高等数学 导数习题答案

1、2021.12.11例例 1. 设设求求21 sin , 0( ) 0 , 0 .xxf xxx 假假设设因此，因此，解：解：( ) .fx0 , x 而而 0( )(0)(0)limxf xffx 2 0sin(1)limxxxx 0 . 思考：思考： (0) = ?f 0lim( )xfx 是否存在？是否存在？导函数的单侧极限导函数的单侧极限与与单侧导数单侧导数不是同一概念。不是同一概念。那那么么).1cos()1sin(2)( xxxxf . 0 0, 0 ),1cos()1sin(2 )( xxxxxxf例例 2. 设设 ,) 2( ) 1( ) 4( ) 3( )( xxxxxxf求

2、求解：解： 3d , ( ) .xffx 3( )(3)(3)lim3xf xffx 3( )lim3xf xx )2( ) 1( 4lim3 xxxxx.61 .d 61| d3xfx | 2|ln| 1|ln|ln| 4|ln| 3|ln| )(|ln xxxxxxf上式两边同时求导得上式两边同时求导得 211114131 )()( xxxxxxfxf . 211114131)()( xxxxxxfxf例例 3. 设设且在某且在某(1)6 , (1)2 , fg 解：解：( ) g x(1, )U 内内单调，单调，求求 1( )(1)lim. ( )(1)xf xfg xg 1 1( )(

3、1)( )(1)1limlim( )(1)( )(1)1xxf xff xfxg xgg xgx 1 1( )(1)lim1( )(1)lim1xxf xfxg xgx (1)(1)fg 3. 例例 4. 设设( )f x解：解：求求 ( ) ( ) ( ) ( )limxax f ax f xx f xa f xIx a ( )( ). a faf a ( ) ( )( ) ()limxax f af xf xx ax a ( ) ( )limlim( ) xaxax f af xf xx a 在在xa 可导，可导，.)( )( lim axxfaafxIax 练练 1. 设设求求( ) |

4、 | , f xx x 假假设设因此，因此，解：解：( ) .fx0 , x ( )2 ; fxx 而而 0 ( )(0)(0)limxf xffx 2 0 limxxx 0 . 2 , 0( ) 2 , 0 xxfxxx 那那么么假假设设0 , x ( )2 ; fxx 那那么么 0 ( )(0)(0)limxf xffx 2 0 limxxx 0 . 2 | | . x 设设( ) |sin | sin , g xxx ( )? g x 2 |sin |cos . xx 设设可导可导, 求求2( ) sin () , g xf x 解：解：( ) .g x例例 5. ( )f x22( )

5、cos () ()(2 ) g xf xfxx 222 cos () () . xf xfx 例例 6. 设设求求2 1 cos , xtyt 解：解： 22d .d yx记记而而故故.2sind 2d sin ddttttttxy ,2sin)(tttg ,d)( d dd22xtgxy ,d 2sincos)( d2ttttttg .4cossind)( d dd322ttttxtgxy 例例 7. 曲线曲线( )yf x 解：解：求求由方程由方程2cos()1x yexye 确定，确定，在点在点(0,1)的切线方程。的切线方程。方程两边对方程两边对 x 求导得求导得2( 2) sin()

6、(1)0.x yeyxyy 令令 x = 0 得得 (0) 20 , e y 即即(0)2.y 所求切线方程为所求切线方程为1 2 .yx 练练 2. 函数函数( )yf x 答：答：求求由方程由方程 2x yxy 确定，确定， 0d .xf 0d = ( ln2 1 ) d .xfx 设设求求解：解：例例 8. , 1)(2xxxf . )0()(nf)(1 112nnxoxxxx 112x )(xf .12 , 1 2 , 0 ! )0()( knknnfn .12 , ! 2 , 0 ) 0()( knnknfn)(12242nnxoxxx )(121253 nnxoxxxx设设求求解：

7、解：练练 3. , )(25xexxf . )0()11(f)(! ! 21 2nnxxonxxxe )(! ! 2 )(5252975 nnxonxxxxxf)(! ! 21 22422nnxxonxxxe .! 311! )0()11( f练练 4. 设设是是)(xf) , ( 内具有任意阶导数的奇函数，内具有任意阶导数的奇函数，求求解：解：故故)()2(xfn也是奇函数。也是奇函数。 , )0()2( nf其中其中. Zn是奇函数，是奇函数，)(xf因此因此. 0)0()2( nf奇函数的麦克劳林公式没有偶次幂项。奇函数的麦克劳林公式没有偶次幂项。偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。偶函数

8、的麦克劳林公式没有奇次幂项。例例 9. 函数函数在在 1ln)( exxxf) , 0( 内零点的个内零点的个数为？数为？解：解：.11)( exxf 令令 0)( xf得得 . ex 当当 0ex 时时 , 0)( xf当当 ex 时时 , 0)( xf而而 ,)( lim0 xfx因此零点个数为因此零点个数为 2. , 1)( ef , 04)( 23 eef练练 5. 设设那那么么( ) (1) (2) (3) (4) , f xx xxxx 解：解： )( xf共有几共有几个零点？个零点？根据罗尔定理，根据罗尔定理， )( xf至少有至少有 4 个零点，个零点， 分别在区间分别在区间)

9、4 , 3( ),3 , 2( ),2 , 1 ( ),1 , 0(内。内。 )( xf是是 4 次多项式，次多项式，零点不超过零点不超过 4 个，个，因此其零点共有因此其零点共有 4 个。个。例例 10. 求求.)sin( lim210 xxxxI 解：解：.61 )sinln()1(0 2limxxxxeI )sinln()1(lim20 xxxxe sincossin21lim20 xxxxxxxx 30 2sincoslimxxxxx 333220 2)(6)(21limxxoxxxoxxx 20 )sinln(limxxxx而而故故.61 eI练练 6. 求求. )1cos()2(s

10、in lim xxxxI 解：解：)1cos()2sin(ln limxxxxeI 故故.2eI )1cos()2sin(lnlim xxxxe 而而 )1cos()2sin(lnlim xxxx cos)2lnsin(lim0 tttt cos)2sin(sin)2cos(2lim0 ttttt . 2 例例 11. 设设 )( lim0 xfx解：解：),(lim2111)(0 xfexxfxx 存在，且有存在，且有求求 . )( lim0 xfx设设 , )( lim0 Axfx ,2)111(lim0 AexAxx 则则 )111(lim0 xxexA )1( 1lim0 xxxexx

11、e 1lim20 xxexx 21lim0 xexx . 21 另附假设干根本计算与证明答案后附另附假设干根本计算与证明答案后附练练 1. 讨论讨论 ) 1( 2 )(23 xxxf的单调性、极值、凹凸性、拐的单调性、极值、凹凸性、拐点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。练练 2. 求求xxxf 1 )(在在1 , 5 上的最值。上的最值。练练 3. 求数列求数列nn的最大项。的最大项。练练 4. a取何值时取何值时在在xxaxf3sin31sin )( 3 x取得极值？取得极值？是极大值还是极小值？是极大值还是极小值？练练 5. 求以下极限求以下极限 2

12、cot lim )1(0 xxx )1( lim )3()(1sin1 xxxx lim )4( sin0 xxx )cot 1( lim )2(220 xxx 1 lim )6(2 xxx sin1 lim )5(630 3xxexx 练练 6. 设设)(xf可导，证明在可导，证明在)(xf的两个零点之间必有的两个零点之间必有)( )(xfxxf 的零点。的零点。练练 7. 设设)(xf在在1 , 1 上具有三阶连续导数，且上具有三阶连续导数，且. 0)0( , 1)1( , 0 1)( fff证明存在证明存在)1 , 1( 使得使得. 3)( f练练 8. 假假设设)(xf在开区间在开区间

13、 I 内连续内连续, 且有唯一的极值点，且有唯一的极值点，那么该极值点必是最值点。那么该极值点必是最值点。练练 1. 讨论讨论 ) 1( 2 )(23 xxxf的单调性、极值、凹凸性、拐的单调性、极值、凹凸性、拐点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。 极大极大值值非极非极值值 ff f)3 ,( 3 ) 1 , 3( )0 , 1( 0 ) , 0( 000 ; 1 为为垂垂直直渐渐近近线线 x . 12为为斜斜渐渐近近线线 xy . 0) , 0(为为拐拐点点. 827)3( f极极大大值值练练 2. 求求xxxf 1 )(在在1 , 5 上的最值。上的

14、最值。解解: , 012112)( xxxf令令 . 43 x解解得得 , 565)( f , 1) 1 ( f , 45)43( f 45)43( 1 5, )(和和最最小小值值上上有有最最大大值值在在 fxf . 565)( f练练 3. 求数列求数列nn的最大项。的最大项。解解: . )0( , 1 xxyx令令 . ln1 ln xxy . ln1 21exxxxyx 及及驻驻点点由由此此得得 . , 0 ; , 0 递递减减时时递递增增时时yyexyyex . 3 2 3是是可可能能的的最最大大项项和和因因此此 ; 8 )2( 6 而而 , 9)3(63 . 3 3是是最最大大项项因

15、因此此练练 4. a取何值时取何值时在在xxaxf3sin31sin )( 3 x取得极值？取得极值？是极大值还是极小值？是极大值还是极小值？解解: , ) , ( )(内内可可导导在在 xf . 3cos cos )( xxaxf , 012 cos3cos)3( , aaf 由由已已知知 解得解得 . 2 a , 3sin3 sin 2 )( xxxf , 0 3sin33 sin 2 )3( f 因此因此 . )3(是是极极大大值值 f练练 5 答案答案. 21 2cot lim )1(0 xxx1)(1sin1 e )1( lim )3( xxxx1 lim )4( sin0 xxx3

16、2 )cot 1( lim )2(220 xxx1 1 lim )6(2 xxx21 sin1 lim )5(630 3 xxexx练练 6. 提示：令提示：令, )( )(xfxxF 后证有后证有 使得使得 . 0)( F练练 7. 312)01(! 3)( )01(! 2)0( )01)(0( )0( 1)( fffff,! 3)( ! 2)0( )0( 1 fff ).0 , 1(1 322)01(! 3)( )01(! 2)0( )01)(0( )0( (1) fffff,! 3)( ! 2)0( )0( 2 fff ).1 , 0(2 , 1! 3)( )( )1()1(21 fff

17、f, 32)( )( 21 ff即即使使得得因因此此存存在在连连续续 ),( , )( 21 xf.2)( )( )(21 fff )( 内内连连续续在在区区间间若若Ixf证：证： , 且且有有唯唯一一的的极极值值点点 则则 . 该该点点也也是是最最值值点点0 x1x xxy )( 内内有有唯唯一一的的极极在在不不妨妨设设Ixf . 0 x大大值值点点 , 0不不是是最最大大值值点点假假设设 x ).()( 011xfxfIx 使使得得则则存存在在 , 0是是极极大大值值点点x , ),( 0 xU故故存存在在 . )( )(0 xfxf , ),( 0 xUx 即即 . 01xx 不不妨妨设

18、设 , ),( 0时时当当 xUx . ) ( )( 0 xfxf 使使得得 , , )( 10 xxC xf 因因 xf在在故故 )( . , 10mxx 上上有有最最小小值值 . )( , )( 10 xfmxfm 可知可知 . )( ) , (10mfxx 使使得得于于是是存存在在 . 为为极极小小值值点点即即 . 0内内唯唯一一极极值值点点矛矛盾盾是是这这与与Ix练练 8. 关于泰勒公式的说明：关于泰勒公式的说明： 带皮亚诺余项的泰勒公式带皮亚诺余项的泰勒公式一般用于考虑一般用于考虑0 xx 时的某些极限。时的某些极限。带拉格朗日余项的泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式一般用于误差分析或

19、理论推导。一般用于误差分析或理论推导。 依赖于依赖于 x . 200000)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo 200000)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(00)(10)1()()!1()( nnxxnf 关于泰勒公式的说明：关于泰勒公式的说明： 202010)()()(xxaxxaaxf nnxxa)(0)(0nxxo ). , , 2 , 1(nk ,!)(0)(kxfakk 那么必然那么必然有有 ),(00 xfa 且经某些条件可得且经某些条件可得如果如果在在)(xf0 x有直到有直到n阶导数，阶导数，这使得我们可以通过一些间接手段得到这使得我们可以通过一些间接手段得到)(xf的泰勒公式。的泰勒公式。例例. 求求 )(xexxf 的带皮