常用的基本求导定律

1、1.基本求导公式(C)0(C为常数)(xn)般地，(x)1特别地：(x)1,(x)2x,(-)xJ,晨x)12.x(ex)ex;一般地，(ax)axIna(a0,a1)。11(Inx)一；一般地，(logax)(a0,a1)。xxlna2.求导法则四则运算法则设f(x),g(x)均在点x可导,则有：(I)(f(x)g(x)f(x)g(x);(H)(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x),特别(Cf(x)Cf(x)(C为常数)；小)f(x)g(x)f(x)g(x)2,g(x)g(x)0),特别(')g(x)g(x)g2(x)3.微分函数yf(x)在点x处的微分：dyydxf(x

2、)dx2x2C(1),dxxc,xdx-c,xdx2常用的不定积分公式xdx(1)x3dx14x一c41 .(2) -dxln|x|C;x(3) kf(x)dxkf(x)dxxexdxexC;axdx上一C(a0,a1);Ina(k为常数)5、定积分b.f(x)dxF(x)|aF(b)F(a)abbb(1)ak1f(x)k2g(x)dxk1af(x)dxk2ag(x)dx分部积分法设u(x),v(x)在a,b上具有连续导数u(x),v(x),则u(x)dv(x)u(x)v(x):bv(x)du(x)6、线性代数特殊矩阵的概念(1)、零矩阵O22,(2)、单位矩阵In二阶(3)、对角矩阵a100

3、a2(4)、对称矩阵aija100a2、ana11a21ai2a22an1n2nan1an2ann6、矩阵运算a12a22a1a2anna11a21a%a22aana2nafhn1n2nnebgd转置后ATabABcdaecebgdgafcfbhdh7、MATLAB软件计算题例6试写出用MATLAB软件求函数ln。xx2ex)的二阶导数y的命令语句解：>>clear;> >symsxy;> >y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)例：试写出用MATLAB软件求函数yln(爪ex)的一阶导数y的命令语句。&g

4、t;>clear;> >symsxy;>>y=log(sqrt(x)+exp(x);>>dy=diff(y)23例11试写出用MATLAB软件计算定积分11exdx的命令语句。1x解：>>clear;>>symsxy;>>y=(1/x)*exp(xA3);>>int(y,1,2)3例试写出用MATLAB软件计算定积分exdx的命令语句。x解：>>clear;>>symsxy;>>y=(1/x)*exp(xA3);>>int(y)MATLAB软件的函数命令表1

5、MATLAB软件中的函数命令函数ax、,xxeInxIgx10gxixMATLABxAasqrt(x)exp(x)log(x)iogio(x)log2(x)abs(x)运算符号运算符+一*/A功能加减乘除乘方典型例题例1设某物资要从产地Ai,A2,A3调往销地Bi,B2,B3,B4,运输平衡表(单位：吨)和运价表(单位：百元/吨)如下表所示：运输平衡表与运价表BiB2B3B4供应量BiB2B3B4Ai73ii3iiA24i928A3974i05需求量365620若非最优，求最优调运方案,(1)用最小元素法编制的初始调运方案,(2)检验上述初始调运方案是否最优，并计算最低运输总费用。解：用最小元

6、素法编制的初始调运方案如下表所示:运输平衡表与运价表血B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1437311311A23141928A363974105需求量365620找空格对应的闭回路，计算检验数：11=1,12=1,22=0,24=-2已出现负检验数，方案需要调整，调整量为1调整后的第二个调运方案如下表：运输平衡表与运价表血B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1527311311A23141928A363974150需求量365620求第二个调运方案的检验数：11=-1已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2调整后的第三个调运方案如下表：运输平衡表与运价表B1B2B3B4供应量B1

7、B2B3B4A1257311311A21341928A363974105需求量365620求第三个调运方案的检验数:12=2,14=1,22=2,23=1,31=9,33=12所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为:2X3+5X3+1X1+3X8+6X4+3X5=85（百元）例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、2

8、50元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。1 .试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。2 .写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为X1件、X2件和X3件，显然X1,X2,X3>0线性规划模型为maXS400X1250x2300x34X14x25x31806x13x26x3150X1，X2，X303 .解上述线性规划问题的语句为：>>clear;>>C=-400250300;&g

9、t;>A=445;636;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)21例3已知矩阵A101,B41,C10,求：ABCT01212解:21101ABC410121110116102解:22(1x)lnx(1x)(lnx)2xlnx解:xx(e)(1x)e(1x)(1x)2xxe(1x)2某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品,设y=(1+x2)lnx,求:总成本增加1万元，销售该产品q百台的收入为R(q)=4q-0.5q2(万元)。当产量为多少时，利润最大？最大

10、利润为多少?解：产量为q百台的总成本函数为：C(q)=q+2利润函数L(q)=R(q)C(q)=0.5q2+3q2令ML(q)=q+3=0得唯一驻点q=3(百台)故当产量q=3百台时，利润最大，最大利润为L(3)=0.5X32+3X32=2.5(万元)例8某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。届刀j十口m1r6q1000000000解：库存总成本函数C(q)40q令C工10000000000得定义域内的唯一驻点q=200000件。40q即经济批量为200000件-、一1例9计

11、算定积分：°(x3ex)dx解：0(x3ex)dx(1x3ex)|03e:例10计算定积分：(x22)dx1x-3o21,326解：1(x-)dx(-x2ln|x|)|2In3教学补充说明1.对编程问题，要记住函数ex,Inx,夜在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x),log(x),sqrt(x);2对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：xadx-xa1c(a?1)a1xxedxec1.，-dxln|x|cx7.记住两个函数值：e0=1,ln1=0。模拟试题一、单项选择题：(每小题4分，共20分)1 .若某物资的总供应量(C)总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总

12、供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0,则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。(A)等于(B)小于(C)大于(D)不超过2 .某物流公司有三种化学原料Ai,A2,A3。每公斤原料Ai含Bi,B2,B3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤;每公斤原料A2含Bl,B2,B3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A3含Bi,B2,B3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。每公斤原料Ai,A2,A3的成本分别为500元、300元和400元。今需要Bi成分至少100公斤，B2成分至少50公斤，B3成分至少80公斤。为列出使总成本最小

13、的线性规划模型，设原料Ai,A2,A3的用量分别为xi公斤、X2公斤和X3公斤，则目标函数为(D)。(A)maxS=500xi+300x2+400x3(C)maxS=100xi+50x2+80x3C、几i2i23.设A,B,4x7x7(A)4(C)2(B)minS=i00xi+50x2+80x3(D)minS=500xi+300x2+400x3并且A=B,则x=(C)。(B) 3(D)i4.设运输某物品q吨的成本(单位：元)函数为2000,则运输该物品i00吨时的平均成本为(A)i70(B)250C(q)=q2+50q+A)元/吨。(C) i700(D)i70005.已知运输某物品q吨的边际收

14、入函数为MR(q),则运输该物品从i00吨到300吨时的收入增加量为(D)。300i00(A)1OOMR(q)dqC(0)(B)30MR(q)dqI00300(C)MR(q)dq300(D)100MRdq二、计算题：（每小题7分，共21分）6.已知矩阵A2110B41,C，求：AB+C12'11解：ABC210140121102012737.设yInx1x3解：y33(lnx)(1x3)(lnx)(1x3)32(1x)31xx(12,3xlnx8 .计算定积分：；(x32ex)dx解：1(x32ex)dx(lx42ex)|12e70404三、编程题：（每小题6分，共12分）的命9 .试

15、写出用MATLAB软件求函数y爪八工2ex）的二阶导数y令语句。解：>>clear;>>symsxy;>>y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)110.试写出用MATLAB软件计算定积分0xe、"dx的命令语句解：>>clear;>>symsxy;>>y=x*exp(sqrt(x);>>int(y,0,1)四、应用题(第11、12题各14分，第13题19分，共47分)11.某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000

16、元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。解：库存总成本函数C(q)A100000000040q令c.110000000000得定义域内的惟一驻点q=200000件。40q2即经济批量为200000件。12.某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材

17、料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为X1件、X2件和X3件，显然X1,X2,X3>0线性规划模型为maxS400x1250x2300x34Kl4x25x31806x13x26x3150x1，x2,x30解上述线性规划问题的语句为：>>clear;>>C=-400250300;>>A=445;636;>>B=180;150;&

18、gt;>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)线性规划习题1.某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A,B,C三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1,1,0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1,2,1单位。每天原料供应的能力分别为6,8,3单位。又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB软件计算(写出命令语句，并用MATLAB软件运行)。解：设生产甲产品x1吨，乙产品%吨。线性规划模型为：maxS3x

19、14x2x1x26x12x28X23xi,x20用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：> >clear;> >C=-34;> >A=11;12;01;> >B=6;8;3;> >LB=0;0;> >X,fval=linprog（C,A,B,LB）2 .某物流公司有三种化学产品A1,A2,A3都含有三种化学成分B1,B2,B3,每种产品成分含量及价格（元/斤）如下表，今需要B1成分至少100斤，B2成分至少50斤，B3成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。相关情况表X成分产品含X每斤产品的成分含量A1

20、A2A3B10.70.10.3B20.20.30.4B20.10.60.3产品价格（元/斤）500300400解：设生产A1产品X1公斤，生产A2产品X2公斤，生产A3产品X3公斤，minS500x1300x2400x30.7x10.1x20.3x31000.2x10.3x20.4x3500.1x10.6x20.3x380xi,x2,x303 .某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟；生产每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。该厂装配中心一天可

21、利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写出使企业获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行出结果）解：设生产桌子x1张，生产椅子x2张maxS12x110x210x114x2100020x112x2880x1,x20MATLAB软件的命令语句为：>>clear;> >C=-1210;> >A=1014;2012;> >B=1000;880;>>LB=0;0;> >X,fval=linprog(C,A,B,LB)4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A,B,C,D四种不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别