微积分1-7无穷小的比较ppt课件

1、一一 无穷小的比较无穷小的比较第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较三三 小结与思考判断题小结与思考判断题二二 等价无穷小替换等价无穷小替换一、无穷小的比较.,极限不同极限不同, , 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不同快慢程度不同. .xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx;32要快得多要快得多比比xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比. ., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在观察各极限观察各极限例如例如, 都是无穷小都是无穷小时时当当0 xxxxxx1sin,sin,22);(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷

2、穷小小是是比比就就说说如如果果定义:. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(无无穷穷小小阶阶的的的的是是就就说说如如果果kkCCk 解例1.tan,0:32的的五五阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 5320tanlimxxxx1)tan(lim30 xxx.5tan,032阶无穷小阶无穷小的的为为时时故当故当xxxx 例2.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当

3、xxxx 解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x例如例如,),(sinxoxx 用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有).(211cos22xoxx .21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证 lim

4、)lim( limlimlim.lim 例3.cos12tanlim20 xxx 求求解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意例4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 错 例5.3sin1

5、cos5tanlim0 xxxx 求求解),(5tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 2 2 等价无穷小的替换等价无穷小的替换1 1 无穷小的比较：无穷小的比较：程中程中, , 两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度快慢, , 但并不但并不是所有的无穷小都可进行比较是所有的无穷小都可进行比较. .无穷小的阶反映了同一过无穷小的阶反映了同一过.limlim,lim, 则则存存在在且且设设 求极限的又一种方法，注意适用条件.小结三 小结与思考判断题思考判断题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答不能不能例当例当 时时