平面向量全部讲义

1、第一节平面向量的概念及其线性运算1,向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.(2)零向量：长度为0_的向量，其方向是任意的.单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.例1.若向量a与b不相等，则a与b一定()A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量uuuruuur例2.给出下列命题：若|a|=|b|,则a=b；若AB,C,D是不共线的四点，则AB=DC等价于四边形ABC时平

2、行四边形；若a=b,b=c,则a=c；a=b等价于|a|=|b|且a/b；若a/b,b/c,则a/c.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.CA2.向量的线性运算例3:例4:A.0平行四边形法则减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(b)数乘求实数入与向量a的积的运算(1)|旬=|刖a|;(2)当X>0时，心的方向与a的方向相同;当K0时，后的方向与a的方向相反;当Q0时，后=0X心a)=(入)pa;(计)a=?a+fa；?(a+b)=电+b化简ACBD片CD-AB导()a.如图，在正六边形ABCDE中,uuurB.BEuuur.ADAbb.DAc.B

3、cduuuBAuuu+CD+uuurEFD.=(uuuCF向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：a+b=b+a；(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(2)设D,E分别是(入，力为实数)，则ABC勺边ABBC上的点,uuurAD=2ABBE=3BC若DEuuur=入AB+uuur为AC巩固练习：1 .将4(3a+2b)2(b2a)化简成最简式为.2 .若|篇OB=|OA-Ob,则非零向量OAOb勺关系是()a.平行b,重合c.垂直d.不确定uuuruuuuuu3 .若菱形ABCD勺边长为2,则|ABCB+CD|=uuu4 .D是ABC勺边AB上

4、的中点，则向量CD等于()uuur1uuuuuir1uuuuuir1uuuuuur1uuuA.-BC+-BAB.BC-BAC.BC-BAD.BC+-BA5.若A,B,C,D是平面内任意四点，给出下列式子：uuuruuuuuuruuirACBD=DC+AB.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个uuuruuuuuurumnuuuruuuruuuruutrAB+CD=BC+DA；AC+BD=BC+AD；精品文档6.解：Ab=Ac+CB=3a+2b,D,E为AB6.如图，在ABC,D,E为边AB的两个三等分点，CA=3a,CB=2b,求CDCE巩固练习1。16a+6b2°C3。2

5、4°A5°C的两个三等分点，AD=1Abj=-a+2b=DE.CU热AD=3a-a+|b=2a+|b.-.CEC>Dt2a+2b-a+33332 .4§b=a+3b.3 .共线向量定理：向量a（a*0）与b共线等价于存在唯一一个实数人使得b=H例5.已知a与b是两个不共线向量，且向量a+心与一（b3a）共线，则甘uuiruuuruuu例6.设两个非零向量a与b不共线，（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3（a-b）,求证：A,B,D三点共线.（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.巩固练习：1.给出下列命题：但它们的模能比较大小.后=0（入其

6、中错误的命题的个数为（）uuur，则AD=（）两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.两个向量不能比较大小,为实数），则入必为零.人科为实数,?a=jjb,则a与b共线.A.1B.2D.4uuuruuur2.如图，已知AB=a,ACuun=b,BDuuu=3DC,用uuura,b表示AD.3.A. a+4b13B. 4a+4b31D.4a+4b3.已知向量a,b,c中任意两个都不共线，但a+b与c共线，且b+c与a共线，则向量a+b+c=（）A.aB.bC.cD.0uuuriuuiruuur4如图，在ABC43,/A=60°,/A的平分线交BC于D,若AB=4,且AD=4AC+入AB

7、（沃R）,则AD的长为（）A.2A/3B.3#C.4MD.5V3uunuuuruuuruuiruuuu5 .在？ABC珅,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点，则MN=(用a,b表示）.uuuruuuruuuruuiruuuruuuu6 .设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2=16"AB+AC|=|ABAC|,则|AM|=1 uuuruuuruuu例5.-例6.解(1)证明：.AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),uuuruuiruuuuuuruuiruuirBD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=2a+8b+3a3b=5(a+b)=5AB.A

8、B,BD共线,又.它们有公共点B,.A,B,D三点共线.(2);ka+b与a+kb共线，存在实数使ka+b=Xa+kb),即ka+b=后+Kb.，(k?)a=(衣一1)b.-a,b是不共线的两个非零向量，二.k一七k1=0,1-k21=0.k=zd.CBDB-a+1b2444 .向量的中线公式：若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则群=：（OA+能）.5 .三点共线等价关系uuuuuiruuuuuuuuuA,P,B三点共线？AP=入AB(后0)?OP=(1-t)OA+tOB(O为平面内异于A,P,B的任一点，tCR)?群i=xOA+yOi(O为平面内异于A,P,B的任一点，xCR,yCR,x

9、+y=1).第二节平面向量的基本定理及坐标表示1 .平面向量基本定理如果ebe2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数A,M使a=He+兀&.其中，不共线的向量e,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2 .平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a=（x1,y1）,b=（x2,y*,贝Ua+b=（X1+X2,y1+y2）,ab=（x1一x2,y1一y2）,）a=（K,项），|a|=xjx2+y2.（2）向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.2欢立下载精品文档uumuuur2设A(xi,yi),

10、B(x2,y2),则AB=(X2xi,y2-yi),|AB|x2-xiz+y2-yi3.平面向量共线的坐标表示设a=(xi,yi),b=(x2,y2),其中bw0.a/b?xiy2x2yi=0.平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量十?2e2,其中ei,e2是一一组基底.a,有且只有一对实数A,M使a=%ei特别注意：若ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，a=»ei+?2e2,biei2e2则ab例i0:(i)如图，平面内有三个向量OAObOc其中也O的夹角为例7.若A(0,i),Ri,2),C(3,4),则AB2BC=uuuu例8.已知点M5,6)和向量a=

11、(i,2),若MN=-3a,则点N的坐标为()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)uuuuuuruuu例9.已知A(-2,4),B(3,-i),C(-3,4).设AB=a,BC=b,CA=c.(i)求3a+b-3c；(2)求满足a=nb+nc的实数色n.巩固练习：i.若向量a=(i,i),b=(-i,i),c=(4,2),则c=()A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3bi20°,OAtOc勺夹角为30。，且10A=|ObI=i,|0(p=2>/3,若OoOafmob九代r),则计科的值为umruuuuuuruuuruuurr(2)已知AD,B

12、E分别是ABC的边BC,AC上的中线，且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为2 .已知向量a=(x,y),b=(i,2),且a+b=(i,3),则|a|等于()A.J2B.J3C.镉D.屈3 .已知向量a=(3,2),b=(x,-4)，若a/b,则x=()A.4B.5C.6D.74 .设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上，且|A|=2|Ap,则点P的坐标为()A.(3,i)B.(i,i)C.(3,i)或(i,i)D,无数多个5 .已知a=(i,2),b=(3,2),当ka+b与a3b平行时，k=()A.；B.；C.-1D.144336 .已知向量a=(cos仇sin向量b=

13、h/3,-i),则|2ab|的最大值、最小值分别是()DA.4啦，0B.4V2,4C.i6,0D.4,07 .已知向量a=(i,2),b=(2,3),c=(4,i),若用a和b表示c,则c=.8 .已知向量a=(3,i),b=(i,3),c=(k,7),若(ac)/b,则k=.(3).如图，已知c为OAB边ab上一点，且AC2CB,OCmOAnOB(m,n变式训练：uuuri.在ABC中，已知D是AB边上一点，若ADA.23B.-3C.uuiruuir2DB,CDi3iuuuuuu-CACB,则32D.一32.设D,E分别是ABCW边ABBC上的点，AD=；ABBE=|bCDE=瓜B+?2AC

14、A,入为实数)，则入+4的值23.例7.(-3,-3)例8.A例9.解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(i,8)(i)3a+b-3c=3(5,5)+(6,-3)-3(i,8)=(i5-6-3,-i5-3-24)=(6,42).6m+n=5,m=-i,3i3.若M为ABC内一点，且满足AMABAC,则ABM与ABC的面积之比为44(2)nb+nc=(-6m+n,3m+8n),解得-3n8n=-5,n=-i.BCCCCD2a-b53欢立下载精品文档4.若点M是ABO在平面内的一点，且满足5A阵A打3AC则ABMfABCW面积比为(1A.52B.59D.254n=3,3.解由题意

15、得(3,2)=m1,2)+n(4,1),所以2m+n=2,59,8n=n9.16(2) a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由题意得2x(3+4k)(5)x(2+k)=0.k=13例10:2ra34b31:4平面向量共线的坐标表示例11.已知a=(1,2),b=(3,2),当实数k取何值时,ka+2b与2a4b平行？/(a2b),贝U等于()C12练习：1.已知向量a=(2,3),b=(1,2),若(ma+nb)-1A.-2B.2C2D.uuuruuir2 .已知A(1,1),R3,1),aa,b).(1)若A,B,C三点共线，求a,b的关系式；(2)若AC=2AB,求点C

16、的坐标.3 .平面内给定三个向量a=(3,2),b=(1,2),c=(4,1).(1)求满足a=nb+nc的实数m,n；(2)若(a+kc)/(2b-a),求实数k;例11.解法一：:2a4bw0,，存在唯一实数Z,使ka+2b=?(2a4b).将a,b的坐标代入上式，彳#(k6,2k+4)=X14,-4),得k6=14入且2k+4=4入解得k=-1.k-2X=0,解法二：同法一有ka+2b=?(2a-4b),即(k24a+(2+44b=0.丁a与b不共线，2+4入=0.k=一1.uuuruuuruuuruuir1) C2.解：(1)由已知得AB=(2,2),AC=(a-1,b-1),vA,B

17、,C三点共线，AB/AC.2(b-1)+2(a1)=0,即a+b=2.uuuruuma1=4,a=5,2) )AC=2AB,(a1,b-1)=2(2,2).解得b-1=-4,b=-3.点C的坐标为(5,-3).平面向量的数量积及应用知识梳理1 .两个向量的夹角uuuuuu(1)定义：已知两个向量a和b,作OA=a,OB=b,则称作向量a与力向量b的夹角，记作a,b>,7一，J(2)范围：向量夹角a,b>的范围是,且=b,a.(3)向量垂直：如果a,b>=,则a与b垂直，记作.2 .平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：叫作向量a和b的数量积(或内积)，记作ab=.可见

18、，ab是实数，可以等于正数、负数、零.其中|a|cos6(|b|cos。)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.(2)向量数量积的运算律ab=(交换律)(a+b)c=(分配律)(a)b=a(2)(数乘结合律).3.平面向量数量积的性质：已知非零向量a=(a,a。，b=(b,b。性质几何表小坐标表小定义ab=a|b|cosa,b>ab=ab+a2b2模aa=|a|2或|a|=/a'"aJI/22|a|aa1a2uuu若A(X1,y1),Rx2,v公，则AB=(X2X1,y2y。uuurnr2AB=7(X2-X1)+(y2-y1)a±b的等价条件ab=0ab

19、+a2b2=04欢立下载精品文档夹角,一ab3b|a|b|(|a|b|w0)aba?b22cos<a,b>=11t22222丁七1a2、:b1b2|ab|与|a|b|的关系|ab|<|a|b|.122,2,2|abia2b2|qaa2bb2一、平面向量数量积的运算rrrr例2.(1)设向量a,b满足abrr1及3a2br3,求3arb的值(2)设平面向量a=(1,2),b=(2,y),若A炉B.邓C.产Da/b,则|3a+b|等于().-26uuuruu口例1(1)在等边三角形ABC,D为AB的中点，AB=5,求AB.BC,(2)若a=(3,4),b=(2,1),求(a2b)

20、(2a+3b)和|a+2b|.变式训练1.已知下列各式：|a|2=a2;|a|A.2.(a22b)|a|3.已知4.已知uuinCD；变式训练1.已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,则|a+b|=,1a-b|=，一，一、一一.，-一、，IT一2.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为-,则|a+b|=3.ABC中，|AB|3,|AC|4,|BC|5,则ABBC(答:9);wb;(ab)2=a2b2;(ab)2=a22ab+b2,其中正确的有(2|a|r2,b3,3x3x4.已知向量a=cos,sin,b=cos-,-sin-,且xCJt_7t3'4.2|b|b|；0

21、或b0；r(bc)rr若ababacrrrcb,则aaa(bc)(ab)c；(1)求ab及|a+b|；(2)若f(x)=ab|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.3总与b的夹角为120°,求°rb;(2)arc;2其中正确的是%-b；(3(2ab)(a3b)(答：)r三、求夹角例3已知|a|=4,|b|=3,(2a3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角向.rr34,2与b的夹角为一4rrb)(ar2b)。变式训练:di5.已知a=(1,3),b=(4,6),c=(2,3)，则(bc)a等于().A.(26,78)B.(-28,-42)C.52D.-78rb?u,2

22、,且arrrrb与a垂直，求a与b的夹角rrrrrrr2.若a,b是非零向量且满足(a2b)a,(b2a)b，则a与b的夹角(、求平面向量的模A.-B.C.-D.6335欢立下载精品文档rr3.已知a,b是两个非零向量，且rb的夹角为(答：30°)5.在ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且ABC的一个内角为直角,r4、已知ar(6,0),b(5,5),则，r，与b的夹角为（）、45°B、600C、1350D、1200五：求夹角范围r已知|a|_r一，r22|b|0,且关于x的万程x0有实根，则a与b的夹角的取值范围是r5.已知a(1,小(0,Arrkb,drirc与d的夹角为-,则k等于（答:1）；A.0,-B.C.（2）已知a(,2),（3,2），如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是6.已知|a|3,|b|5,且a12,则向量a在向量b上的投影为12（答：一）5变式训练.四。利用