苏科版九年级数学上册一元二次方程 典型例题解析教师用

1、【培优提高训练】苏科版九年级数学上册 第一章 一元二次方程 典型例题解析一、解答题1.解方程：（1）2x2+x3=0（用公式法）（2）（x1）（x+3）=12 【答案】解：（1）2x2+x3=0（用公式法）a=2，b=1，c=3b24ac=250x=-1±254x1=1,x2=-32；（2）化为一般形式，得：x2+2x15=0（x+5）（x3）=0（x+5）=0或（x3）=0x1=5，x2=3 【考点】公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】第（1）小题不能因式分解，所以用公式法求解；第（2）小题要化为方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式

2、等于0才可求解2.已知 , 是关于x的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 1+1=-1 ，求m的值. 【答案】解：方程有两个不相等的实数根， =(2m+3)2-4m2>0 ，解得： m>-34 ，依题意得： +=-(2m+3)，=m2 ， 1+1=+=-(2m+3)m2=-1 .解得： m1=-1，m2=3 ，经检验： m1=-1，m2=3 是原方程的解， m>-34 ， m=3 . 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】先利用判别式求出方程有两个不相等的实数根时m的取值范围，然后再根据根与

3、系数的关系求出m的取值范围，取舍即可3.已知关于x的方程x2（k+1）x+14k2+1=0有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1、x2 ， 且满足|x1|+|x2|=4x1x25，求k的值 【答案】解：（1）原方程有两个实数根，=（k+1）24（14k2+1）=2k30解得：k32；（2）k32，x1+x2=k+10又x1x2=14k2+10，x10，x20，|x1|+|x2|=x1+x2=k+1|x1|+|x2|=4x1x25，k+1=4（14k2+1）5，k2k2=0，k1=1，k2=2，又k32，k=2 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与

4、系数的关系 【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得=（k1）24（14k2+1）0，解不等式可得k的范围；（2）由韦达定理可得x1+x2=k+10、x1x2=14k2+10，根据|x1|+|x2|=4x1x25可得k+1=4（14k2+1）5，解方程结合k的取值范围可得k的值4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=3时，求方程的根. 【答案】解：（1）当m=3时，=b2-4ac=22-4×3=-80，原方程无实数根；（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，（x-1）（x+3）=0，x-1=0，x+3=0，x1

5、=1，x2=-3 【考点】解一元二次方程配方法，解一元二次方程公式法，解一元二次方程因式分解法，根的判别式 【解析】【分析】（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式=b2-4ac的值的符号就可以判断出根的情况；（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可5.已知关于x的一元二次方程x2ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x22（1）求a的值；   （2）求出该一元二次方程的两实数根 【答案】解：（1）x1+x2=a，x1x2=2，又x1x2=x1+x22，a2=2，a=4；（2）方程可化为x24x+2=0，（x2）2=2，解得：x2=2

6、60;或x2=2，x1=2+2，x2=22 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系的关系x1+x2=a，x1x2=2，如何根据x1x2=x1+x22得到关于a的方程，解方程即可得到结论；（2）解方程即可得到结果6.若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-ba ， x 1x2=ca ， 把它们称为一元二次方程根与系数关系定理已知x1、x2是关于x的一元二次方程x22（m+1）x+m2+5=0的两个实数根（1）若（x11）（x21）=28，求m的值（2）已知等腰A

7、BC的一腰长为7，若x1、x2恰好是ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长 【答案】解：（1）x1、x2是关于x的一元二次方程x22（m+1）x+m2+5=0的两个实数根，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，（x11）（x21）=28，即x1x2（x1+x2）+1=28，m2+52（m+1）+1=28，解得：m=4或m=6，当m=4时原方程无解，m=6；（2）当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7，将x=7代入原方程得：4914（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或m=4，当m=10时，方程为x222x+105=0，解得：x=7或x=15，7+715，不能组成三角形；当m

8、=4时，方程为x210x+21=0，解得：x=3或x=7，此时三角形的周长为：7+7+3=17 【考点】一元二次方程的根与系数的关系，三角形三边关系 【解析】【分析】（1）根据韦达定理得x1+x2、x1x2 ， 再代入到（x11）（x21）=28即x1x2（x1+x2）+1=28中解方程可得m的值，两个值根据方程有解考虑取舍；（2）将x=7代入方程求出m的值，将m的两个值分别代回原方程，分别解每一个方程求出x的值，根据三角形三边关系取舍，最后三边相加可得周长7.已知关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m2+2=0（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2

9、 ， 且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值 【答案】解：（1）关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m2+2=0有实数根，0，即（2m+3）24（m2+2）0，m112；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，x12+x22=31+|x1x2|，（x1+x2）22x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）22（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=14（舍去），m=2 【考点】根的判别式，根与系数的关系 【解析】【分析】（1）根据根的判别式的意义得到0，即（2m+3）24（m2+2）0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3

10、，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）24x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果8.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？ 【答案】解：设该玩具的销售单价应定为 x 元根据题意，得  (x-30)600-10(x-40)=10000解得 x1=50,x2=80当 x=50 时， 600-10(x-40)=500 件，当 x=80 时， 600-10(x-40)=2

11、00 件.答：该玩具的销售单价定为 50 元时，售出500件；或售价定为 80 元时售出200件. 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，购进时的单价是30元，销售单价定为 x 元时，一件的利润是( x 30 )，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得到销售的数量是600-10（x-40），得到等式，求出x的值，该玩具销售单价和数量.9.已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？ 【答案】是 【考点】一元二次方程的定义，三角形三边关系 【解析】解答：化简 +bx（x-1）= -

12、2b ， 得（a+b-c） -bx+2b=0， a、b、c为三角形的三条边，a+bc，即a+b-c0， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程分析：首先将 +bx（x-1）= -2b化简整理成（a+b-c） -bx+2b=0，然后根据一元二次方程的定义解答10.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且ABAD）（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？

13、 【答案】（1）解：AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，AB=-2x+44；（2）解：由题意得，（-2x+44）x=192，即2x2-44x+192=0，解得x1=6，x2=16，x2=16 443 （舍去），AD=6，AB=-2×6+44=32答：AD长为6米，AB长为32米 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】（1）根据图形可得AD+BC-2+AB-2=40，利用已知AD=BC=x，可得AB与x的代数式；（2）由（1）中的代数式和矩形场地的面积为192可得关于x的一元二次方程，解方程判断x的值是否满足条件即可.11.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平

14、均每天可售出20件，每件获利40元。为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】解：设每件童装应降价x元，由题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得：x1=20，x2=10，当x=20时，20+2x=60（件），当x=10时，20+2x=40（件）， 60>40， x2=10舍去.答：每件童装应降价20元. 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设每件童装应降价x

15、元，由题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解一元二次方程，再由尽快减少库存得到答案.12.如图，四边形ABCD中，ADBC，A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t0）（1）求线段CD的长； （2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？ 【答案】（1）解：如图1，作DEBC于E，则四边形ADEB是矩形BE=AD=1，DE=AB=3，EC=BCBE=4，在Rt

16、DEC中，DE2+EC2=DC2 ， DC= DE2+CE2 =5厘米；（2）解：点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，BP=t厘米，PC=（5t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（52t）厘米，且0t2.5，作QHBC于点H，DEQH，DEC=QHC，C=C，DECQHC， DEQH = DCQC ，即 3QH = 52t ，QH= 65 t，SPQC= 12 PCQH= 12 （5t） 65 t= 35 t2+3t，S四边形ABCD= 12 （AD+BC）AB= 12 （1+5）×3=9，分两种情况讨论：当SPQC：S四边形ABCD=1：3时， 35 t2+

17、3t= 13 ×9，即t25t+5=0，解得t1= 5-52 ，t2= 5+52 （舍去）；SPQC：S四边形ABCD=2：3时， 35 t2+3t= 23 ×9，即t25t+10=0，0，方程无解，当t为 5-52 秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分 【考点】一元二次方程的应用，勾股定理的应用，相似三角形的应用 【解析】【分析】（1）作DEBC于E，根据勾股定理即可求解；（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解二、综合题13.解下列方程： （1）(2x-1)2=4 （2）x2-4x+1=0 （用配方法） （3）x2+2x=

18、4 （4）2(x-3)2=x(x-3) 【答案】（1）解：(2x-1)2=4，2x-1=2或2x-1=-2，x1= 32 ，x2=- 12 ， （2）解：x2-4x+1=0，x2-4x+4=-1+4，（x-2）2=3，x1= 2+3 ， x2= 2-3 ， （3）解：x2+2x=4，x2+2x+1=4+1，（x+1）2=5，x1=-1+ 5 ，x2=-1- 5 ， （4）解：2 ( x 3 ) 2 = x ( x 3 )，（x-3）【2（x-3）-x】=0，（x-3）（x-6）=0，x1=3，x2=6， 【考点】解一元二次方程直接开平方法，解一元二次方程配方法，解一元二次方程公式法，解一元二次

19、方程因式分解法 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法直接开平方法解方程即可.（2）根据一元二次方程的解法配方法和直接开平方法解方程即可.（3）根据一元二次方程的解法配方法和直接开平方法解方程即可.（4）根据一元二次方程的解法因式分解法解方程即可.14.如图所示，在长和宽分别是 、 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形（1）用 ， ， 表示纸片剩余部分的面积； （2）当 6， 4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求剪去的正方形的边长 【答案】（1）解：纸片剩余部分的面积为： ，（2）解：当a6，b4时，根据题意有： ， ， 即 ，剪去的正方形的边长 【考点】解一元二次方程因

20、式分解法 【解析】【分析】能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍15.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=0， （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围 【答案】（1）解：将 x=1 代入方程 x2+2x+a=0.得， 1+2×1+a=0，解得: a=-3.方程为 x2+2x-3=0. 设另一根为 x1,则 1x1=-3,x1=-3.（2）解： 44a，方程有两个不等的实根，>0,即 44a>0，a<1. 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关

21、系 【解析】【分析】（1）将x=1代入方程求出a的值，再将a的值代入原方程，解方程就可求出方程的另一个根。（2）利用方程有两个不相等的实数根即b2-4ac0，建立关于a的不等式，求解即可。16.商场购进某种新商品的每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题 （1）当每件商品的售价为140元时，每天可销售_件商品，商场每天可盈利_元； （2）设销售价定为x元时，商品每天可销售_件，每件盈利_元； （3）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到1

22、500元 【答案】（1）60；120（2）200x；x120（3）解：根据题意得：（200x）（x120）=1500， 整理得：x2320x+25500=0，解得：x1=150，x2=170答：每件商品的销售价定为150元或170元时，商场每天盈利达到1500元 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：（1.）70（140130）=60（件）， （140120）×60=1200（元）故答案为：60；1200（2.）设销售价定为x元时（x130），商品每天可销售量为70（x130）=200x（件），每件的利润为x120（元）故答案为：200x；x120【分析】（1）根据“当每件

23、商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件”，即可算出售价为140元时的日销售量，再根据总盈利=单件盈利×销售数量即可求出商场每天的盈利；（2）根据“当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件”，即可列出售价为x元时的日销售量，再根据盈利=售价进价即可求出单件盈利；（3）根据总盈利=单件盈利×销售数量结合商场每天盈利达到1500元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论17.某服装批发商计划以每件500元的单价对外批发销售某种品牌的羽绒服，由于临近换季，为了尽快清仓，回收资金，对价格经过两次下调后，以每件320元的单价对外销售 （1

24、）求平均每次下调的百分率； （2）请按此调幅，预测第三次下调后的销售单价是多少元？ 【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率为x由题意，得500（1x）2=320解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），符合题目要求的是x1=0.2=20%答：平均每次下调的百分率是20%（2）解：预计第三次下调后的销售单价为320（120%）=320×0.8=256，答：平均每次下调的百分比为20%，预计第三次下调后的销售单价为256元 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x这是一道平均降低率的问题，利用公式a(1-x)n=p,(其中a是降低开始的

25、量，n是降低次数，p是降低结束达到的量）列出方程求解检验即可；（2）第三次下调就是在320的基础上下调，根据320（120%）计算即可，18.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中a、b、c分别为ABC三边的长 （1）如果x=1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由； （3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 【答案】（1）解：（1）ABC是等腰三角形；理由：x=1是方程的根，（a+c）×（1）22b+（ac）=0，a+c2b+ac=0，ab=0，a=b，ABC是等腰三角

26、形；（2）解：方程有两个相等的实数根，（2b）24（a+c）（ac）=0，4b24a2+4c2=0，a2=b2+c2 ， ABC是直角三角形；（3）解：当ABC是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，x2+x=0，解得：x1=0，x2=1 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】（1）根据x=1是一元二次方程的根，代入得到a=b，即ABC是等腰三角形；（2）因为方程有两个相等的实数根，所以=0，得到a2=b2+c2 ， 由勾股定理的逆定理，得到ABC是直角三角形；（3）由ABC是等边三角形，得到a=b=c，代入方程，求出x的值即可.19.随着某市

27、养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加 （1）该市的养老床位数从2019年底的2万个增长到2019年底的2.88万个，求该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；

28、求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？ 【答案】（1）解：设该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=2.2（不合题意，舍去）（2）解：设规划建造单人间的房间数为t（10t30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为1003t，由题意得：t+4t+3（1003t）=200，解得：t=25答：t的值是25设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y=t+4t+3（1003t）=4t+300（10t30），k=40，y随t的增大而减小当t=10

29、时，y的最大值为3004×10=260（个），当t=30时，y的最小值为3004×30=180（个） 【考点】一元二次方程的应用，一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用-和差倍分问题 【解析】【分析】（1）设该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2019年的床位数=2019年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设规划建造单人间的房间数为t（10t30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为1003t，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人

30、间数”即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论20.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；过点P作直线PFAD，PF交CD于点F，过点F作EFBD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P的运动时间为t（s）（0t10）DGGE=HCAH 解答下列问题： （1）填空：AB=_ cm；

31、（2）当t为何值时，PEBD； （3）设四边形APFE的面积为y（cm2）求y与t之间的函数关系式；若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE= 825 S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）10（2）解：在菱形ABCD中，ABCD，ADB=CDB，又PFAD，四边形APFD为平行四边形，DF=AP=t，又EFBD于Q，且ADB=CDB，DEF=DFE，DE=DF=t，AE=10t，当PEBD时，APEABD， APAB=AEAD ， t10=10-t10 ，t=5，当t=5时，PEBD（3）蛸：FDQ=CDO，FQD=COD=90

32、76;，DFQDCO QFOC=DFDC ，即 QF6=t10 ， QF=3t5   EF=2QF=6t5 ，同理， QD=4t5 ，如图，过点C作CGAB于点G，S菱形ABCD=ABCG= 12 ACBD，即10CG= 12 ×12×16，CG= 12 S平行四边形APFD=DFCG= 48t5 ，SEFD= 12 EFQD= 12×6t5×4t5=12t225 y=48t5-12t225 ，当S四边形APFE= 825 S菱形ABCD则 48t5-12t225=825×(12×12×16) ，即t220t+64

33、=0，解这个方程，得t1=4，t2=1610（不合，舍去）存在t=4s，使得S四边形APFE= 825 S菱形ABCD 【考点】解一元二次方程因式分解法，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：（1）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，BO=DO=8cm，AO=CO=6cm，AB= 82+62 =10（cm），故答案为：10；【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分得出BO=DO=8cm，AO=CO=6cm，ACBD，然后利用勾股定理得出AB;(2)  根据菱形的性质及PFAD，判断出四边形APFD为平行四边形，根据平行四边形的性质得出DF=AP=t，根据等腰三角形的内角和得出DEF=DFE，从而根据等角对等边得出DE=DF=t，进而得AE=10t，由于当PEBD时，APEABD，根据相似三角形对应边成比例列出关于t的方程，从而得出结论当t=5时，PEBD；（3） 首先根据已知条件判断出DFQDCO，然后根据相似三角形对应边成比例得出关于t的方程，从而表示出 Q F=3t5, E F = 2 Q F = 6t5，同理