2.1一阶线性微分方程ppt课件

1、四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 200612.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程First Order Linear Equations四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006一、线性方程一、线性方程四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 200610( )( )( )a xadyydxf xx标准形式：标准形式：( )( )P xdyyxQ xd( )0Q x 对应齐次线性方程：对应齐次线性方程：( )0ddPyx yx自由项自由项一次幂一次幂四川大

2、学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006线性方程的例子：线性方程的例子：sindyyxxdx22yxxy非线性方程：非线性方程：2sindyyxdx2xyxyy四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )0ddPyx yx可分离变量可分离变量( )( )P xdyyxQ xd对应齐次线性方程：对应齐次线性方程：四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )0ddPyx yx分离变量：分离变量：1( )dyP x dxy 积分：积分：1( )dyP x

3、 dxy ln y( )P x dx lnC取消对数：取消对数：y( )P x dxeC对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解( )dyP x ydx 四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )P x dxyCe现求原方程现求原方程( )( )P xdyyxQ xd的通解的通解令原方程的通解为：令原方程的通解为：( )( )P x dxyeC x其中其中 C(x) 为待定函数。为待定函数。四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )( )P x dxyeC x求导：求导：y( )( )P x

4、 dxC x e( )( )P x dxeC x( )( )P x dxC x e( )()(P x dxeP x dxC x( )( )P x dxC x e( )( )( )P x dxP xeC x( )( )P x dxC x e( )P x y四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )( )(P x dxPyyCexx( )( )P x dxeyC x( )( )P xdyyxQ xd代入原方程：代入原方程：( )Pdydxxy( )( )( )P x dxeyC xP x( )yP x( )Q x( )( )P x dxx eC

5、( )Q x( )C x( )( )P x dxQ x e四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )C x( )( )P x dxQ x e( )C x( )( )P x dxQ x edxC原方程的通解：原方程的通解：( )( )P x dxyeC x( )( )( )P x dxP x dxeQ x edxC( )( )P x dxyeC x四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )( )( )()dxdxP xP xyexx eCQd( )P xdyyxQ xd一阶线性方程一阶线性

6、方程的通解：的通解：以上求一阶线性微分方程的通解的方法称以上求一阶线性微分方程的通解的方法称为常数变易法为常数变易法它是求解线性齐次微分方程的一种方法它是求解线性齐次微分方程的一种方法( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC一阶线性方程的解的结构一阶线性方程的解的结构( )P x dxyCe( )( )( )P x dxP x dxeQ x edx对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解原方程的一个特解原方程的一个特解*yyy

7、四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006例例 1解方程：解方程：72(1)2(1)xyyx解解这是一个线性方程这是一个线性方程标准形式标准形式:通解通解:211522(1)()dxdxxxyexedxC5221(1)xyyx四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006通解通解:211522(1)()dxdxxxyexedxC522211()1)dxdxxxeedxxC2ln(1)xe2ln(1)52()(1)xedxxC2(1)x5221()(1)(1dxCxx四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006通解通解:2(1)yx5221()(1)(1dxCxx212() ()1(1xdxCx3222(1)(1)3xxC四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Rev