数学期望的计算及应用

1、数学期望的计算及应用数学与应用数学111第四小组引言：我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：cO1.从定义入手，即E(X)=£XkPk;2.应用随机变量函数的期望公式k1ooE(q(x)=£q(Xk)Pk3.利用期望的有关性质。但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将k1介绍一些解决这些难题的简单方法。在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后

2、，将数学期望应用到现实生活中。就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。1.变量分解法1如果可以把不易求得的随机变量X分解成若干个随机变量之和，应用E(X1+E2+.En)=E(X1+E(Xz)+.E(Xn)再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。例题1:从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X表示停车次

3、数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析：汽车沿途10站的停车次数X所以可能取值为0,1,.,10,如果先求出X的分布列，再由定义计算E(X),则需要分别计算X=0,X=1,，X=10等事件的概率，计算相当麻烦。注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0,1对应起来，映入随机变量Xi每一种结果的概率较易求得。把X分解成若干个随机变量Xi之和，然后应用公式E(X1+E2+.En)=E(X1)+E(X2)+.E(Xn)就能最终求出E(X)。解：引进随机变量第i站有人下车1Xj=%i=1,2,3,4、U第i站没有人下车则X=XiX2.X10.i站不下车的概率为站

4、有人下车的概率为9根据题意，任一旅客在第209概率为1,在第i<10j20PXi=1=1_一10，E(Xi)=1-一,因此20位旅客在第i站都不下车的1020201 -I。即PXi=0=fI,101020一，其中i=1,2,3,10,从而102 /兽0、_.一.一.9、E(X)=E(X+X2+.X10)=101I之8.784,也就是说平均要停车近次。但是并不是每个问题都可以拆分开来，甚至有些问题是需要有每一种情况总结到总的问题来解决。也就是把所求数学期望E(X)作为序列E1,E2,，Ek中的一般项,根据实际意义导出Ek的递推关系式，然后发掘出蕴藏着的初始条件，最终求出E(X)O这是求数学

5、期望的方法我们叫做建立递推关系法。2.建立递推关系法1例题2：设一个实验有m个等可能的结局。求至少一个结局接连发生k次的独立是啊一年的次数。分析：显然独立实验的次数X的随机变量，X的所有可能的取值为k,k+1,如果把“至少一个结局接连发生k次”这一事件所需要的实验次数k,k+1,，的概率一一写出，然后相应求出X=k,k+1的概率，那是相当困难的。于是可以考虑构建关于Ek的递推关系式。解：设Ek是“至少一个结局接连发生k次”(记此事件为AJ所需的试验次数的期望，则Ek表示至少一个结局接连发生k-1、次,(记此事件为人工)所需试验次数的期望。而事件A与人<之间有这样的关系：在Ak.发生的条件

6、下，或者继续试验一次，同一结局又发生一、一一1，、，一了，这样便导致Ak的发生，其概率为一；或者继续试验一次，这个结局没有发生（其概率m、，1.一为1-）,而另外的结局发生了，这样要使Ak发生，等于从头开始，它的期望次数是Ek。m根据这种分析，得Ek=Ek+1*1+1-2Ek,即Ek=mEkjt+1。mImJ注意到E1=1,故由递推关系式（1）,最后求得数学期望一k2k.1m-1Ek=1mm.mm-1条件数学期望是概率论中最重要的概念之一，期望是条件期望的特例，概率也是条件期望的特例，因此，通过对某类随机现象的适当的条件化处理，应用全期望公式，可以给出计算数学期望和计算概率更简洁的方法。设产磔

7、二维随机向量，E;存在，则有EE（U尸=E：,这就是我们接下来要说的全期望公式法。3全期望公式法22小时后他例题3:一名矿工陷入一个有三扇门的矿井中，第一扇门通过一个隧道，走可到达安全区；第二扇门通到另一个隧道,走3个小时后使他回到矿井中;第三扇门通到有一个隧道，走5个小时后使他回到矿井中。嘉定这位矿工总是等可能地选择三扇门中的一扇门中走，试求他达到安全区所需的平均时间。解：设T表示到达安全区所需时间,T是一个随机变量，E表示最初选择门的编号,按题设有P=i，i=1,2,3.3T=2,当J1,3+T1当2=2,5+T1当亡=3,其中T1为返回原处时算起至走到安全区所需的时间。由题设知道返回原处

8、后在此选择门的概率分布不变。故ETi|=2=ET2|=ET,于是ET=EET|=ET|=1P=1ET|=2P=2et|=3p=3=1 .1ET|=1ET=2ET|=3=2E3|=2E5T|=3=3 31-2352ET由此，可得ET=10小时。4.连续型随机变量数学期望的简易公式法3我们知道数学期望有离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，还有既非离散型又非连续型随机变量的数学期望，这里我们介绍连续型随机能力的数学期望。若连续型随机变量的密度函数为f(x),如果Q|x|f(x)dx收敛，积分J/Xf(x)dx为随机变量之的数学期望，相反，如果的分布函数F(X)，求数学期望EZ需要先求

9、出密度函数f(x)，计算过程会比较复杂，这里介绍一个简易的连续型随机变量的数学期望。定理若连续型的随机变量1的分布函数为F(X)且数学期望E：存在，则-.50er=J01F(XdxF(Xdx.证明(|x|f(xdx存在，则fJx|Ffxjc30,于是:x-j-二二lim|xFx|=lim|xdFy<lim_ydFy<limy|dFy|=0'xj-二一-xJ-二一一.xI.一0三limx1-FX=limxdFy三limydFy=0x.x、-：xx、-：xlimxFx=limx1-Fx=0二0F'.T000E：-J-xdFx)=HxdFx0xdFx)=J-xdFx-0x

10、d1-Fx=xFx|.Fxdx-x1-F(x/+广1-F(x】dx由(1)式得.,d0E=1-FXdx-FXdx,0一："例题4已知连续型的随机变量亡的分布函数为F(X)=exx<0,求E：21x=1e_x_02-二,V01V二1701V解E=1_1_-2edx-e/dx=-e'一一e"dx=0-0-202-25.结合随机微分方程求数学期望r,T、rtdt例题5求证Ee"f(St)|St=S4成立，其中St代表t时刻标的资产的价格，n是I)即期无风险利率，f(ST)是欧式未定权益的到期收益。1973年，Black和Scholes利用无套利原理给出了著

11、名的期权定价公式5,促进了金融属性领域的快速发展。由现代金融数学理论，欧式未定权益的价值最终归结为在风险中性下的数学期望产_rtdt'、Ee-f(ST)|St=SIJ记v(t,S)=EP(e(TLMSTK)+|St=S,其中r,K为常数，St满足随机微分方程dSt=rStdt二StdBt,PBt为风险中性概率测度P下的标准布朗运动。E表示在测度P的条件期望算子，ST-K=maxST-K,0，这个期望在金融中代表标准视频看涨期权的价值。v(t,SHEPQ/lXe'-K广|&=S)leex-Kexp-x-lnSr-02/2T-t2dxdxeIex-K)j1exp.2：T-t

12、二x-lnSr-二2/2T-t22。2T-t2T-t二lnKe'次瓦x-lnSr-二2/2T-t22。2T-1dx-Ke二、2二T-t二-beexp.InKx-InSr-2/2T-t_2_2二T-t2-dx对第一个式子进行配方，对第二个式子作变换2x-InS=r-c2/2T-t二T-t，并记diInS/Kr02/2T-t二，T-t，d2=_2_InS/Kr-0/2T-t-di-HeVt，S，nK,Leexp-2二T-t二x-InSrc2/2T-1222:2T-1lnSrT-tdx-,LeT2K：-,d2.2二y22dy二S：1edx-e2tk二-,d1 edy2 二d11-2=S1e2

13、-.2-：dx-efKd2-=e-2dy-2=SNd1-Ke,T_tNd2,1x其中N仅）=e2dy为标准正态累积分布函数。2二-二小结：数学期望的计算在概率论中占据着很重要的位置，我们可以发现不同的数学条件需要用不同的方法来解决问题。下面我们就来看看，数学期望可以应用在那些领域，哪些方面。从中去领会数学期望的重要性和必要性。二.数学期望的应用61 .数学期望与方差在农作物决策问题中的应用在农业生产当中，选种优良农作物品种是取得丰产的前提，人们通过在某一一特定的区域分别种两种或两种以上品种，经过连续几年的实验.统计有关数据应用概率中的数学期望与方差的思想确定产量稳定的品种即优良品种.以下我们看

14、两个关于选小麦种和水稻种的例子：例题6:甲乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下:（单位：吨/平方千米）品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.39.8解（1）先求出甲乙两种小麦产量的期望值:1,x甲=-9.89.910.11010,2)=10.051 ,、x乙=-9.410.310.89.79,8）=10.05可得出甲乙两种小麦产量的期望值相等.（2）求出甲乙两种小麦产量的方差2 1_222_2_群0,20.10.10,2=0.0253 1=2_22_2_2S2=0,620.320.820.320,22=0.1245从而可确

15、定小麦品种甲产量比较稳定.72、用数学期望的方法来调整刀具尺寸除了农业，现实中经常要用到的刀具也需要利用数学期望来解决问题。下面就让我们来了解一下数学期望在这方面的应用。需知一批零件之间，首先要调整好刀具或砂轮的尺寸，在只考虑刀具调整尺寸（单因素）引起的误差日十，一般可按公差带的中心尺寸来调整，但这样调整使得可修复的疵品与不可修复的废品出现的概率相等。由于可修复品与废品的损失是不同的（通常后者要远大于前者）。为此，我们可以根据可修复品与废品损失的不同值用数学期望的方法来找出最佳p值获得最大利润率：例如，在链床上用键，J来链削一批工件，其合格尺寸范围为pq,每牛产销售个合格产品的收人为n元，而生

16、产一个大于口的产品损失为s元，生产一个小于p的产品损失为m元，这样生产一个零件的利润a(x)与直径的关系如下:mX:二pa(X)=np<X<q-sX>qX的概率密度为:11x-12f(x)="exp-L)a(X)的数学期望为:-sf(x)dxEa(X)-_-mf(x)dxpnf(x)dxq-nPp:二X二q-mRX二p-sPXqnq2)-(-p2)-m(-p)-s1-(q2)CTCTaCT.q-p-二(ns)()Tnm)()7crcr其中是*(x)标准正态分布函数，设V(x)为标准正态分布函数，为求的Ea(X)的极值点,将关于卜求导，得：典(nqj(nm尸(Jd：；

17、-一dEa(X)-0d(ns)(q-L)21(nm)(p-)2,exp2exp-'=2=0二2二2。八2二2二_2.一222二ln(ns)-ln(nm)p-q2(p-q)即当N等于上述值时，Ea(X)的值最大，即利润最大。3.数学期望在民事纠纷中的应用在民事纠纷案件中如果受害人将案件提交法院诉讼，他(她)除了要考虑胜诉的可能性外还要考虑诉讼费用的负担。理性的当事人往往通过私下协商赔偿费用而趋于和解，免于起诉。在一个典型的交通事故案件中司机(致害人)开车撞伤了受害人，使受害人遭受了10万元的经济损失。假若将案件提交诉讼，诉讼费用共需要0.4万元并按所负责任的比例由双方承担。从事故发生的情

18、形分析，法院对事故判决可能有三种情况：(一)致害人应承担100%的责任，要向受害人赔偿10万元的损失费用，并支付全部0.4万元的诉讼费；(二)致害人应承担70%的责任，要向受害人赔偿7万元的损失费用，并支付0.4万元诉讼费的70%,诉讼费另外的30%由受害人支付；(三)致害人应承担50%的责任，要向受害人赔偿5万元的损失费用，0.4万元的诉讼费由双方各负担一半。受害人估计三种情况发生的概率分别为0.2、0.6和0.2,如果致害人希望私下和解而免于起诉，8他应至少给受害人多少数额的赔偿费，才会使受害人从经济收益上考虑而趋于和解？解：设受害人上诉时可获得的收益为",其分布为：107+0.4>0.35+0.4>0.5p0.20.60.2则受害人上诉时可获得的期望收益为：E=100.2(70.40.3)0.6(50.40.5)0.2=7.96(万元)因此致害人至少应给受害人7.96万元的赔偿费，才会使受害人从经济收益上考虑趋于和解。参考文献：1 刘崇林.J.数学教学研究，2009,28(5):51-53.2 朱福国.J.高等数学研究Vol.13,No.4Jul.2