弹性力学基础分析

1、岩石力学一第三讲：弹性力学基础（一、应力应变分析）教学备忘录序号时间内容备注1101、上节课的内容回顾岩石的组构特征及其对力学性质的影响岩石的四个性质岩石的物理、水理性质2、例题讲解2401、为什么进行应力应变分析简要介绍变形体和刚体的区别以教室中的承重梁为例说明进行应力应变分析的意义2、应力分析通过变截面杆受力引入应力的定义，应力的正负问题；应力张量剪应力互等定理内容上尢重点与非重点只分，要求全部理解与掌握重点讲述应力分析，简单讲述应变分析350应力/、变量偏应力和偏应力/、变量应力变换（Mohr园）和主应力平衡方程3、应变分析应变的定义几何方程的引入应变张里和应艾不艾里相容条件4、弹性本构

2、方程大多数物质在受到外力时发生变形，在外力撤除后又能恢复到原来的形状。我们把物质的这种性质称之为弹性。弹性是岩石力学的基础，外力和相应的变形间呈线性关系是最简单的情况。当在外力的作用下，物质发生的变形足够小，那么这种关系几乎总是线性的。因此，线弹性是所有弹性问题的基础。1.1介绍了固体物质的线弹性特性。在实际情况下，线弹性的有效区域经常被超越。1.1中介绍了一些岩石非线性行为的一般特征。在石油工程岩石力学中，更多的兴趣集中在那些具有有效孔隙和渗透性的岩石上。固体材料的弹性理论不能完全描述这种介质，因此，应该引入多孔弹性的概念。岩石的弹性反应也可能是与时间相关的，因此，介质的变形也是随着时间而变

3、化的，甚至在外力不变的情况下也是这样。1.3节和1.4节分别介绍了多孔物质的弹性特性和随时间变化效应。1.1 线性弹性理论弹性理论建立在应力和应变这两个概念之上，在1.1.1和1.1.2节中对应力和应变分别做了介绍。1.1.3 节和1.1.4节分别介绍了各向同性介质和各向异性介质应力和应变之间的线性本构方程1.1.4 应力考虑图1.1所示（见多媒体）的情况，一个重物加在柱子的顶部。由于重物的重量，一个作用力施加在柱子上，同时柱子会产生一个大小相等、方向相反的力。而柱子本身支撑在地面上，因此，施加在柱子顶部的作用力必然会通过柱子的任意横截面。a）处横截面的区域如A所示。如果施加在横截面上的力为F

4、,则该截面处的应力仃定义为：F，一g=（1.1）A应力经常用Pa（=Pascal=N/m2）、bar、atmosphere>psi（=lb/sq.inch.）或dynes/cm2等单位来表示。在理论计算中，国际单位Pa是最合适的单位，而其它单位大多应用于工程计算。应力符号二一不仅表示受力面的物理性质，而且已经依照惯例进行了定义。在岩石力学中，符号惯例规定：压应力为正。历史原因在于：岩石力学涉及到的应力几乎都是压应力。当符号惯例被一直使用时并没有引发问题，但是，记住一些其它科学，包括弹性力学使用相反的符号惯例是重要的。正如公式（1.1）所表明的那样，应力被一个力和一个截面（或通常来说是一个

5、平面）所定义，力是被施加的。看看b）处的截面，施加在截面上的力等于施加在截面a）处的力（忽略柱子本身的重量）然而，b）处横截面的区域A明显小于A。因此，b）处的应力仃'=F/A'大于a）处的应力，即在受力试件中，应力随位置变化而变化。我们可以将a）处截面分为无数个小单元AA,总力F的一个无限小单元力AF施加在这个小单元AA上（图1.2）。不同的小单元，力AF也不同。设想一小单元i,其包含一点P。当其面积Aai趋近于零时，点P处的应力被定义为Afi/Aai的极限，即：-千,、1m瓦（1.2）公式（1.2）定义了截面a）上点i的局部应力，而公式（1.1）描述的是截面上的平均应力。当

6、谈到一点的应力状态时，实际上我们指的是局部应力。与作用力方向相关的截面的取向也很重要。看看图1.1中c）处截面区域A''。在这里，力不再是1.3)。万截面法向方向上的。我们可以将力分解为截面法向方向上的力Fn和与截面平行的力Fp（图程：(1.3)FnCT=(1.4)A''中的o被称作法向应力，而方程：FpT=A''中的七称作剪应力。因此，通过一个平面有两种类型的力，每一类型力的大小依赖于平面的取向。应力张量为了给点P处的应力状态一个完整的描述，把应力在三维直角坐标系中表示出来是必要的。垂直于x轴的平面上的应力可以表示为Ox,Exy,Exz,分别代

7、表法向应力，y方向的剪应力和z方向的剪应力。物理上，平面上只有一个剪应力。然而，剪应力的方向必须被分解，通常被分解为y方向和z方向：TxyTxzo相似地，垂直于y轴的平面上的应力可以表示为CTy,Tyx,Tyz,垂直于z轴的平面上的应力可以表示为仃z,Tzx,Tzy。因此，点P上有9个应力分量：，缶XTxyTxzZyxCTyTyz（1.5）、笈xTzyCTz/表达式（1.5）被称为张量。它完整地描述了点P处的应力状态。有时只用一个符号来表示应力张量是很方便的，例如：仃。因此，仃隐含的表征表达式（1.5）给出的应力分量的集合。应力张量还有一个具体的物理意义：如果r是一个单位矢量，表达式,，代表r

8、方向的总应力（法向应力和剪应力）。然而，不是所有应力张量的9个分量都是独立的。如图1.4中所示的xy平面坐标系中的1个小正方形，作用于小正方形上的应力在图上被标注出来。正方形处于静止状态，因此，没有使其平移或旋转的作用力。由于没有平移作用力已得到了验证，没有旋转作用力要求：Txz=Tzxxy(1.6)同样，可以得到:(1.7)9个变为6个。关系式（1.6）和（1.7）总是是成立的，从而减少了应力张量独立分量的个数，使其由尽管式（1.5）在许多方面是实用的，但其中用到的记法对于理论计算来说是非常不方便的。出于这样的目的，我们频繁使用下面的符号：将两种应力（法向应力和剪应力）表示为：仃。，下标i和

9、j可以是数字1,2,3其中之一，分别代表了x轴，y轴，z轴。第一个下标i代表应力作用面的法向，而第二个下标j代表应力的方向。因此，在图1.4上，我们看到：仃11=仃x,仃13=Exz,等等。在这个记法中，应力张量（1.5）变成：CT11<112。13CT21仃22仃23（1.8）731<y32C33,应力不变量公式（1.5）是应力张量的一个矩阵表达式。当转换成不同的坐标系时，矩阵（1.5）转换成一个普通的矩阵。因此，平均法向应力为：=（<Jx+ffy+Cfz）/3（1.9）其等于矩阵迹的1/3,在坐标轴的任何变化中保持不变。因此，这意味着平均法向应力是一个应力不变量。还存在其

10、它的应力组合，它们在坐标系中是独立的。当然，应力不变量的任何组合也是一个应力不变量。经常用到的应力不变量为：222I2zxy(1.10)I2=(OxOy+oyoz+O"zGi)+xy+fyz+&x偏应力公式（1.9）中定义的平均法向应力本质上能引起均匀压缩与拉伸。另一方面，扭曲是由所谓的偏应力引起的。偏应力（也称应力偏斜张量或应力偏移，不同文献中的技术术语是不一致的）是通过从法向应力分量中减去平均法向应力得到的：fSxsxySxz、'传x缶TxySyxsysyz=：7yxCyISzxSzySzJTzxTzyTxz-CTTyz(1.11)仃zR,就像公式（1.10）中的

11、应力不变量，应力偏量不变量可以这样建立:(1.12)J=sx+sy+sz(=0)J2二一(SxSy+SySz+SzSx)+Sxy+Syz+Szx222j3=SxSySz+2SxySyzSySzSzxSxSyzSzSxy一SySzx不变量J1,J2,J3和它们的组合与坐标轴的选择无关。例如，在破坏准则中,应力偏量不变量与扭曲相关，但必须对独立与坐标轴的选择。平衡方程除了作用在物体表面上的力，还可能有作用在物体内每一部分的力O这样的力我们称之为体力。重力就是体力的一个例子。我们将用X,丫和Z来表示作用在物体内一点x,y,z上的单位质量的体力分量。根据符号约定，如果作用在X的负方向，X是正的，对于Y

12、和Z也如此。举一个例子，材料的密度为p,取其一小部分容积AV,如果z是竖轴，由于重力作用在这小部分容积AV上，那体力就是:pZAV=pgAV,在这里g是重力加速度。体力通常产生应力梯度。例如，地层中的一个单元体不仅受到单元体自身重力的作用，而且还要承受单元体以上地层的重量。因此，总应力随着深度的增加而增加。外力作用下，物体保持静止状态，应力张量（公式（1.6）和（1.7）不仅是对称的，应力梯度之间还要满足一组方程，我们这称组方程为平衡方程。考察图1.5中的平行六面体，作用在物体X方向的力是:法向应力：一；xyz+（:二x+-x）yz:X剪应力：:yy)x：z(1.13):.zzx.zx：x工y

13、+(-zx+：z)LxLy:z体力:累加（1.13）中各部分，然后除以AxAyAz,我们发现x方向各力之间保持平衡的条件等同于:+-Xjy:YX：zx+(1.14):z同样，对于y方向和z方向的力，我们发现:-；y；yxz.zy+.:y；:x；:z(1.15)；"z；：.zx；：，zyPZ=0+:z：:x：:y公式（1.14）和（1.15）是应力平衡方程。注意:在交替性符号中（公式（1.8）所示的应力，然后取X1=X,X2=y,X3=z）这些方程采取了特别简单的形式:ij£+PX=0（1.16）j二Xj主应力在坐标系的特殊方向上，应力张量有一个特别简单的形式。为揭示这种形式

14、，最初我们在二维空间研究应力。这不过是学术上的一个练习，实践上的许多问题实际上是二维的。如图1.6所示，与xy平面垂直的平面，其法线与x轴之间的夹角为0,平面上法向应力为（仃）和剪应力为（七），若图中的三角形处于静止状态，因此没有净力作用在它上面。由力的平衡关系可以得出：仃=OxC0S2。+oysin2。+27xysin0cos0（1.17）1 ,T=（CTy-CTx）Sin20+Txycos202 y选择合适的0角，有可能使T=0。从公式（1.17）可看出，当下式成立时，会使T=0O2.xytan20=（1.18）公式（1.18）有两个答案：。1和。2。这两个答案对应剪应力T=0的两个方向，

15、称之为主应力轴。对应的法向应力。1,仃2称作主应力，分别通过在公式（1.17）中代入。1和。2得到：_1/_、21/_2仃1=2（*+<）+xy+4（6-5）乙（1.19）仃2=1（%+仃x）-、除2+；（6-5）2（图1.6）很容易选择符号使%>02。因此，。1方向确定了一个主应力轴，法向应力为C1,剪应力为0。2方向确定了另一个主应力轴，法向应力为仃2,剪应力为0。主应力轴是正交的。莫尔应力圆很容易调整合适的坐标系，使x轴平行于第一主应力轴，y轴平行于其它主应力轴。这样，与x轴相关的一般角0方向上的应力仃和T变成：c=(CT1-Cf2)+(CT1-a2)cos20(1.20)2

16、21.=(q-仃2)sm202在一个图表中(图1.7a)画出相应仃和1的值，我们得到一个圆，称之为莫尔圆。这个圆的半径为(叫一仃2)/2,圆心位于灯轴上点(5+0)/2处。任何角0(图1.7b)方向上的应力。和七都对应于莫尔圆周上的一个点。从图1.7a可以看出,剪应力的最大绝对值为(C1-<r2)/2,对应着角0=45°和9=13500莫尔圆在岩石破坏条件分析中是非常有用的工具，这将会在第二章中看到。(图1.7)莫尔应力圆三维应力现在对于三维空间，我们首要做的是在空间中如何确定方向。可以用方向余弦来做这项工作：lx=cos、工Xly=cosOty(1.21)lz=cosz0(X

17、、0(y和uz分别是我们选择的方向与X轴、y轴、z轴的夹角(图1.8),矢量r=(lx,ly,lz)是一个我们选择的方向上的单位矢量。注意到总有：lx2+ly2+lz2=1(1.22)主应力可以通过解仃的行列式方程获得：岳x_CTTxyTxz、TyxCTyqTyz=0(1.23)JzxTzy仃z-d,此方程的三个解是主应力巴、仃2和。3。此三个解按照顺序排列可以得到以><r2>cr3O确定对应于%的主应力轴的方向余弦l1X,11y和l1z可以通过解下列方程得到：l1x(_'x_；:1)+l1y.yx+l1z.zx=0l1xTyx+lly(q1)+lizTzy=0(1.

18、24)l1xxz+l1y.zy+l侵(_'z-C1)=0同样，在公式1.24中，对应于。2和仃3的主应力轴可以分别通过用2和3替代下标1得至IJ。1.8）方向余弦调整坐标系使x轴平行于第一主应力轴，y轴平行于第二主应力轴，z轴平行于第三主应力轴,这样，应力张量有了特别简单的形式：'100”a=0a20（1.25）<00仃3与此组坐标轴相关的任一方向11,l2和l3上的张量b和T由以下公式决定：1 J二1+12202+132二3二0（1.26）1：二：+122022+132二32二0自然，莫尔结构在三维空间中要比在二维中复杂的多，在这里不作详细的论述。莫尔结构的基本特征在图

19、1.9中得到展示。（图1.9）三维莫尔结构如果1x=0（方向在yz平面上），应力仃和七位于跨度为仃3至仃2的小圆上，。如果1z=0（方向在xy平面上），应力。和e位于跨度为5至%的圆上，如果1y=0（方向在xz平面上），应力。和七位于跨度为。3至巴的大圆上。对于其它方向，应力。和E位于阴影区域上。1.1.2应变考察图1.10中所示的试件，试件中指定质点的位置初始为x,y,z,在外力作用下，质点的位置发生了移动。我们用u表示质点在x方向上的移动距离，用v表示质点在y方向上的移动距离，用w表示质点在z方向上的移动距离。量u,v,w称为质点的位移。如1.1.1中定义的，为了使位移符号与应力符号相符，

20、当它们在轴的负方向上时，取位移为正值。因此，最初在x,y,z的质点位置变为：_/.x=x-u(1.27)=./y=y-v/_z=z-w(图1.10)如果位移u,v,w是常量，即在物体中，对每一质点，位移u,V,w是相同的，那么位移只是刚体的平移。另一位移的简单形式是刚体的旋转。对于一个角速度为切的小旋转，与是旋转的角度，而与的方向是旋转轴，质点的新位置为:r*=r+0x(r-r0)(1.28)式中，r=(x,y,z),r=(x',y',z')。矢量ro是旋转的中心，旋转轴通过这个中心。如果试件中质点的相对位置变化了，那么新位置就不能简单通过刚体平移或旋转获得，这时我们称

21、该试件发生了变形。图1.11给出了一个变形物体的实例。相对于位置O和P的位移是不相等的。该量定义为:L-L(1.29)并将之称作相对于点LO和OP方向的“沿展”变形。根据应力符号法则，定义压缩变形为正。我们称这种特别的变形为应变。同样，也可以发生其它类型的应变，并可通过初始时两个正交方向的角度的变化中来表达(图1.12)。一种应变为:=1tan2称为对应于点O和OP方向的剪应变。(1.30)在1.1节的接下来的部分，我们讨论以下无限小应变，无限小应变意味着应变名和都很小，它们的乘积和平方可以被忽略。现在，考察图1.13中所示的二维空间中的应变。在x方向上x处的变形可以表达如下:(x-：x)-x

22、-|xx-u(xx)-(x-u(x)(xx)-x(1.31)_u(xx)u(x)x极限状态下，当Ax-0,我们有因为应变很小，我们发现对应于-:u'x二一:xx方向的剪应变(1.32)=1tan：1sinxy221cos(+'")22(1.33)1P1F22P1P2矢量Pi,P2,P3,P4可以在图1.13中找到。当Ax-0,Ay一0时，应变的乘积和平方被忽略，我们发现:(1.34)在公式（1.34）中不难看出，对应于y方向的剪应变Tyx等于Txy。(图1.13)在三维体中，为了完整地描述一点处的应变状态，必须对对应于所有三个坐标轴的变形和剪应变进行规定。按照公式（1

23、.32）和（1.34）,这些应变被定义为如下形式:fux二一二xFvy二一二y:w=；z(1.35)1几=以=2（：:u；:w）；zfx应变张量和应变不变量1-yz-zy=-(类似公式（1.5）,我们可以将式（1.35）中的应变整理成张量的形式:xzyz(1.(36)zy应变张量的迹为:y+；z(1.(37)彳定义为体积应变，例如体积收缩。体积应变不依赖于坐标轴的选取，因此是一个应变不变量。类似于公式（1.10）中的应力不变量，其它应变不变量可以定义为:类似于公式（下标i和j可以为J2=一(；x；y+；y；z+；z；x)+：xy2+：yz2+：zx22-7与7+2xyyzzx&zxy7

24、yz+%zx(1.(38)1.8）,也存在一个应变的数学记法。在这个记法中，所有应变可以得到如下定义:1(坦+生)2%jxi(1.(39)1,2,3中的任何一个数字，分别代表x轴,y轴和z轴。因此，当x1=x,X2=y,x3=z时，U1=U,U2=v,U3=w。因此我们有：&11=sx,313=rxz,在这个记法中，应变张量（1.36）变成:313233相容条件由公式（1.34）应变的定义可知，所有应变都是位移矢量合），这样一些有用的表达式从中推倒出来。例如，我们从公式（等于矢量u的散度，即:通过比较应变的二阶导数,我们可以得到其它关系式，即:(1.(40)U=（U1,U2,U3）的导

25、数（或导数的组1.37）和（1.39）知道，体积应变8V(1.41)2x+2y1=2：L:xy-3二u.-2.x.y-3二V-2)yx-2.二'Xx+-2丁.z=2x.z;：3U：3w、t+2).x.z.z/x(1.42).2：；zy-2-9-zy=2=z=y：3w：3Vt+2)zy二yz这三个微分方程，和另外三个由剪应变的二阶导数e2Sx/CyCz,62Wy/dx6z,匕?Wz/Ex匕'给出的微分方程，统称为应变相容条件。主应变在1.1.1中我们知道，在一些特定方向上剪应力为0,因此，在坐标系一特定方向上（坐标轴平行于主应力轴），应力张量将变得特别简单。应变也处同样。在二维坐

26、标系中我们发现，在与x轴成。角方向上剪应变为0,其满足等式:tan2H=2xy（1.43）；x-；y因此，在二维坐标系中，在剪应力为0时，存在两个正交方向，这两个正交方向称作主应变轴。主应变轴方向上的变形，称作主应变。三维坐标系中存在三个主应变轴。解下列行列式方程可以得到主应变。苗-8TrZx'Fxy2'=0（1.44）xzyzaZgj主应变用名1,&2,名3表示，方向余弦l1x,l1y,l1z确定与£1对应的主应变轴，81可以通过解下列方程得到。院（J；l）+l1y“x+llz：zx=011xry+l1y（即-1）+l1zzy=0（1.45）l1x：xz+l

27、1y：yz+l1z（；z-；1）=0同样，与君2和©3对应的主应变轴可以分别用2和3替换下标1得到。公式（1.44）和（1.45）其实与公式（1.23）和（1.24）等价，后者确定了主应力和主应力轴。岩石力学-第四讲：弹性力学基础（厚壁圆柱筒问题）序号时间内容备注120弹性问题的数学提法重点讲解如何讲数学问题转化为力学问题210平面问题的极坐标表达直接给出平面极坐标条件下的应力应变方程、平衡方程、几何方程和本构方程极相容方程320厚壁圆柱筒问题厚壁圆柱筒问题的物理模型、意义、数学模型425圆孔周围的应力集中重点是求解过程510启效应力原理简要介绍，不展开615对弹性力学基础部分进行总

28、结4.1.1柱坐标表示的应力应变在分析井壁岩石上的应力时，选用柱坐标系表示应力是比较方便的。其中P点的应力可以用r、。、z来确定仃，仃日,/,Tr87和1（如图4.1a所示）。crr是径向应力，仃是切向应力，crz是轴向应力。它与直角坐标体系表示的应力关系为：22二r二cxcos口Cysin12XySinicosi22:,一；sin二:cos?-2xvsinicos?【Xyxy(4.1)/、./2.2、.«=(；:-；x)sin1cosixy(cosi-sin二)rz=xzcosizsiniizxzyz子=yzcosi-xzsin在柱坐标体系中，应变分量为与361az和r&。

29、设在r方向上的位移是u,在日方向上的位移是v,在z方向上的位移是w（如图4.1b所示），则应变可表示为:：:u”一rr1Ny=（u.）r:口:w；z=(4.2):z1 ：:u;:vr-=（-v）2 r”：r1,：W：:urz二(2；r：z1/1：:wFv、一吐二小；一）2r-Fz柱坐标体系中的应变分量与直角坐标体系中的应变分量之间的关系可表示为:；r=xcos2；sin%2-xvsincosixyxy；1-xsin21ycos2-2-xysincos(4.3):r1=(y-x)sinicosi:xy(cos21-sin21)：rz=：xycos1-yzsin1?二yzcos-xzsinI对于均

30、质的物质，直角坐标体系中的应力-应变关系可以很容易的转化为柱坐标体系的应力-应变关系：二r=(:2G)；+，；1+，；z；r+(；.+2G)；z；二=；r+,y+('-2G)；zrr-2G：1irrz=2G】rz(4.4)nz=2G-z平衡方程(1.14)和(1.15)也可以用柱坐标体系表示:+1：Y+：zr+二一三+：R=0.:rrfzr1三+j+j+岂+:毛=0£z+_iz+l_zz+_K+PZ=0:z；:rr.口r(4.5)4.1.2在空心圆筒上的应力我们先讨论一个最简单的例子：地层具有线弹性，水平应力相等。在这样的地层中有一个垂直的井眼，井眼便是一个空心圆筒。设空心圆

31、筒的内径为R,外径为Ro（如图4.2所示）。内表面受到的压力为仃ri,外表面受到的压力为仃ro。在空心圆筒的表面没有剪切力。如果忽略空心圆筒的体力，并假设所有分量与8和z无关，则方程（4.5）中的第一项就变为:三,二r-三=0.:rr(4.6)由于1日=%=0，则方程（4.5）的剩余两项也是满足的，这一点在边界r=R和r=Ro也是有效的。由方程（4.2）和（4.4）得：二r二（'2G）；r,；r,；z=（2G）-u'ucrr'；r（'2G）；r,；z=-u（'2G）u二rr把方程（4.7）代入方程（4.6）,则得到关于径向位移u得方程：(4.7)二2:u

32、1：uuT-2-2rr二rr-:rILr：:r(ru)(4.8)方程（4.8）的通解为:(4.9)Bu=Arr把位移（4.9）代入方程（4.2）,并将结果再代入方程（4.4）,则得到径向应力和切向应力:二r二(-2G)(A-)(A)BB(A2)(2G)(A2)(4.10)由于径向应力的边界条件为:其中(4.11)二ro其中r=R则方程（4.10）中的系数A和B可以确定。把A和B的值代入方程（4.10）中，则得至IJ:二roN-二riR21(二ro-ri)R2R2(4.12)二roR2-二ri口=r2-r2R2(二“3krori/222rRo-R方程（4.12）给出了空心圆筒上的径向应力与切向应

33、力随着它们距离圆柱轴的距离所产生的变化。从方程中可以发现，内部的径向应力仃ri与外部的径向应力仃ro相比，内部的径向应力仃ri越低，圆筒内壁上的二；与二一痞异越大。在井眼的下部，ariTPw=井筒压力，RTR=井眼直径，Rt8,仃roTh=水平应力。则径向应力与切向应力的解为:二h一。一Pw）R2(4.13)R2方程（4.6）没有确定轴向应力jq但是对方程（4.4）中仃z的对r求偏导，并利用方程（4.2）中对斗、阳的表示与方程（4.8）的结果，可得到caz/cr=0O因此可知仃z是常数，与r无关。常数的值由的z边界条件来确定，并且要求当r-*°0时，仃z=bv。所以，对于所有r>

34、;R的情况，都有由方程（4.13）可以看出，随着Pw的减小，径向应力仃会减小，同时。日会以相同的幅度增大。如图（4.3）所示，应力的变化是半径r的函数。可以发现，在井壁上的应力与原始应力的偏差最大。（图4.3）线弹性地层中井眼周围的应力在方程（4.9）中，A与B的值通过边界条件来获得。把A与B的值代入方程（4.9）,则得出径向位移u的表达式：2hh-PwR(4.14)r2(-2G)2Gr由方程（4.14）可以看出，u是相对于状态ih=Pw=0时的位移。因此，在钻出井眼前Pw=0h,则位移为。把这一项从方程（4.14）中减去，可得由于钻出井眼而产生的径向位移：2(4.15)-h'PwRu

35、d二2Gr由方程（4.15）可以看出，井内压力的降低可以造成井壁径向位移的增加，从而导致井眼直径的减少。4.1.3井壁上应力的一般线弹性解在上一节中，我们讨论了一个简单的例子，既井眼在地层中是垂直的，地层的水平应力是均匀的。现在我们将进一步讨论一个更为一般的例子：井眼在地层中是倾斜的（不垂直），水平应力是各向异性（例如：水平应力在水平方向上是不相同的）。设原状地层的主应力为：垂直应力,最大水平应力bH和最小水平应力%。坐标系（x',y：z'）定向为：x'轴与仃H平行，y轴与。h平行，z'轴与平行（如图4.4所示，z轴垂直）。这样，井眼附近的应力就可以很容易的用坐

36、标系（x、y、z）来表示，其中z轴平行于井眼的轴线，y轴水平，x轴与井眼的最小径向平行（如图4.4所示）。（图4.4）倾斜井眼的坐标体系从（x：y：z）坐标系变换到（x,y,z）坐标系需要两个步骤:1）、绕z'轴旋转角度a；2）、绕y轴旋转角度i。角度i表示井斜，角度a表示方位角。（图4.5）坐标系的转换从（x；y；z'）坐标系到（x,y,z）坐标系的变换可以通过方向余弦函数用数学方式表述:lxx：lxy：lxz，=x轴分别与x-,y'-,z-轴夹角的余弦。lyxyyyz=y轴分别与x-,y-,Z一轴夹角的余弦。y八,yy,y葭心：/=2轴分别与x-,y-,z'

37、轴夹角的余弦。方向余弦与角度a和角度i的关系为:1Vx-sinayx1yy=cosa1二0yz(4.16)葭=cosacosilxy=sinacosilxz=-sini1zx=cosasini1zy=sinasini1zz=cosi地层应力CTH,bh和仃v在（x,y,z）坐标系中可表示如下:_o_2_2_.2_y1"1'17Vxxxhxyhxzvo222I=111yyxHyyhyzvo222二二1:，1三1zzxHzyhzzv(4.17)oxy=1Jyx.二H.1xy1yy二h,1yz.二voyz=1yx1zx-H1yy1zyh1yzizz、vozx=1zx1xx二H.1z

38、y1xy二h.1zzL二v上标o表示应力为原始地应力。我们现在讨论这样一种情况，假设岩石沿z轴没有产生位移（平面应变情况）。应力解的倒数形式（Jaeger和Cook（1979）建立）我们在这里不进行分析。我们要分析的是：对应于方程（4.13）Brad1ey（1979）建立的完全应力解。，一0一02一。一o42:D2:一二.D4D2xyxy二r=(-)(1-)(-)(13-4-)cos22r2rr(4.2)422盘(13屋-4了)sin2口pw-rrroo2o二x.二yR二x(一)(1r)-(2r0_4二yR4一)(13)cos2-roR4R2-Xy(13)sin21-pwrr一一R2一2；二；

39、二cos2）4：,rR22sin27ir_4_21_3R_+2R_13422rrJR4R2sin26+Toy(1-3+2)cos2rrc一c一R=(-xzsinO+iyzcos9)1+一<r7rz=(唾cos6+，；zsine)1R2""2"rJ方程（4.18）给出的解比方程（4.13）给出的解要复杂的多，特别要指出的是，在方程（4.18)中，剪切应力不为零。因此，在井眼倾斜的一般情况下,<ir、和bz不再是主应力，并且水平应力为各向异性。在方程（4.18）中可以发现，应力的大小一般解也是取决于着角度9,例如，在环绕井壁的不同位置，应力是变化的。这一点

40、我们将在下一节中讨论，其对于井眼破裂的位置会产生影响。4.1.4多孔弹性地层中井眼周围的应力在§4.1.1节中，我们假设岩石是线弹性的固体物质，讨论了在承受应力的地层中，垂直井眼周围的应力分布。这一节我们将要讨论岩石的渗透性和孔隙度对应力解的影响。我们再一次假设水平应力是各向同性的。首先我们需要建立与方程（4.4）对应的应力-应变关系，但这一次讨论的对象是多孔弹性物质。通过对比方程（1.48）和方程（1.87）-（1.93）,我们发现应力应变的关系为：二,=（'-2G）,+；+；z-C：-'；+（'-2G）；1+；z-C=，怎+怎8+（九+2G）%-C，（4.

41、19）r.二-2G-rirz=2G-rz/=2G：Pf=C,-M与§4.1.1节中的求导方式一样，我们把方程（4.19）中的应力代入方程（4.6）,结合方程（4.2）表示应变，并利用设定的对称性（假设：所有变量与日和z无关），最终可得到关于径向位移u的微分方程:C2¥尸2九十2G人由21juu；下7CBfC二0MFr(4.20).:pf/；:r由达西定律给出（方4表示液体在井眼的每单位高度上，每单位时间流入井眼的体积。于方程（1.116)就变为:f二r2二kr(4.21)如果Vf=0,并且象§4.1.1节那样，我们认为边界条件是由rT°o给定,则形成稳定

42、状态需要无限长的时间。如果我们假设存在一个有限的边界,（=井眼半径）二rRo-；一驱）=；入(4.22)pf(Ro)=Pf0在井壁上，边界条件是径向应力是连续的。例如:仃r(R)=Pw(4.23)如果井壁是渗透性的，则孔隙压力为:Pf(R)=Pw(4.24)利用边界条件（4.22）-（4.24）,对微分方程（4.21）求解，可得孔隙压力为:lnr/RPf=Pfo(Pw-Pfo),ln(R/Ro)(4.25)计算的第二个结果就是给出了流速方程（4.20）左边的最后一项是体积力，它受流体的影响。压力梯度程（1.116）。假设井眼中一个层段的高度为h,则流动面可表示为A=2冗hr,流量可表示为Q=h

43、"f。2二kpfonln(R_R)(4.26)非均质微分方程（4.20）关于径向位移u的解是在方程（4.9）的形式上再加上一项:C(Pfo-Pw)rlnr_2C、ln(Ro/R)2M(.2G-)M(4.27)u的解可以代入方程（4.2）,得到的结果再代入方程（4.19）,从而得到应力的表达式。利用边界条件（4.22）-（4.23）,可得到类似与方程（4.12）的应力解，它是距离井眼中心为r的函数。这一推导过程繁冗复杂，在这里不进行表述。表（4.1）列出了Dratlietal.（1983）给出的解。在表4.1中，v三Vfr=(3Kfr2G)/(6Kfr+2Gfr),并且a=C/M，其由

44、方程(1.115)给出。方程（1.95）也被用来实现这些表述。需要注意的是，我们得出解的方法、边界条件二z(R)=二只有在Ro/Rtg时，才会近似的实现。假设RoLR,方程的解会简化为:,Ch一（二h.(二h、，R、2,、-pw)()(pfo-pw)R2-pw)(-)-(pfo-pw)1-2va2(1-v)2ln(Ro/r)l一ln(Ro/R)1-2va2(1-v).ln(Ro/r)|_lr)ln(R/R)(4.28),、1-2v.2ln(R/r)-v_(Pfo-pw)2(1-v)ln(R0/R)由方程（4.26）我们注意到，液体的流动与pfo-pw对应成比例。只要<pfo（例如：当液体流入井眼时），液体的流动可以使径向应力增加，使切向应力和轴向应力减小。表4.1在多孔弹性地层中，井壁上的应力（Bratlietal,1983制）二r=：；h.(二hFw)R2_2_2Ro-R-(C1)一(pfo一pw)R2.ln(r0/r)ln(R/R)J.（二hW）R21-2v(C2)-(pfo-pw)0foo1+.2(1-v)R2-R2Llr/jln(Ro/R)-'z=、-v2v(_'h-Pw)22Ro-R(C3)/、1.2v2R22v(P