数学物理方法第十章ppt课件

1、0u 2222222111()(sin)0sinsinuuurrrrrr 偏微分方程偏微分方程常微分方程组常微分方程组分别变量分别变量 本征值问题本征值问题广义傅立叶级数广义傅立叶级数勒让德多项式勒让德多项式贝塞耳函数贝塞耳函数特殊函数特殊函数特殊函数特殊函数勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、超几何，合流超几何等函数。超几何，合流超几何等函数。2普通的球函数普通的球函数球函数方程：球函数方程：22211sin10sinsinYYl lY球函数球函数l 称作球函数的阶：称作球函数的阶：sin0,1,2,

2、cos, cos0,1,2,mmllmmlYPml 10.1 10.1 轴对称球函数轴对称球函数ddxxl ldxdx222(1)2(1)0 1sin10sinl l cosx 2 1sinsin()xxxx 30u2()(1)0r Rl lR (sin)(1)sin0(0),()l l 有有界界2(1)(1)0( 1)xl l 有有界界cosx|()rauf 1llllRArBr ()lPx 0( )(cos )llluR r P 0( )( )(cos )lllfR a P 轴对称拉普拉轴对称拉普拉斯方程的求解斯方程的求解4ddxxl ldxdx222(1)2(1)0 一勒让德多项式一勒让

3、德多项式1x 处有限处有限0,1, 2,l 2(1)(1)()(1)(2)(1)(2)(1)kkkk kl lkl klaaakkkk 2(1)2(21)lll laal2kl 2122 21 2ll llll()()!()( !)1 1代数表示代数表示那么对那么对1(22)!( 1)2 (1)!(2)!llll 2(2 )!2 ( !)lllal商定最高次幂系数商定最高次幂系数1(2 )!2(21) 2(1)!(2)!llllll 24223232214 232 2 23 212()()()()()!()()!()()!()!llllllllaallll 22412 224()!()!()!

4、()!llll 222122()!()!()!()!klkllkaklklk 2211kkkkaaklkl ()()()()5222122()!()!()!()!klkllkaklklk 22022122 / ()!( )()!()!()!lklkllklkP xxklklk勒让德多项式：勒让德多项式：2 / l ：小于、等于：小于、等于l /2的最大整数。的最大整数。2100( )nP每项总含每项总含 x x222012()!( )()!nnnnPnn 独一不含独一不含 x 的项的项2lk6)92cos204cos35() 33035()()cos33cos5()35()() 12cos3(

5、) 13()(cos)(1)(6412481481321341221210 xxxPxxxPxxPxxPxP7勒让德多项式的图象勒让德多项式的图象012122( )1( )( )(31)P xP xxP xx -1-0.50.51-1-0.50.510.511.522.53-1-0.50.5111( ),()lP xx 0(cos ),()lP 80121223132( )1( )( )(31)( )(53 )P xP xxP xxP xxx (2) (2) 微分表示罗德里格斯公式微分表示罗德里格斯公式222012211222 / ()!( )()()!()! !()!lllklkllllkd

6、lkP xxxl dxlkklk证：证：220111122()!()()()! !llkl kllklxxlkkll20112()()()! !lkl klkxlkk220111122()()()!()! !llllklkllllkddxxl dxdxlkk /220(22 )(221)(21)( 1)2 ()! !lklklklklklkxlkk 22022122lklklklkxlkklk / ()!()()! !()!22/2lklkl9(3) (3) 积分表示施列夫积分积分表示施列夫积分221111(1)( )(1)2 !22()llllllllCdzP xxdzl dxizx 由科西

7、公式由科西公式C 绕绕 z=x 点。点。设半径为设半径为x21 C 上上21izxx e21idzix e d 22221211111111122221lililllCilzxx edzix e dizxix e ()()()()222221211122 1iilixxx exedx e ()21122iileexxd 2011lxixd cos11lP( )11llP ()()2112lxixd sin102011llP xxixd ( )cosx cos01llP xid ( )cossincos01llP xid ( )cossincos222201ld /cossincos22201l

8、d /cossin011d 即即1lP x ( )第二类勒让德函数第二类勒让德函数222(1)2(1)0d ydyxxl lydxdx勒让德方程的普通解勒让德方程的普通解12( )( )( )lly xC P xC Q x由朗斯基行列式导出第二个线性独立解由朗斯基行列式导出第二个线性独立解( )2121( )p z dzedzz 2212( )( )( )xdxxllleQ xP xdxP x 112212221( )( )( )( )(1)( )xdxxllllleQ xP xdxP xdxP xxP x 0211111( )ln211211dxxQxdxxxxx 1122221111111

9、( )ln( )ln12121(1)1dxxxQxxxdxxP xxxxxxxx 在在x = 1处均发散处均发散222(1)2(1)0( 1)(1)- 有限， 有限d ydyxxv vydxdxyy本征值本征值 v =0, 1, 2, 3, 在在 x =0点邻域内，两个线性无关解点邻域内，两个线性无关解2210221201() ()222( )1(2 )!() ()221() (1)222( )1(21)!() (1)22 nnnnnnvvnny xxvvnvvnnyxxvvn12三三 正交关系正交关系1x ( )110klPx P x dx( )( )四四 模模1221llNP xdx( )

10、11222111112lllllllddddxxxdxldxdx()()() !kl222(1)2(1)0( 1)(1)- 有限， 有限d ydyxxv vydxdxyy习题习题9.35P261在在 x =1点邻域内，两个线性无关解点邻域内，两个线性无关解201(1)1( )()(1)2( !)nvnvnxP xvnn第一类勒让德函数第一类勒让德函数( )vQx第二类勒让德函数第二类勒让德函数12( )( )( )vvy xC P xC Qx 在在 x =1点解析点解析在在 x =1点发散点发散假设还要求在假设还要求在 x = -1点有界，点有界，本征值本征值 v =0, 1, 2, 3, 1

11、( )( )vy xC P x x = 1点有界点有界131221llNP xdx( )11222111112lllllllddddxxxdxldxdx()()() !1112221221111111112llllllllllllldddddxxdxxxdxldxdxdxdx() () () ()() !第一项为零，即第一项为零，即11221221111112lllllllldddNdxxxdxldxdx() ()()() !进展进展 l 次分步积分后次分步积分后1222222111112llllllldNdx xxldx() ()()()!只需最高次幂才不为零，故只需最高次幂才不为零，故12

12、22121112llllllNdx xxl()!()() ()( !)再逐次进展分步积分，得再逐次进展分步积分，得2221lNl即即221lNl14五广义傅立叶级数五广义傅立叶级数定义在区间定义在区间 -1,1的函数的函数f(x)可以展开为广义傅立叶级数可以展开为广义傅立叶级数 0lllf xf P x( )( ),展开系数为展开系数为11212lllff x P x dx( )( )或区间或区间 0, 的函数的函数 f()展开为展开为0lllff P ( )(cos ),系数为系数为0212lllffPd ( )(cos )sin勒让德多项式的完备性：恣意一个在区间勒让德多项式的完备性：恣意

13、一个在区间 -1,1中分段延续的中分段延续的函数函数f(x)，在平均收敛意义下，可展开为级数，在平均收敛意义下，可展开为级数0lllf xf P x( )( ),平均收敛：平均收敛：21010lim( )( )NllNlf xf P xdx151611()()0,()klPx Px dxkl 正交性正交性1212()()21lllPx Px dxNl 正交性运用例题正交性运用例题0,200,011112)()()(llllNdxxPxPdxxP1 ,32211 ,11111)()()(llllNdxxPxPdxxxP200,31222,3203123211211)()(NNdxPPPdxxPx

14、llll模模例例1： 在在-1,1中将中将 展开为广义傅立叶级数。展开为广义傅立叶级数。3234f xxx( )22022122lklkllklkP xxklklk / ()!( )()!()!()!解：解：比较比较展开式最多含三阶勒让德多项式。展开式最多含三阶勒让德多项式。01P x ( )1P xx( )221312P xx( )()331532P xxx( )()3234f xxx( )001 1223 3f Pf Pf Pf P23012311315322ff xfxfxx ()()233021233135() ()2222ffffxf xf x1621355f 04f 345f 31

15、332ff 013214( )4 ( )( )( )55f xP xP xP x20f 17例例2( )f xx)(xfx1121( )( )2lllff x P x dx0( )( ),lllf xf P x011021 ()( )( )2lllx P x dxxP x dx)()()()(2121001dxxPxxdxPxllldxxPxPxlll)()(21210是奇函数：是奇函数：21( )kPx210kf1220412( )2kkkfxPx dx122222041122kkkkkdxxdxkdx()(!)12121221220221210411122kkkkkkkkddxxxdxkd

16、xdx()()(!)22221022241122kkkkkdxkdx ()(!)x=1为二阶零点为二阶零点18222222212210202222011kkkkk nnnkkknddxCxdxdx()()因因找出找出221nk()项，它在项，它在 x=0 才不为零才不为零221122 120221kkkkkkdCxdx()12122kkkkC () ()!121141 2212121kkkkkkfkk ()()!()()!()!10012fxdx222212022241122kkkkkkdfxkdx ()(!)19例例3020rruu ,cos llllllBu rA rPr10( , )()

17、(cos ) 解：解：由轴对称由轴对称球内含球内含r0 所以所以lB0 llllu rA r P0( , )(cos ) rru 02cos llllu rAr P 2000( , )(cos )cos 六拉普拉斯方程的轴对称定解问题六拉普拉斯方程的轴对称定解问题边境条件与角边境条件与角无关，可以推断无关，可以推断解也与角解也与角无关。故无关。故m=0边境条件：边境条件：P x0( )1 P xx221( )(31)2 PxPx22021()33 20llllA r PPP020021(cos )(cos )(cos )33 A013 Ar22023 ru rPPr 2022012( , )(

18、cos )(cos )33 A r22 023 llllu rA r P0( , )(cos ) 例例 4u 0cos0qu0, 20u 定解问题：定解问题：偶延拓：偶延拓：002r ruu cos()u 0cos 0002r ruu cos , ()或或0001r ruu xx,或或00 xxu0llllu rA r P( , )(cos ) 0000llllu rA r P xu x ( , )( ) 21102114121122122kkkkkxP xPxkk() ()!( )()( )() ()!0000llllu rA r P xu x ( , )( )100211412112212

19、2kkkkkuP xPxkk() ()!( )()( )() ()!21002210(41) (21)!( , )( 1)( )2(21) (22)!kkkkkukkru ruPxkkr 220llllu rA r P( , )(cos ) 例例 5 均匀电场中放置介电常数均匀电场中放置介电常数的球，求介质球内、外的电场的球，求介质球内、外的电场0E0E 解：解：无穷远处有边境条件，无穷远处有边境条件，球面处有衔接条件。球面处有衔接条件。取球坐标，取球坐标，z-方向沿方向沿0Er轴对称拉普拉斯问题轴对称拉普拉斯问题0,u 内外分别讨论，然后衔接起来内外分别讨论，然后衔接起来边境条件：边境条件：

20、0coseruE r 衔接条件：衔接条件：iuiueueuInternal:External:00ir rer ruu电势延续：电势延续：电位移延续：电位移延续：0000ier rr ruurr (0)iu r 有限有限23轴对称拉普拉斯方程解的普通方式：轴对称拉普拉斯方程解的普通方式：10( , )()(cos )llllllBu rA rPr 球内球内 有限：有限：(0, )u r 0( , )(cos )lilllu rA r P 球外无穷远边值：球外无穷远边值：00( , )(cos )coslelllu rC r PE r 10CE 01lCl0010( , )cos(cos )le

21、lllDu rCE rPr 10llellllDu rC rPr( , )() (cos )24利用衔接条件：利用衔接条件：000 01000(cos )cos(cos )llllllllDA r PCE rPr 10020001()(cos )cos(cos )lllllllllDlA rPEPr 00001ACDr11 00 020DArE rr 010llllDA rr110302DAEr 10201()lllllDlA rr 00AC解得解得00D 1032AE 310012Dr E 02llADl02010Dr 252l 0032( , )cosiu rAE r 300002112(

22、 , )coscoseu rAE rr Er 球内电场强度：球内电场强度：0032( , )izu rAEk iiiiiuuuEuijkxyz 032E 0E1 0iEE26七母函数七母函数定义：定义：0( )(cos )lllF rr P 叫勒让德多项式的母函数。叫勒让德多项式的母函数。dr04 电荷在单位球的北极。电荷在单位球的北极。求球内任一点电势。求球内任一点电势。21112 cosdrr 它又是拉普拉斯方程的内解：它又是拉普拉斯方程的内解：2011 2(cos )cosllllAr Prr 令令0 011llrr故故1lA 2011 2(cos )coslllr Prr 272111

23、1 2cos( )rrr 令令0 0111111llrrrr所以所以1201112(cos )coslllPrrr 半径半径 R 的球：的球：122012(cos )cosllllrPRRrRr 122012(cos )cosllllRPrRrRr rRrR球外球外120112(cos )cosllllBPrrr 11r28例例6r 1rd解：解：利用知结果。利用知结果。导体内：等势。导体内：等势。导体外：导体外：无导体时022112cosqurrrr 有导体时，设有导体时，设0( , )uuv r 314 ()uqrr 0( , )u a 接地接地0u ( , )0?u022112( , )

24、cosqu arara ( , )0v 0v 2211( , )2cosqv arara 00( , )u q1aqr2910( , )(cos )llllBv rPr 1122001112llllllllBqaPqParrara (cos )(cos )cos2111lllaBqr 211122011112( , )(cos )coslllllqau rqPrrrrrr 又又21122011221112( , )()(cos )()cosllllaqraav rqPrrraarrrr uv是是 处电荷处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的镜像。的电势。这个电荷叫原电荷的镜像。21ar1aqr是原

25、电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。30八递推公式八递推公式2011 2( )lllr P xrxr两边对两边对r求导求导12 3/20( )(1 2)lllxrlrP xrxr或或2120(1 2)( )1 2lllxrrxrlrP xrxr2100()( )(1 2)( )llllllxrr P xrxrlrP x两边同幂两边同幂 的系数的系数111( )( )(1)( )2( )(1)( )kkkkkxPxPxkPxxkPxkPx11(1)( )(21)( )( )0kkkkPxkxP xkPx递推公式递推公式1r kr3132母函数运用：勒让德多项式

26、模的计算母函数运用：勒让德多项式模的计算201(, )()12lllu x rr Pxrxr 1121100()()12lklklkdxr Pxr Px dxrxr 12111001()()ln(12) |2lklklkrPx Px dxrxrr 2,001ln(1)ln(1)lkl kllkrNrrr 22200001( 1)21121nlnnlllnnlrNrrrnnl 2221lNl 1r 2121110() () ()()xymxyl lm my2221210()()()mllld pdpxxl lpdxdx22()2(2)(1)()2(1)(1)2(1)mmmmlllld pxxpm

27、xpm mpdx()(1)() 222mmmllldpxxpmpdx 221121110()()()()() ()()mmmlllxpmxpl lm mp221()( )mmmllPxPx 10.2 10.2 连带勒让德函数连带勒让德函数221 ()( )mxy x 222(1) (1)01ddmxl ldxdxx一函数一函数设设cosx (1)(1)表达式表达式0 1 2, , ,ml33(2) (2) 微分表示微分表示2112()!llllldPxl dx222112()()!ml mmllll mxdPxldxm情况：情况：222112()()!ml mmllll mxdPxldx222

28、1101() ()ddmxl ldxdxx 二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边境条件的本二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边境条件的本征解只需一个，故这两个解只相差一个常数。征解只需一个，故这两个解只相差一个常数。2222111121()!()()()()!()!()()!()!()()!l mmmlml mmll mmlll mldxxPlmlmdxldPlmxlmdx 比较最高次幂系数比较最高次幂系数34(3)(3)积分表示积分表示222211122()()!()cos!ml mmmlimllll mxdilmPxexixdlldx 二正交关系二正交关系110( )( )mm

29、klPx Px dx()kl三模三模1221()( )mmllNPxdx12222111112()!()()()()!( !)l ml mmllll ml mlmddxxdxlmldxdx 多次分步积分：多次分步积分：122221()!1(1)(1)()!2 ( !)llllllllmddxxdxlmldxdx()!2()!21lmlml四广义傅立叶级数四广义傅立叶级数0( )( )mlllf xf Px1121()!( )( )2()!mllllmff x Px dxlm3512 1/21( )(1)sinPxx 2 1/2(1)(3 )xx12 1/2221( )(1) (31)2Pxxx

30、33sincossin22222 22222131313 131222Pxxxx /( )() ()()sin(cos)36连带勒让德函数连带勒让德函数10121122( )0( )1sin( )313sin cosPxPxxPxxx 2/ 2()()(1)()mmmllPxxPx 20212222()0()0()3(1)3 sinPxPxPxx cos)(1)(0100 xPxP2( ),2,3,4.lPx l 以以 为基，再为基，再-1,1-1,1区间展开函数区间展开函数例例1例例222221( )1sin( )3f xxPx ( )f x101( )010 xf xx22( )( )ll

31、lf xf Px221220121221211021 (2)!(1)(1)2(2)!2 !21 (2)! (1)(1)2(1)2(1)2(2)!2 !2 !2 !lllllllllllllllllllxdfxdxlldxllxdxx dxdxlldxldxldx2(1)2lP3722222223()3(1)3 sin()15(1)15 sincosPxxPxxx 2/ 22(1)()(1)2!mlmmllllmxdPxxldx 1212110(21)(2)!1(1)(1)222(2)!2 !llllllllxlldxdxflldxdx2ln2(41)(22)!(22)!nnnfn012 nll

32、lnnnlnxxdxdxnndxdxn n12222111200(1)(1)(21)!( 1)(2 )!(1)! 2122212210(21)!(1)(1)()( 1)(21)! !nlnnkkknxxxnkk 2nx项系数有奉献项系数有奉献122222112200(1)(1)(21)!( 1) (22)!(1)! !llnnnlnxxdxdxnndxdxnn 1knkn22nx项系数有奉献项系数有奉献12121(43)(21)!( 1)(2 )!22(22)(21)2(23)!2!(1)!nnnnnnfnnnn n 每项含有每项含有x x3810.3 10.3 普通的球函数普通的球函数一一

33、球函数球函数, 3 , 2 , 1, 2 , 1 , 0cossin)(cos),(llmmmPYmlml二正交关系二正交关系0( , )( , )sin,mnlkSYYd dmnlk 或或三模三模2122210221sin()!( , ) sin(cos ) sincos()!mmmllSmlmYd dPddmlml 四球面上的广义傅立叶级数四球面上的广义傅立叶级数0( ,)cossin(cos)mmmlllmlmfAmBmP 20 020 0212212()!( , )(cos )cossin()!()!( , )(cos )sinsin()!mmllmmmllllmAfPmd dlmll

34、mBfPmd dlm 39例例111sincos(cos )cosP 1 1,ml11sinsin(cos )sinP 例例22231( , )sincosf 留意：留意： cos,sinmm 212312cos( , )sinf 22331222sinsincos 221331222( cos)sincos 2221(cos )(cos )cos22PP 11(cos )sinP 12(cos )3sincosP2223(cos )sinP 0(cos )1P 1(cos )cosP221(cos )(3cos1)2P 40例例3偶极矩的电场中的电势偶极矩的电场中的电势qqsqxyzq),(

35、zyx解解2220222141qu x y zxsyzxyz( , , )()0s 2220()1( , , )4qsu x y zxxyz3222024qsxxyz()13222024sincos()xprxyz111204(cos )cosxpPr沿x轴41沿沿y轴轴111204( , , )(cos )sinypu x y zPr沿沿z轴轴11204( , , )(cos )zpu x y zPr m=0沿恣意方向沿恣意方向1111111113200144( , , )(cos )cos(cos )sin(cos )xyzpru x y zp Pp Pp Prr ( (五五) )拉普拉斯方程的非轴对称解拉普拉斯方程的非轴对称解例例4球内解球内解0u200( , ,