38-1反常积分ppt课件

1、5 5 反常积分反常积分 Improper Intergrals011ln111 xdxxJ 书上书上 P.187 有一个思索题：有一个思索题：答案是答案是错错,缘由是缘由是:的的在在1, 11)( xxf不不满满足足可可但有同窗产生疑问但有同窗产生疑问 为什么奇函数在对称区间的正负为什么奇函数在对称区间的正负 面积面积不能正好抵消呢？不能正好抵消呢？0 x点处有一个无穷延续点，点处有一个无穷延续点，积的必要条件。积的必要条件。请看请看等分，等分，将区间将区间n21, 1 0,1n 在在,1nk 取取,11, 02nnk 上上取取在在,nkk ,nkk 于是，相应的积分和为：于是，相应的积分和

2、为：knkkxf 21)( nnnn112 nknnk1)(2 nknnk12 ,1 n)( n然后在其它然后在其它 111dxx是发散的广义积分是发散的广义积分.22 n个区间上取个区间上取因发现因发现 所示的所示的“面积存在面积存在.(如图如图)dxxx 12ln5 5 反常积分反常积分 (Improper Integrals)(Improper Integrals)l 这一节的义务是将Riemann意义下的l 积分的概念加以推行,从以下两个方面:1. 积分区域：积分区域：), aba推推广广从从, ,(b ).,( bdxxx12lndxxxbxxb111ln1 )1(ln1 bxxd)

3、(, 1 b当当11lnbxxx l 须留意，这种推行须留意，这种推行l 不是随意的！如不是随意的！如dxxa 11但但ax12 , 2)1(2 a).0( a当当2. 某些无界函数在某些无界函数在 也可积：也可积：,ba,1)( xxf,0 x如如 , 01,2 xx，但但21111112 xdxx 矛盾产生于矛盾产生于,1, 02 xx当当 1xdx 1lnbx ,ln b)( b, 01112 dxx应应有有矛矛盾盾！上上无无界界。，在在 111)(2 xxf一、无穷区间上的反常积分一、无穷区间上的反常积分定义定义1无穷限广义积分无穷限广义积分,)(,baRxfab 若若,),)(上上广

4、广义义可可积积在在则则称称 axf adxxf)(:),上上的的广广义义积积分分为为 a;),)(上上的的广广义义积积分分收收敛敛在在此此时时也也称称 axf,)(lim存存在在且且 babdxxf在在并并记记)(xf.)(lim adxxf bbs 类似地,可定义另两种无穷限广义积分： bdxxf)( dxxf)(),(bac 例例1 02arctan1xxdx0 02 2 ),)( axf在在假设上述极限不存在，那么称假设上述极限不存在，那么称广义积分发散广义积分发散.)(lim bdxxf aa cdxxf)(lim aa.)(lim cdxxf bb 2)2(0arctan1002 x

5、xdx .)2(2arctan12 xxdx-4-2240.20.40.60.81211xy 2.有关的定积分的积分法、性质等仍可用。有关的定积分的积分法、性质等仍可用。例例2 讨论讨论 P-积分积分 的敛散性的敛散性. )0(1 pxdxp解解:1)1( p:1)2( p只是无穷限处取极限值而不是取函数值；只是无穷限处取极限值而不是取函数值；1.收敛的无穷限反常积分仍可用收敛的无穷限反常积分仍可用N-L公式公式, 1 xxdxln1 11111limbpbpxpxdx 发散；发散；无穷限无穷限P-积分积分重要结论重要结论.1,1:)0(1发发散散当当收收敛敛当当 pppxdxp例如例如.)1

6、0(,11发散发散 xdxxdx.),10(,11145收收敛敛而而 xdxxdx 111lim1 pbbp发发散散1 p 收收敛敛1 p11 p例例 3 求求. )0(0 为为常常数数pdxxepx解解 0dxxepx 00)(11pxdepxeppxpx 01001pxepp 01pxxdep21p 例例 4tx 1令令 /221cos1dxxxttd 02/cos 例例 5 52)1(xdx 22102)(secsec dttttxtan 令令 208228cos2cos ttdttd.12835 xdx11cos/2 201cos tdt2246813572 二、无界函数的反常积分二、

7、无界函数的反常积分定义定义2无界函数的广义积分无界函数的广义积分,)(, 0baRxf 若若,)(,上上广广义义可可积积在在则则称称无无界界函函数数存存在在baxf badxxf)(:,)(上上的的广广义义积积分分为为在在并并记记baxf设设 在在 附近无界附近无界( 称为奇点或瑕点称为奇点或瑕点)axf)(a badxxf )(lim0且且.)(lim bdxxf 0 a;,)(上上的的广广义义积积分分收收敛敛在在此此时时也也称称baxf)(,xf则则称称无无界界函函数数若若上上述述极极限限不不存存在在上上的的广广义义积积分分发发散散。在在,bas 类似地类似地 ,可定义可定义 为瑕点、任一

8、为瑕点、任一 b),(bac badxxf)(为瑕点处的反常积分：为瑕点处的反常积分：.)(lim adxxf 0 b badxxf)():()(lim),( orxfbaccxs 按定义，如今我们能很好地解释为什么按定义，如今我们能很好地解释为什么 不对。不对。2)1(11112 xxdx 110110222xdxxdxxdx21000120limlimxdxxdx adxxf)(lim 0 c.)(lim bdxxf 0 c )11(lim)11(lim00 1010)1(lim)1(lim xx -3-2-11230.511.522.521xy (看图看图) bccadxxfdxxf)(

9、)(1.收敛的无界函数的反常积分仍可用收敛的无界函数的反常积分仍可用 N-L为为奇奇点点：),(bac )()0(aFcF 公式公式,只是瑕点处取极限值而不是取函数值只是瑕点处取极限值而不是取函数值;),()0(aFbF baxFdxxfa)()(为奇点：为奇点：ab baxFdxxfb)()(为为奇奇点点：ba),0()( aFbF badxxf)().0()( cFbF例例 62. 无界函数的反常积分容易与常义积分混无界函数的反常积分容易与常义积分混 axadx022为瑕点为瑕点ax 00)(arcsinlim aax.202)(arcsin0 aax axadx0220lim淆淆, 因此

10、因此, 在计算在计算a,b上的定积分时上的定积分时,应先应先检查有没有瑕点检查有没有瑕点 ! 11)(1ppabp1 p例例 7 讨论无界函数的讨论无界函数的P-积分积分的的敛敛散散性性。)0,()( pbaaxdxbap解解;)ln(lim:1)1(0 babaaxaxdxp abpbappaxaxdxp1)(lim)(:1)2(10)(lim11110ppabp 无界函数无界函数 P-积分积分重要结论重要结论.1,1:)0()(发发散散当当收收敛敛当当 pppaxdxbap例如：例如：.)10(,1010 43收收敛敛 xdxxdx.)10()1(,)1(101103发发散散而而 xdxx

11、dx例例 8 计算计算):0(ln10瑕瑕点点 xdxxxdxxx 10ln44010 x10ln2xx其其中中xxxln2lim00 2/1lim22/30 xxx0lim40 xxdxxxxx 101012ln22/10lnlim2 xxx 0三、无穷限反常积分的审敛准那么三、无穷限反常积分的审敛准那么l用定义调查反常积分的敛散性显然比较烦用定义调查反常积分的敛散性显然比较烦l 琐，以下引见的假设干准那么，可以不琐，以下引见的假设干准那么，可以不用积分，用积分，l 而直接从被积函数的性态就能判别反常而直接从被积函数的性态就能判别反常积积定理定理 1比较准那么比较准那么1设设(1),)()(

12、 aCxgxf、(2),()(0),xgxfax 分的敛散性。分的敛散性。那么那么 收收敛敛，当当 adxxg)(;)(收收敛敛 adxxf 发发散散，当当 adxxf)(.)(发发散散 adxxg证证 下，都有下，都有在条件在条件因因)2(,ab ababadxxgdxxgdxxf)()()(，收收敛敛当当 adxxg)(,)()(上上有有界界说说明明 badxxfbF, 0)( xf又又因因的单调增加函数，的单调增加函数，是是故故bbF)(,)(lim存存在在 babdxxf根据单调有界有极限准那么，根据单调有界有极限准那么，收收敛敛。即即 adxxf)(的结论的结论,用反证法直接可从用反证法直接可从 得出。得出。例例9 判别积分的敛散性：判别积分的敛散性：)0(sin)1(22 adxxxa解解(1),1sin0