值：A=A+A，为干涉加强(相长干涉)。12(2) 右两列波的相位差A9=9-甲_2n-21=(2k+1)冗(k=0,±1,±2,)21入合成振动的振幅有极小值：A=|AAI，为干涉减弱，当A=A2时，相消干涉。17. 驻波无波形和能量传播的波称为驻波，它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成，是波的干涉中的一个特例。其振幅随x作周期变化，因而为分段的独立振动，有恒定的波腹和波节出现。习题10-1两倔强系数分别为k和k的轻弹簧串联在一起，下面接着质量为m的物12体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为(A)T

8、=2n：*12(B)T=2n:'k1k2(C)t=2n'm(ki+k2)V彳2(D)T=2n:2m壮1+k210-2一倔强系数为k的轻弹簧截成三份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图所示。的频率为(A)1:k,I(b)丄瓦2nm2nXm(C)1;3k(d)丄L2n3m2nm10-4已知两个简谐振动如图所示。x的位相比x的位相12(a)落后n2t(B)超前-2(D)超前n(C)落后n10-5质点作简谐振动，周期为T,当它由平衡位置向x轴正方向运动时,从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为：(A)T(B)T412(C)T(D)T6810-

9、7一简谐振动曲线如图所示(A)2.62s(B)2.40s(C)2.20s(D)2.00s则振动周期是：(s)10-8一弹簧振子和一个单摆(只考虑小幅度摆动)，在地面上的固有振动周期分别为T和T。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为T'和T'，则有:1212(A)T；T1且T2T2T'VT1且T2VT2(D)t'=T且t'T112210-18一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期T=，用余弦函数描(C)T'=T且T'=T11210-13一弹簧振子作简谐振动，振幅为A,周期为T,其运动方程用余弦函数表示，若t=0时，(1)

10、振子在负的最大位移处，则初位相为(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初位相为(3) 振子在位移为A处，且向负方向运动，则初位相为2的位相比x的位相超210-14已知两个简谐振动的振动曲线如图所示述时，初位相申=。10-19两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：X=6x10-2cos(5t+兀)(SI),兀？=2x10-2sin(兀一5t)(Si)。它们的合振动的振幅122为；初位相为。10-22一简谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。10-25一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为：=5x10一2cos（4t+兀），=3x10一2sin（4t兀）Si）画出两振动的旋

11、转矢量图，并求合振动的振动方程。10-26两个同方向的简谐振动的振动方程分别为：x=4x102COs2兀(t+)，8x=3x102cos2(t+)(SI)求合振动方程。10-32一质点按如下规律沿x轴作简谐振动x=0.1cos(8©-辛)(SI)，求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。10-33如图所示，一质量为m的滑块，两边分别与倔强系数为k和k的轻弹12簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上，滑块m可在光滑水平面上滑动，O点为系统平衡位置，将滑块m向左移动到x，自静止释放，并从释放时开始计时,0取坐标如图示，则其振动方程为：A)B)C)D)r,'k+kk1

12、x0x=xcos210m|kkx=xcos4t+兀0m（k+kJi'k+kx=xcos2-1+兀0mk+kx=xcos2t+兀0m10-34一弹簧振子，当把它水平放置时，它作谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下面那种情况是正确的：(A) 竖直放置作谐振动，放在光滑斜面上不作谐振动。(B) 竖直放置不作谐振动，放在光滑斜面上作谐振动。(C) 两种情况都作谐振动。(D) 两种情况都不作谐振动。x(cm)A1A2O10-36两个同方向的谐振动曲线如图所示，合振动的振幅-A2-A为，合振动的振动方程为。110-37有两个相同的弹簧，其倔强系数均为k°(l)把它们串联起来，

13、下面挂个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为，把它们并联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为则原点O的振动方程为：y0.5u=1m/sB)C)D)y=0.50cos（兀t+1兀）（SI）y=0.50cos（1冗t-冗）（SI）22y=0.50cos（-兀t+-兀）（SI）22y=0.50cos（-冗t+-冗）（SI）O-0.510-41已知一平面简谐波的波动方程为y二Acos(at-bx)，(a、b为正值)，则(A)波的频率为a。(B)波的传播速度为b。a(C)波长为上。b(D)波的周期为丸。a10-42一沿x轴负方向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图所示，10

14、-43一平面简谐波以速度u沿x轴正方向传播，在t=t'时波形曲线如图所示。则坐标原点O的振动方程为：（A）y=acosb（tt，）+才（B）y=aco心u（一门-2（C）y=acos兀U（tt'）+才（D）y=acos兀U（tt，）号10-48一平面简谐波沿x轴正向传播，t=0时刻的波形如图所示，则P处质点的振动方程为：-SI）（A）yP=0.10cos（4Kt+3町(B) y=0.10cos(4兀t兀)(SI)p3(C) p=0.10cos(2兀t+兀)(SI)(D) y=0.10cos(2兀t+兀)(SI)p610-49一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元

15、正处于平衡位置，此时它的能量是：(A) 动能为零，势能最大。(B)动能为零，势能为零。(C)动能最大，势能最大。(D)动能最大，势能为零。10-50一平面简谐波在弹性媒质中传播，从媒质质元在最大位移处回到平衡位置的过程中：(A) 它的势能转化为动能。(B) 它的动能转化为势能。(C) 它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加。(D)它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小。10-52如图所示，S1与S2是两相干波的波源，它们的振动方向均垂直于图面,发出波长为九的简谐波，P点是两列波相遇区域中的一点，已知齐=2九，SP=22九，12两列波在P点发生相消干涉，若Si的振动方程为儿=A

16、eg©+*兀)，则S2的振动方程为：1y=Acos（2兀t兀）22B）y2=Acos（2兀t一兀）C）1歹2=Acos（2兀t+兀）D）歹2=Acos（2兀t0.1兀）10-53在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动：(A)振幅相同，位相相同。(B) 振幅不同，位相相同。(C) 振幅相同，位相不同。(D) 振幅不同，位相不同。10-56沿着相反方向传播的两列相干波，其波动方程为：y=Acos2k(vt-扌)'和y=Acos2k(vt+-)。叠加后形成的驻波中，波节的位置坐标为:2九1(A)x=土k九(B)x=±k九2(C)x=±(2k+5(D)x=±

17、;(2k+"。2-4其中k=0、1、2、310-57余弦横波以速度u沿x轴正方向传播，t时刻波形曲线如图所示。试分别指出图中A、B、C各质点在t时刻的运动方向。yu10-58一声波在空气中的波长是0.25m,波的传播速度为340m/s，当它进入另一介质时波长变成了0.37m，它在该介质中传播的速度为10-59已知波源的振动周期为4.00X10-2S，波的传播速度为300m/s波沿x轴正方向传播，则位于x=100m和x=160m的两个质点振动的位相差为1210-61图为t=T时一平面简谐波的波形曲线，则其波动方程为410-62在简谐波的一条传播路径上相距0.2m两点的振动位相差为叟。又

18、知2x(m)振动周期为0.4s，则波长为，波速为。10-68一弦上的驻波表达式为y二O.lcos(兀x)cos(90兀t)(SI).形成该驻波的两个反向传播的行波的波长为，频率为y10-74平面简谐波沿x轴正向传播,其振幅为A，频率为v，波速为u设t二t/时刻的波形曲线如图所示。求：(1) x=0处质点振动方程；u=25m/s，(2) 该波的波动方程10-75一横波方程为y=Acos(utx)，式中A=0.01m，尢二0.2m，九求t二0.1s时在x=2m处质点振动的位移、速度、加速度.10-80如图所示，S1与S2为两平面简谐波相干波源，S2的位相比S1的位相超S11刖冗，波长尢=8.00m

19、，r=12.0m，r=14.0m，4l2S在P点引起的振动振幅为0.30m，S在P12点引起的振动振幅为0.20m,求P点的合振幅。10-84一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波动方程为y=Acos2兀(vt-)，而另九S1一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波动方程为y=2Acos2兀(vt+X)。九求：(1)x=-处介质质点的合振动方程；4(2)x=-处介质质点的速度表达式。410-85如图所示，三个同频率，振动方向相同（垂直纸面）的简谐波，在传播过程中在O点相遇；若三个简谐波各自单独在S、S和S的振动方程分别为：123（尢为波长）。求：0点的合振yx（m）y】二Acos(®t+-2兀

20、)，y2=ACOSwt和y=2Acos(wt-冗)且S20=4尢,S卩=S32动方程。（设传播过程中各波振幅不变）。10-86一平面简谐波沿x轴正方向传播u=100ms，t=0时刻的波形曲线如图所示。波长九=振幅A=频率v二10-89一简谐波沿x轴负方向传播，波的表达式为y=0.02cos（2兀t+兀x）（SI）贝Ux=-1m处P点的振动方程为。10-90如图，一平面简谐波沿Ox轴传播，波动方程y=Acos2兀（vt-）+，求:九（1）P处质点的振动方程：（2）该质点的速度表达式与加速度表达式。y(cm)2024t(s)10-95一列平面简谐波在媒质中以波速u=5m/s沿x轴正向传播，原点O处

21、质元的振动曲线如图所示，画出x=25m处质元的振动曲线画出t=3s时的波形曲线。10-97波沿绳子传播，其波的表达式为y=0.05cos(100©-2冗x)(SI)(1) 求此波的振幅，波速，频率和波长。(2) 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度。(3) 求x=0.2m处和x=0.7m处二质点振动的位相差1210-98一平面简谐波沿x轴正向传播，t=0时刻的波形图如图所示，则P处质y(cm)OPo'yA3x3o'y3Ay(A)cr点的振动在t=0时刻的旋转矢量图是C)o'第10章自测题一、选择题：3.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周

22、期内所作的功为11(A)kA2(B)丄kA2(C)kA2(D)0245. 图中所画的是两个简谐振动x的振动曲线，若这两个简谐振动可叠11加，则合成的余弦振动的初相位为：3-2兀1-2AC0)DB(6. 当质点以频率v作简谐振动时，它的动能的变化频率为(A)v(B)2v(C)4v(D)1v29.(本题3分)在波长为久的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为（A）'4二、填空题(C)334D)312.（本题3分）所示为一平面简谐波在t=2s时刻的波形图，波的振幅为0.2m，周期为4s。则图中P处质点的振动方程为13.（本题3分）两个弹簧谐振子的周期都是0.4s，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5s后，第二个振子才从正方向的端点开始运动,则这两振动周相差16.（本题3分）已知平面简谐波的波动方程为y=Acos（Bt-Cx），式中A、B、C为正常数，则此的波长是；波速是；在传播方向上相距为d的两点的振动位相差是。三、计算题20.（本题5分）质量为2kg的质点，按方程x=0.2sink-（“6丿（SI）沿着x轴振动。求：（1）t=0时，作用于质点的力的大小；2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。23.(本题10分)如图所示，一平面简谐波在t=0时刻的波形图，求(1