排序、均值、柯西不等式

1、排序、均值、柯西不等式及其应用排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。排序不等式：（i）对于两个有序数组.三、E父4及4三%MW.%则a由也+苜同序）一%+/血-+%（乱序）之g+/4t+反序）其中:小与3八是1,2,n的任意两个排列，当且仅当%=3或*=4=以时式中等号成立.（i）设0/三力上三毛，0二切土土以.而心如”,是LZ-的一个排列，则3?台上ma/a/b+.4+/b十一”十一，+力二j（耳4七十（叫鸟）十十51A尸当且仅当a=a=m，且b=国=力时取等号.-n121R平均

2、值不等式：设国巴，队是n个正实数，则有-a之:且一.占上当且仅当目=a=-=m或q=/j=-“=力时式中等号成立.-12n12R（i）设有n组非负数，每组.个数，它们满足:。工a/二九工二气（*=12，m）,那么，从每一组中各取出一个数作积，再从剩下的每一组中各取一个作积，直到门次取完为止，然后将这些积”相加，则所得的诸和中，以f=a.ay.+比.，卷才+-+史：力_*_为最大.（iv）设。白.三巴,匚露，口aM*三。.则十（白尼J十十（日当且仅当电=%=.，*=时取等号.&n事平均值不等式：设。疗门闻，凡耳.凡丘内，则8，+3+一，+a0（甘+a*+k,I二VImUnJInJ当且仅当占1二3

3、、=二N时取等号.加权事平均值不等式设%即P什ER4,0,aj/n=N,2凡，凡则-,二广乩白:十：一十R3：省，同7#氏百,+R2、#、四十月+%）队十丹+十片j当且仅当%=蕖=3时取等号.Tn柯西不等式:(+a2b.+白也)W(a：+苫；+日；)(氏+匕；+6；)当且仅当巩.=kbt(i=2,.门)时取等号.推论1设外露，弘6R:,则111；，故原不等式等价于2乏上，此式左边为顺序和，右边为乱序和，由排序1=1f=11=1f=l不等式知其成立.例2(美国第3届中学生数学竞赛题)设白、匕物实数,求证：abbc(abc)J证明:不防设曰之bJc二0,则Igalgblgc据排序不等式有：wiga

4、+olg&+cIgc_Z?Iga+cig匕+aIgcaIga+blg&+cigcciga+algb+bigc以上两式相加，再两边同加aIg日+blg6+cigc,整理得：3=Ig+g2+:灯广皂3十+s)g与T4i?+fcgrja+b+c即上：,3i+fr+e故abcbc)例3.，求证：a+匕c匕+sc+ab+3。a(b+c)b(ca)c(a+6)ya、上+bet+cac3b证明左边=f+1)+(+1)+(+1)-3曰(6+Gbc4-a)u3+6)(+b)(a+c)(匕+(8+白)(亡4的)(亡+b)IIa(i+c)Rc+a)c(a+注:本题也可以由，/十几二号一8，再处理.一a(b+c)Ja

5、+b3b+be例4.已知况为正实数，且ab+bcA-ca=1,证明:一+-1+!_-a+1b+1c+142卜22口证法1原不等式等价于+，+=_三3+1bC+14由柯西不等式，可得/+y+/(a+54-c)2a2+1b2+1c二+13工+1十打士十丁十白二十1(3+6+歹3+b+c+3(cj6+5c+cs)(m+6+c)(a+b+c+(ab-bc-ca)(a+b+靖3云=.(a+5c)2+(a+i4-c)J32.22,证法2：a2+1b2+1c+14abc_3=.9+幻B+c)(?+c)(&+a)(c+3)9+动4由柯西不等式，可得abc.3(a+b)(a+c)(b+c)(h+a)(c4-a)

6、(c+6)4景i?2ra+til3a+a+=a+i?ja+5l(.b+5j(b4-a)f白+切。十乃十上十分:力+m)(a+si+(b+i)bcd+,(b+c)(?+5)c+a)(c+b)(c+a)4-(5+bcac+a,c+5)(c+b)(a+b)(a+c)(d+c)+d)、ruLGrnr自+bb+cc+a-m口珏为此1只帝证明11之一.显然.(c+aj4-(b+cjc4-p：+(4-b)日十刀十；b十62、十廿八人再.E.C证法3令宫二tan.6=tan“二抬n,0.4民CMWU+S+C=,222.A.B.C9coscos1-cos二一22242A282C2AP+CB-Ccos-FeosF

7、eos=2-sin-Feoscos222222,AS+C_?A贝9用129_I.-_-I-_.22224224例5.设K阴U%日，的工个内角，求证:亶与n4+ysin84-sinC(xy4-zx)证明记_mir三*二w二，=一：.二士1=-,=FLr+”w：广三则ii-:y+z-u0Tmcos(B+C)一,向理2yz2.2Zcos(4+S)Z+XV2zx2h228S(4+8)x+y-w2xy三式相加得之ZCD5（4十团二一2cosC之一故:而由柯西不等式得，Z22中里W(u+y+w)/)(1)J3证明：事实上，(1)式等价于3：+工*M+y+上”(2)采用增量换元法：x=E+再y=工+a+b证

8、明(2)式成立.+cd2da(若2+1111对（2）式作变换*=（s-a）.y=-（5一切.工=一（8一上）（其中5=一（H+匕+0），3b、心为AA8C2222的三边长），则有3（5-4-y+二J+（才匕+&j:与Isb+b+之90+点+3占+b1+/旨（4）例9.（第三届中国东南地区数学奥林匹克题6）求最小的实数m,使得对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c,都有m+t-+c3Ja1+tL+c2J+1.解法1:当a=b=c=山，有m偏27.3下证不等式_!对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c都成立.因为对于0#6x2+5x-B1xa-lBx2-15x+40（3x-1汽9#+4

9、）20,3故27/之5y+5，一3,QOD.3所以,3278,-6b+5b-,327cJ_6/+5C-,3把上面三个不等式相加，得一二一二一：二一1一：一.所以，m的最小值为27.解法2:当a=b=c=4,有m之27.3下证不等式_一III对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c都成立.因为（3甘+幻_0,所以1+8,-/6+助同理，b+cb1c+bc,c34-a3a+caJ,于是i,Ma-4-A14）主TA、+cz+a:A-hJTc-htfa+/4b近=.3+B+c|五+d+r：=a+c+r,所以.I.I.i一.I.I.-i二一+匕+14-3（a2+t4-c：二乳占+匕A-c）三”，丁+

10、必+c）.所以，m的最小值为27.解法3：（齐次化）2F1三+r+丁王=+r4二-；I：m+二十二：T3斗二#2N二O2Q（a+i?+士-r=1+二：*=_+_:+，_+-口-1-aLda+d+JJ1+11（b+b-?+i-l?-+观?4-C51-5e与G之0当a=b=c=B*,有e27.36例10.对任意实数看,y,Z试证：EII.r!.66证明：当*=*=丁时，所证不等式显然成立.当X,y,w不全为零时，X2+必4-gZ2:-Or将所证不等式可变形为1-Xy+2应十3jtz1+yl?-S&P6Jf21-y2-|-96令包出竺之=氏/+/+9，式中的凡兄/均可取一切实数（莺%/不同时为零即可

11、）不妨取变量工作为考查对象.(1)当上=Q时，k-,由/+/一2|为“，得寸x+y222（2）当wH0时，将式整理，得安”；尸十2引*十*:，+9/1鼻工=02火可以为0,当t=0时，不等式显然成立；当*#0时，因*E月，;.0,即口或/=。.由/=。得=（产+刘二一&土：郎，十g处-3产）=0Ji2)/+(j+12kz)y+43(1-QJt1)=a.当*二1时，不等式显然成立；2当*工1时，;尸三也2=(4z+l2Vj:-4n-4Jfc=)4/(1-9Jfc2)OL即.II._/.(1+3k)2-(1-41：X1+3AK1-示旧0即(1+3A)*(*1+如在”曰1-Vl7嗔k-）碧口,解得：

12、6+(4+12J1-1+而三点工或口工“336回理十由q得0,对任意实数尸都满足的充要条件是:A=(4z+12kz)解得一工之。,-4(19fr;)4ab+（2iJabc4S（昌+6+白）（+1-ca口fT7/座）可再故L=ioo.例12,对满足+y预选题）证明：易知xy=z=（屿耳t）（*+q整理得i工2。-并）.也1-x222t*V3事实上，-/?a-b+ct2ac+2yj2bc)=(4a/?+Bac+B/?c+165匕-c)abcB16aabb48&BB4-.)l41-H1Cl1,1.ibyfab2222tai)yaij-)=100.+z-1的正数xyzy求证-+-73.(32届IMO1

13、*1尸12曲时，等号成立.待定系数/,使得一也一/X3-,31-x220,显然成立.8/81-X22.13）同理Hlj/_1；=_11-y122V3/1-z!2三式相加得，4+4十36x1V1z12注1:本题也可尝试基于去掉分母的待定系数法：待定系数为/使得XX十座引1+町+#+叫X）anjq（i+i-xL1一满足一匚r=a1肛1+X）=#Mfl-M），其中,2）同工1、_z，213j/）,#一口一4=3（妁户，旦1-x3-91八91.9解信，237a23-如2X937329口门*3&：7+一乂一一品一之一X,即-1-x2221-X2let3，、z3v3-.同理，1-y21-z2一，、*Y二式相加行，.父1V1z12注2:完全相同的步骤可以解答数学通用2002.12设“且/”+J=1,求一丁一,二相关题1.（2003年西部奥林匹克题）设力27tzp=,邓:,2S心数学问题1403:ZV最小值.%5jyn_=十、七V1且乙1廿一，求正:乙石,.1+,=14+x8为正实数,匚二工，则问题转化为:1311,1.541+x5相关题2.（中学生数学2006年增刊-帮你参加全