数学分析函数的定积分7-6ppt课件

1、201912247.6 7.6 反常积分反常积分 ( (广义积分广义积分) )有有界界有有限限 badxxf )( 实际问题：实际问题： 自地面垂直向上发射火箭，若要使火箭自地面垂直向上发射火箭，若要使火箭超出地球引力范围，需要多大初速度？超出地球引力范围，需要多大初速度？火箭获得的初始动能要火箭获得的初始动能要大于使火箭脱出地球引大于使火箭脱出地球引力范围所需作的功！力范围所需作的功！.21 20mgRmv 即：即： rRrdxxmgRmgR22lim RdxxmgR22有有界界有有限限 badxxf )( 无限无限无界无界定义定义1 1：,), 上上黎黎曼曼可可积积在在若若对对定定义义于于

2、设设bafabaf ,d)(limAxxfbab 如如果果.d)( axxf记为记为.此此时时称称该该积积分分收收敛敛.,d)(lim则称该积分发散则称该积分发散极限不存在极限不存在若若 babxxf.),上上的的广广义义积积分分在在为为则则称称 afA),( A.d)( axxf但仍记为但仍记为一、无穷区间上的积分一、无穷区间上的积分类似可以定义：类似可以定义： baabxxfxxfd)(limd)(. ,)()()(Rcdxxfdxxfdxxfcc 当两个积分都收敛时当两个积分都收敛时, , .),(上上积积分分收收敛敛在在称称 f两个积分至少有一个不收敛时两个积分至少有一个不收敛时, ,

3、称该积分发散称该积分发散. .）（不依赖于（不依赖于c bcbcaaxxfxxfd)(limd)(lim)d)(d)(lim accaaxxfxxf例例1 1 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 上题也可直接写成上题也可直接写成 21xdx 021xdx 021xdx 0arctan x 0arctanx.22 .,-分分部部换换元元莱莱广广义义积积分分的的牛牛例例2 2 计算广义积分

4、计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 11cos2 xxxxxttttd)1)(1(d)1)(1(0202 0022d11d)1)(1(12xxxxxxI 2arctan0 x.4 I例例3 3RxxxI , d)1)(1(102求求解解 d1)11)(11(11202ttttItx ，令令证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp0 a badxxf )(lim0二、无界

5、函数的广义积分二、无界函数的广义积分 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0定义中点定义中点 为瑕点，以上积分称为瑕积分为瑕点，以上积分称为瑕积分.cba,例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaax axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 例例 6 6 证证明明广广义义积积分分 101dxxq当当1 q时时收收敛敛，当当1 q时时发发散散.证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q

6、 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散. 101dxxq推广推广例例7 7 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.例例8 8 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 无界函数的广义积分瑕积分）无界函数的广义积分瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略内部的瑕点）（注意：不能忽略内部的瑕点）