幂级数测试题

1、第十四章哥级数单选题2的收敛半径为R(。二田),则下列断语中正确的是(A)H-1片在卜孔戍)上一致收敛。(B)在:一二民)内某些点处非绝对收敛。(C)<2检的收敛半径大于(D)对任意的，在一尸，门上一致收敛。2。若富2Z级数M-0在五二2处收敛，在下二-3处发散，则该级数(A)在工=3处发散;(B)在x二一2处收敛;(D)当(C)收敛区间为(一二Z发散。T3哥级数级数马的收敛域是(B)(A)(D)(C)-11E4必*0的收敛半径为R,那么“r不定存在.5.如果W能展开成(A)是/(工)的是了口)的麦克劳林级数；(C)不是的麦二的泰勒级数。加忸6.如果*,则哥级学(A)当小二时，收敛；收敛

2、；IM(C)当白时，发散；散£即(犬+3y7.设级数I在；(A)散；(C)条件收敛；不能确定敛散性。犬的哥级数，那么该哥级数麦克劳林级数；(B)不一定范劳林级数；(D)是，M在点/处乙出E(B)当士时，k|>-(D)当2时，发f=-1处是收敛的，则此级数在XE1处发(B)绝对收敛；(D)8塞级数WVt在其收敛区间的两个端点处A全是发散的.B.全是收敛的C,左端点发散，右端点收敛.D左端点收敛，右端点发散9.函数久展开成力的哥级数的方法是1 11®".1111g-=（°仆匐工33M33©-二三£（T（一3。<3）荒九<

3、3）11*fkS（白）二言£（-1）期-（0<a<65x3b_oI3/10.哥级数超2的收敛域为T2-22）2,2（2?）-2,2）（-8,小）答案：110DDBDAADDDA£（a>0）填空题：1.若哥级数7在（-0+°°）内收敛，则。应满足.QD电£4/£4x+i），2 .设备级数为的收敛半径为2,则级数-I'的收敛区间为.3 .级数1+'（1一刈+/（1一工尸"7/（17）5*的和函数为.域是敛.答案:径.计算题4.设0o户是一等差数列工5,则哥级数»-1收敛5.6.W0H-

4、1与M-1有相同的$1力五的哥级数展开式区间内才有和函数.哥级数只有在7.不变.10.1.*+*_力+(口一/*.)+(0Ml4.(-1,1)在区间9.6.7.2. (-3<x<T)7PX13!5!10/713,式外）ma'L(2丁1)!5.8.收敛区间.(-CQC汽<+001.求哥级数52«-1得X的收敛域及和函数.2 .求哥级数1工+23/+-+双H+1）/斗一的收敛域及和函数3 .求哥级数的收敛半径与收敛域W11W1酎+-）工"£(1)B-1/理整_1J4,将函数f）=岛"/4#+/）展开为篮的哥级数,并指出收敛域5,求函

5、数/（X）=3+2工-47在x=1处泰勒展开式6.设备级数2外当时有汽戛内（*'）%=a且/=4%=l求该哥级数的函数7,将/=（1+幻展成x的哥级数.8. 求哥级数基的和函数.£©祁+M9. 试求哥级数A-1的收敛区域及和函数10.设了二工用九/一1H-1,确定阿的连续区间，并求积分如的值答案：1.解因且当x=±l时级数都发散，故该级数的收敛域_/（=，尸.-D为（-1,i）,令*，则理伽+DR=hm=12.解：收敛半径期t*（r+1）（胃+2）,当入±±1时，原级数发散，故原级数的收敛域为（-1,1）,设其和函数为S5）,S（x）=

6、£挖5+。犬=工+=人£（库41）/当工=1时，由于氏一1).&="TV(2)解记2041产1-=*-*令0|%|22-HJO所以收敛半径R=1,收敛域为今XQ(N-8),故级数发散,所以该级数的收敛域为(-1,因为X<1X=1卜|>1-1,1.收敛半径R=1,收敛区间为4.解-lnfl-j5)-ln(l-1)(/ln(l-z)=-工+b而12ln(lj5)=d4+-1-'+1,k23摩9/ID1z-二1一而级数H-1超与艳-1融T三五二1时ln(l+x+X1+=1玳1-丁)一皿1-工)101JJ5JilKx4+T+工T<-

7、9;+弓*r1-AAg«B9«3汽)-1的收敛域都是-1,1,故+1.1_/(r)=lc(l-l-x-h+x+x5.解因/。)=&/=0-取+21f)|z=15r(D=(-8+421=乂，.=42,=0,S之4)一(幻=S-hl5(z-l)+n(7-l)3+7(x-l)x(-00,400).SQ)=£啊-'m-LDD式琦=£Ad,6.设和函数m-0s=£贝”1)小产，=交/=S(x)»-2x-0即1'，'解上述关于或工）的二阶微分方程,s(鼻)=7 .解易看出（i+埴/二a/ykJ=jt(1+4-)=z

8、+II2III2!八、12工3工*W+l导，得=l+r+-=1+27r8 .级数的和函数为$5）=£（-i产/=工£（-i产小万=Z汇（-1产例£(-1严/¥1+K工。一X）工它（-1.口1+K）敛,9.在（一L1）上收所以当工匠Ji，1）时，有s(z)=22(2n+=2y部/+Z/10.因为哥级数的收敛域是1一1，1）,所以/在（-1,1）上的连且可逐项积分。%-1:-11.证明题：i.设"歹内收敛，焉1”也收敛，则Jo6押+.2.设f为哥级数7在（-R,R）上的和函数,若f为奇函数，则原级数仅出现奇次哥的项，若f为偶函数，则原级数仅出现偶次

9、哥的项.0/3.设函数,?示定义在0,1上，证明它在（0,1）满足下述方程：y(x)+/(l-.z)+ln=4.设研=%=l%+i=%+%/=£五>,I 廿IIM-1-乙曲K12时，级数JB-1收敛.、几旅为二4'£%'/va,D、几5.设帚级数必-0,碗的收敛半径分别为%r以2,设汽=皿（4，&）,证明：当工1及时，：敛。6.设Kg-tT*，箕？S.Jm11In=2a4+F+4（工）正:1352«-lJ其中医卜"2w-l值.-a*17.设%=1,T2也叫,手岂X加=1s。证明：当HW（-L1）时，（工）满足方程卜一小：8

10、.若基级数制”的收敛半径为R（0）,敛，则级数型在0,R（或-R,0）上T9 .设函数在区间（明切内的各阶导数一致有界Kwa有代叫小峪1,2,，证明：对（八月=京。屹5-飞尸.,.0川.10 .证明：U（«炉满足方程邛"+j,-Mv凡y（x）=£答案：1.证明：因为当I超级数绝对收,求用二1,2,3、川二炉,二号。且在无二R（或了二一自）时收k收敛.,即存在正数M,对一切乌田内任一点K与而有-j/=0.R耍收敛，有町=1出=tv&广威=f-尸：e-艮*),n-db_0月+1£乌-K"】又当冗二R时,蛇。幅十1收敛，从而可知加工”十1在（

11、7（=1101£鸟一产1=下生城M兀二尺左连续，于是“1f”1»。况+1）M月十1.：式町=£g/心卜即2.:A/(-)=Z(-1)W(同死*_1当/为奇函数时，有/+，（7）=。但*,从而%+（-=0（用=122=%=。（上=1,2）,/M=S的5g4小即这时必有，-.当，.为偶函数时，有/5）70=味上0%一L1）Z=O,a=L2,川）叼i=o*=12）n-'-（工）=£叼耳此式当且仅当-'.3.证明：设且（»=/（方+，。-幻十国元1口（1-工），工乏9，1）则尸=/x)-+lIn(l-x)-Lnk''31

12、-xFQ)=C,0<a<1hm尸霁)=丁所以K-Vl-故一一.''.0<x<1.敛。时,取极限得到H4时,4.因为I.'：'.,所以,.,'%+%t<2%_2/%HtnQ0m<2从而级数H-1X的收敛半径ZH-1声炉级数5.对于任意'云收敛.,由于工E-&1，&J,（一旦,M-0、十包）工”<取XL>Q界+4)x所以-1绝对收敛。6.同<1/x3X-j十23十-5Infl-工)=-x不M工.=工工+135h+3JC从而2用+12+3二（2"吸1-昌7.,哥级数的收敛半径是1,所以当父三（-I1）时，vb）可微,Sr2h-1乙窗由盅X注_1fr2iry1n部-1。虺41。一汽Jy=乙2犀兄入一一22器3总走故:-=2百1并+工2伉G*-(«-0q程。界,8.证明:CD设级数-面£%资已知级数M-0在冗二R时收敛,对于汇wQ湛有j=：-J-：收敛，函数列3