2.1全概率公式与贝叶斯公式ppt课件

1、西南财经大学天府学院1.5 1.5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式二、贝叶斯公式西南财经大学天府学院例例1 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红个红球球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率得红球的概率.解：记解：记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123一、全

2、概率公式一、全概率公式西南财经大学天府学院即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得运用加法公式得将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项对求和中的每一项运用乘法公式得运用乘法公式得31iiiABPAPBP)()()(代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15西南财经大学天府学院l 样本空间划分样本空间划分 l 1,nijiiA AA 1niiBA B1A2A3A4

3、A5A6ABl基本思想基本思想l 把复杂事件分解为互不相容的较简单事件之和，把复杂事件分解为互不相容的较简单事件之和， 通过分别计算这些较简单事件的概率，再利用概率的通过分别计算这些较简单事件的概率，再利用概率的可加性，得到复杂事件的概率。可加性，得到复杂事件的概率。西南财经大学天府学院定理定理1.1(全概率公式全概率公式)如果事件如果事件 构成一个完备事件组，而且构成一个完备事件组，而且 则对于任何一个事件则对于任何一个事件 ，有，有 ()0,1,2, ,iP AinB1( )() (|)niiiP BP A P B A(1.21)12,nAAA（1全概率公式中的事件组是完备事件组；全概率公

4、式中的事件组是完备事件组；（2该公式一般用于：所求事件的概率可能由某些原因引发，该公式一般用于：所求事件的概率可能由某些原因引发， 而这些原因又构成完备事件组；而这些原因又构成完备事件组；（3在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。注意：注意：西南财经大学天府学院1( )()iiP BP AB1( )() (|)iiiP BP A P B A乘法定理乘法定理证明关键：找完备事件组证明关键：找完备事件组 ，利用，利用概率的可加性及乘法公式概率的可加性及乘法公式 12,nAAA西南财经大学天府学院【例【例2】播种用的一等小麦种子中混有】播

5、种用的一等小麦种子中混有2%的二等种的二等种子，子，1.5%的三等种子，的三等种子，1%的四等种子。用一、二、的四等种子。用一、二、三、四等种子长出的穗含三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含，求这批种子所结的穗含50颗颗以上麦粒的概率？以上麦粒的概率？41( )( ) ( |)95.5% 0.5 2% 0.15 1.5% 0.1 1% 0.050.4825iiiP BP A P B A解：设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的解：设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是事件是A1、A2

6、、A3、A4，则它们构成样本空间的一个划，则它们构成样本空间的一个划分。设分。设B=“从这批种子中任选一颗，所结的穗含从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上颗以上麦粒麦粒”，那么：，那么：西南财经大学天府学院【例【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应其供应量为量为:甲厂家是乙厂家的甲厂家是乙厂家的2倍倍,乙乙.丙两个厂家相等丙两个厂家相等,且各且各厂产品的次品率为厂产品的次品率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率求市场上该种商品的次品率.解：设解：设Ai表示取到第表示取到第i 个工厂产品，个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到表示

7、取到次品次品, 由题意由题意 得得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 =0.02531( )() (|)iiiP BP A P B A由全概率公式得由全概率公式得:西南财经大学天府学院【例【例4】甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击】甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击三人击中的概率分别为中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被一人击中而击落机被一人击中而击落的概率为的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都若三人都击中击中, 飞机必定被击落飞

8、机必定被击落, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率. 设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)那么那么 B=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下:西南财经大学天府学院可求得可求得: 为求为求P(Ai ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.3123()()P AP H H H2123123123()(

9、)P AP H H HH H HH H H1123123123()()P AP H H HH H HH H H西南财经大学天府学院于是于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.西南财经大学天府学院【例【例5】设甲袋中有】设甲袋中有n只白球，只白球，m只红球，乙袋中有只红球，乙袋中有N只只白球，白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？再从乙袋

10、中取出一只，问取到白球的概率？BB) 1)()(111)|()()|()()(MNmnnNmnMNNnmmMNNnmnBApBpBApBpAp解：设解：设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋从甲袋中取一只白球放入乙袋”，那么那么=“从甲袋中取出一红球放入乙袋从甲袋中取出一红球放入乙袋”；B、为为的划分。又设的划分。又设A=“从乙袋取到一只白球从乙袋取到一只白球”,西南财经大学天府学院练习练习 10个乒乓球中有个乒乓球中有7个新球，第一次随机地取出个新球，第一次随机地取出2个，用完后个，用完后放放 回去，第二次又随机地取出回去，第二次又随机地取出2个，个， 问第二次取到几个新球的概率最大？问第二次取

11、到几个新球的概率最大？ 西南财经大学天府学院该球取自哪号箱的可能性该球取自哪号箱的可能性最大最大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球一球，发现是红球,求该球是求该球是取自取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:西南财经大学天府学院二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式 有三个箱子，分别

12、编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?西南财经大学天府学院)()()|(11BPBAPBAP记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球求求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一

13、般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?西南财经大学天府学院定理定理1.2(贝叶斯公式贝叶斯公式) 如果事件如果事件 构成一构成一个完备事件组，而且个完备事件组，而且 则对于则对于任何一个事件任何一个事件 ，假设，假设 ，有，有()0,1,2, ,iP Ain( )0P B B1() (|)(|)() (|)mmmniiiP AP B AP ABP A P B A12,nA AA(1.22)m=1,2,n 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找

14、导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. 西南财经大学天府学院注意注意:l先验概率：公式先验概率：公式1.22中，中，事件事件 看作是导致事看作是导致事件件B发生的发生的“因素因素”， 是是在事件在事件B已经出现这一信息得知已经出现这一信息得知前出现的概率，通常称为先验前出现的概率，通常称为先验概率。概率。lP(Aj|B)是在事件是在事件B发生的条件发生的条件下，某个原因下，某个原因Aj发生的概率，发生的概率，称为称为 后验概率；后验概率；Bayes公式又公式又称为后验概率公式或逆概公式，称为后验概率公式或逆概公式，用它进行的判断方法称为贝叶用它进行的判断方法称为贝叶斯决策。斯决策。(

15、)mP A12,nA AA即即1AnAB2A1( )P A2()P A()nP A先验概率(|)iP A B后验概率西南财经大学天府学院11131() (|)(|)0.4() (|)iiiP A P B AP A BP A P B A【例【例6】市场上某种商品由三个厂家同时供获】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为其供应量为: 甲甲厂家是乙厂家的厂家是乙厂家的2倍倍,乙乙,丙两个厂家相等丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率且各厂产品的次品率为为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率求市场上该种商品的次品率.(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂生产的概率

16、?解：解：(2)设设Ai表示取到第表示取到第i 个工厂产品，个工厂产品，i=1,2,3,B表示取表示取到次品到次品, 由题意得由题意得: P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25 P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由由Bayes公式得公式得:西南财经大学天府学院【例【例7】某一地区患有癌症的人占】某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试，患者对一种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是，正常人对这种试验反应是阳性的概率为阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，现抽查了一个人，试验反应

17、是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大问此人是癌症患者的概率有多大?那么那么 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. C求解如下求解如下: 设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).知知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04CC西南财经大学天府学院现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得由贝叶斯公式，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳

18、性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？西南财经大学天府学院 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0

19、.005 西南财经大学天府学院 试验结果为阳性试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人个人中大约只有中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再，此时医生常要通过再试验来确认试验来确认. 西南财经大学天府学院【例【例8】【二进信道】在数字通信中，由于随机干扰，因此接收】【二进信道】在数字通信中，由于随机干扰，因此接收到的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，

20、通常到的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常需要计算各种概率。若发报机以需要计算各种概率。若发报机以0.7和和0.3的概率发出信号的概率发出信号0和和1；当发出信号当发出信号0时，以概率时，以概率0.8和和0.2收到信号收到信号0和和1；同样地，当发；同样地，当发出信号出信号1时，接收机以概率时，接收机以概率0.9和和0.1收到信号收到信号1和和0。计算：当接。计算：当接收机收到信号收机收到信号0时，发报机是发出信号时，发报机是发出信号0的概率？的概率？ 解：记：A0=“发报机发出信号0”， A1=“发报机发出信号1”，B =“接收机收到信号0”。易知 949. 059. 056. 01 . 03 . 08 . 07 . 08 . 07 . 0)|()()|()()|()()|(1100000ABpApABpApABpApBAp1 . 0)|(, 8 . 0)|(3 . 0)(, 7 . 0)(1010ABpABpApAp00118 . 00.20.90.1西南财经大学天府学院【例