数值分析--第2章插值法ppt课件

1、上页上页下页下页 在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处的函数值；或已知由实验丈量得到的某一函数的函数值；或已知由实验丈量得到的某一函数 y=f(x)在区间在区间a,b中互异的中互异的n+1个个xi ( i=0, 1, . ,n)处处的值的值yi=f(xi) (i=0,1,.,n), 需要构造一个简单易算的需要构造一个简单易算的函数函数P(x)作为作为y=f(x)的近似表达式的近似表达式 y=f(x)P(x) , 使得使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=

2、0,1, ., n) 这类问题就称为插值问题，这类问题就称为插值问题， P(x)称为插值函数，称为插值函数， P(x)一般取最简单又便于计算得函数。一般取最简单又便于计算得函数。第第2章章 插插 值值 法法上页上页下页下页x0 x1x2x3x4xP(x) f(x)f(x) y=f(x)P(x) , 使得使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ., n) 其它点其它点 P(x) f(x) = y上页上页下页下页2.1.1 插值问题插值问题 设设 y= f(x) 是区间是区间a , b 上的一个实函数上的一个实函数, xi ( i=0, 1, . ,n)是是a,b上上n+1个互异

3、实数个互异实数,知知 y=f(x) 在在 xi 的的值值 yi=f(xi) (i=0,1,.,n), 求一个次数不超过求一个次数不超过n的多项的多项式式Pn(x)使其满足使其满足Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) (5-1)这就是多项式插值问题这就是多项式插值问题.2.1 引言引言上页上页下页下页其中其中Pn(x) 称为称为 f(x) 的的n次插值多项式次插值多项式, f(x) 称为被插函称为被插函数数, xi(i=0,1, .,n)称为插值节点称为插值节点, (xi, yi) (i=0,1, ,n) 称称为插值点为插值点, a,b 称为插值区间称为插值区间, 式式(5-1)称为插

4、值条件。称为插值条件。 从几何意义来看从几何意义来看,上上述问题就是要求一条多述问题就是要求一条多项式曲线项式曲线 y=Pn(x), 使它使它通过已知的通过已知的n+1个点个点(xi,yi) (i=0,1, ,n),并用并用Pn(x)近似表示近似表示f(x).上页上页下页下页即即 P(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn其中其中ai为实数，就称为实数，就称P(x) 为为 插值多项式，相应的插插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若值法称为多项式插值，若P(x)为分段的多项式，就为分段的多项式，就称为分段插值，若称为分段插值，若P(x)为三角多项式为三角多项式,就称为三角插就称为三角插值

5、，本章只讨论插值多项式与分段插值。值，本章只讨论插值多项式与分段插值。 本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式函数，样条插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在的存在唯一性、收敛些及误差估计等。唯一性、收敛些及误差估计等。上页上页下页下页定理定理1 设节点设节点 xi (i=0,1, ,n)互异互异, 则满足插值条件则满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n)的次数不超过的次数不超过n的多项的多项 式存在且唯一式存在且唯一.证证 设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x

6、2+.+anxn (5-2)则由插值条件式则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得关于系可得关于系数数a0 ,a1 , ,an的线性代数方程组的线性代数方程组2.1.2 插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性上页上页下页下页 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程组有此方程组有n+1个方程个方程, n+1个未知数个未知数, 其系数行列式是其系数行列式是范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式：行列式：（5-3）20002111211()01nnjij innnnxxxxxxxxxxx 由克莱姆法则知方程组

7、由克莱姆法则知方程组 (5-3) 的解存在唯一的解存在唯一. 证毕。证毕。 上页上页下页下页 考虑最简单、最基本的插值问题考虑最简单、最基本的插值问题.求求n次插值多项式次插值多项式 l i(x) (i=0,1, ,n),使其满足插值条件使其满足插值条件0,()(0,1, )1,ijjil xjnji 2.2.1 基函数基函数可知可知, 除除 xi点外点外, 其余都是其余都是 li(x)的零点的零点, 故可设故可设Lagrange法法1736-1813 0( )()()inl xA xxxx 11()()iixxxx 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值上页上页下页下页其中其中A为常数为常数, 由

8、由li(xi)=1可得可得)()()(1110niiiiiixxxxxxxxA 称之为拉格朗日基函数称之为拉格朗日基函数, 都是都是n次多项式次多项式 。00()()( )()()(0,1, )niiinxxxxl xxxxxin 11()()iixxxx 11()()iiiixxxx 0( )()()inl xA xxxx 11()()iixxxx nijjjijxxxx0上页上页下页下页 n=1时的一次基函数为时的一次基函数为: 0 x1xy1 O x)(0 xl y 10 x1x)(1xlO x.)(,)(01011010 xxxxxlxxxxxl 上页上页下页下页即已知函数即已知函数

9、f(x)在点在点x0和和x1点的函数值点的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性函数求线性函数 L(x)=a0+ a1xL(x)=a0+ a1x使满足条件：使满足条件：L(x0)=y0 , L(x1)=y1.L(x0)=y0 , L(x1)=y1.)()(001010 xxxxyyyxL 此为两点线性插值问题此为两点线性插值问题上页上页下页下页或用直线的两点式表示为：或用直线的两点式表示为：0011() () xxxxll则则 称称 ： 叫叫 做做 点点 的的 一一 次次 插插 值值 基基 函函 数数 为为 点点 的的 一一 次次 插插 值值 基基 函函 数数插值基函数的特点：插值

10、基函数的特点： x0 x1l01 10 0l10 01 11x0 x1l0l1.)(,)(01011010 xxxxxlxxxxxl 记记.)(010110101xxxxyxxxxyxL 上页上页下页下页1200102()()( ),()()xxxxlxxxxx n=2时的二次基函数为时的二次基函数为 : 0211012()()( ),()()xxxxl xxxxx 0122021()()( ).()()xxxxlxxxxx 上页上页下页下页0 01 10( )( )( )( )( )nnn ni iiL xy lxy l xy lxy l x 可知其满足可知其满足2.2.2 拉格朗日插值多项

11、式拉格朗日插值多项式利用拉格朗日基函数利用拉格朗日基函数l i(x), 构造次数不超过构造次数不超过n的多项式的多项式njyxLjjn, 1 , 0)( )()(xLxPnn 称为拉格朗日插值多项式称为拉格朗日插值多项式,再由插值多项式的唯一性再由插值多项式的唯一性,得得 特别地特别地, 当当 n =1时又叫线性插值时又叫线性插值,其几何意义为其几何意义为过两点的直线过两点的直线. 当当 n =2时又叫抛物线插值时又叫抛物线插值, 其几其几何意义为过三点的抛物线何意义为过三点的抛物线.上页上页下页下页1)(0 niixl注意注意 :(1) 对于插值节点对于插值节点,只要求它们互异只要求它们互异

12、,与大小次序无关与大小次序无关; 以以 xi (i=0,1,n)为插值节点为插值节点, 函数函数 f(x) 1作插值作插值多项式多项式, 由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性质质(2) 插值基函数插值基函数l i(x) 仅由插值节点仅由插值节点xi (i=0,1, ,n)确定确定, 与被插函数与被插函数 f(x)无关无关;(3) 插值基函数插值基函数l i(x) 的顺序与插值节点的顺序与插值节点xi (i=0,1, ,n) 的顺序一致的顺序一致.上页上页下页下页1)(0 niixl这是因为若取这是因为若取(x)=xk (k=0,1,n),(x)=xk (

13、k=0,1,n),由插值多项式由插值多项式的唯一性有的唯一性有0( ),0,1,nkkiiil x xxkn 特别当特别当k=0k=0时时, ,就得到就得到上页上页下页下页所以所以019141( )(9), ( )(4)495945xxlxxlxx 10 01 111( )( )( )2(9)3(4)55L xy lxy l xxx 1137(7)2.65L 01,4,9,yx xx7例例1 知知 用线性插值用线性插值(即一次插值即一次插值多项式多项式)求求 的近似值。的近似值。012,3,yy 基函数分别为基函数分别为:解解插值多项式为插值多项式为23(9)(4)55xx 1(6)5x( )

14、上页上页下页下页4, 3, 1, 13210 xxxx)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(0 xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(11()4)(3)(1()(1 xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(1)(1()(2 xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3 xxxxxxxl例例2 求过点求过点(-1,-2), (1,0), (3,-6), (4,3)的抛物线插值的抛物线插值(即三即三次插值多项式次插值多项式).解解 以以以为节点的基函数以为节点的基函数分别为

15、分别为:上页上页下页下页)()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL ) 3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(1(401) 2( xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43)4)(3)(1(201 xxxxxxxxx3423 xx()则拉格朗日的三次插值多项式为则拉格朗日的三次插值多项式为上页上页下页下页 截断误差截断误差Rn(x)=f (x) -Ln(x)也称为也称为n次次Lagrange插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。 定理定理2 设设

16、 f (x) 在区间在区间 a ,b上存在上存在 n+1 阶导数阶导数, xi a, b (i=0,1, , n) 为为 n+1个互异节点个互异节点, 则对任何则对任何x a ,b, 有有(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 2.2.3 插值余项插值余项( , )a b 且与且与x有关有关)10( )()nniixxx 其其中中上页上页下页下页证证 由插值条件和由插值条件和n+1(x) 的定义的定义, 当当x=xk 时时 , 式子式子显然成立显然成立, 并且有并且有 n+1(xk)=0 ( k=0,1,n ), 这表明这表明x0 , x1, , xn

17、都是函数都是函数n+1(x) 的零点的零点, 从而从而 n+1(x) 可表可表示为示为 1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt (1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 其中其中K(x)是待定函数。是待定函数。 对于任意固定的对于任意固定的xa,b, xxk ,构造自变量构造自变量 t 的的辅助函数辅助函数上页上页下页下页1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt 由式由式 n+1(xk)=0 和式和式 Ln(xk)=yk ( k=0,1,n ),以及以及1(

18、 )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 可知：可知：x0 , x1, , xn 和和 x 是是(t) 在区间在区间a,b上的上的 n+2个互异零点个互异零点, 因此根据罗尔因此根据罗尔 (Rolle) 定理定理, 至少存至少存在一点在一点 =(x) (a,b),使使 (1)( )0n (1)( )( )(1)!nfK xn 即即(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 所以所以上页上页下页下页 一般来说一般来说,外推比内插效果差外推比内插效果差,在估计误差时下列在估计误差时下列不等式很有用。不等式很有用。),(, )()!1()(01ba

19、xxxnMxRniinn 或或),(, )(max)!1()(01baxxxnMxRniibxann 。其中：其中：)(max)1(1xfMnbxan niinnnxxnfxLxfxR0) 1()()!1()()()()( 上页上页下页下页25. 0)4(, 4 . 0)5 . 2(, 5 . 0)2(210 fyfyfy)45 . 2)(25 . 2()4)(2(4 . 0)42)(5 . 22()4)(5 . 2(5 . 0)(2 xxxxxL)5 . 24)(24()5 . 2)(2(25. 0 xx15. 1425. 005. 02 xx,1)(xxf ，节节点点4, 5 . 2, 2

20、210 xxx)(xf求求的抛物插值多项式的抛物插值多项式,且计算且计算f (3)的近似值并估计误差。的近似值并估计误差。例例3 设设解解 插值多项式为插值多项式为上页上页下页下页,6)(4xxf 83| )2(| )(|max4, 23 fxfMx21 3|(3)| |(3)(3)|(32)(32.5)(34)|6 80.03125RfL 因为因为故故| )4)(5 . 2)(2( |8361| )4)(5 . 2)(2( |!3| )(|33 xxxxxxMxR325. 0)3()3(2 Lf于是于是另见书另见书p29的例的例1.上页上页下页下页用二次插值计算用二次插值计算ln11.25l

21、n11.25的近似值的近似值, ,并估计误差并估计误差. .例例4 给定函数表给定函数表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949解解 取节点取节点x0=10,x1=11,x2=12,x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值作二次插值有有302585. 2)1210)(1110()1225.11)(1125.11( 397895. 2)1211)(1011()1225.11)(1025.11( 484907. 2)1112)(1012()1125.11)(1025.11( 420426. 2 ln11.25ln11.25L2(11.25)L2

22、(11.25)上页上页下页下页在区间在区间10,1210,12上上lnx lnx 的三阶导数的上限的三阶导数的上限M3=0.002,M3=0.002,可得误差估计式可得误差估计式00007. 0| )1225.11)(1125.11)(1025.11( |! 3)25.11(32 MR实际上实际上,ln11.25=2.420368,ln11.25=2.420368, |R2(11.25)|=0.000058. |R2(11.25)|=0.000058.上页上页下页下页2.3.1 均差及其基本性质均差及其基本性质定义定义1 称称101010)()(,xxxfxfxxf 为为 f (x)在在x0、

23、x1点的一阶均差点的一阶均差.一阶均差的均差一阶均差的均差(差差商商)202110210,xxxxfxxfxxxf 称为函数称为函数f (x)在在x0、x1 、x2 点的二阶均差点的二阶均差.英英1642-1727 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式上页上页下页下页一般地，一般地，n-1阶均差的均差阶均差的均差nnnnnnxxxxxfxxxfxxxf 01112010, 称为称为f (x)在在x0 , x1 , , xn点的点的 n 阶均差。阶均差。差商的计算步骤与结果可列成均差表，如下差商的计算步骤与结果可列成均差表，如下 一般一般f(xi) 称为称为f(x) 在在xi点的零阶均差

24、，记作点的零阶均差，记作fxi。上页上页下页下页xk函数值函数值一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差. x0 x1 x2 x3 . f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) . f x0 , x1 f x1 , x2 f x2 , x3 . f x0, x1, x2 f x1, x2, x3 . f x0, x1, x2 , x3 .表表5-1均差表）均差表）上页上页下页下页给出节点给出节点x0,x1,xnx0,x1,xn和函数值和函数值 (x0),(x0), (x1),(x1), (xn),(xn),可按如下的差商表顺序逐次可按如下的差商表顺序逐次计算各阶差商值计算

25、各阶差商值. .xi(xi)一阶一阶差商差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商n阶差商阶差商x0 x1x2x3 xn(x0)(x1)(x2)(x3) (xn)x0,x1x1,x2x2,x3 xn-1,xnx0,x1,x2x1,x2,x3 xn-2,xn-1,xnx0,x1,x2,x3 xn-3,xn-2,x2,x3 x0,x1,xn上页上页下页下页 nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(,这一性质可以用数学归纳法证明，它表明均差与节这一性质可以用数学归纳法证明，它表明均差与节点的排列次序无关，即点的排列次序无关，即 fx0 , x1 , x2 , ., x

26、n= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 性质性质1 均差可以表示为函数值的线性组合，即均差可以表示为函数值的线性组合，即称之为均差的对称性也称为对称性质）。称之为均差的对称性也称为对称性质）。上页上页下页下页性质性质2 由性质由性质1立刻得到立刻得到或或11202010, nnnnnnnxxxxxfxxxfxxxf01021102110,xxxxxfxxxfxxxxfxxxfnnnnn 上页上页下页下页性质性质3 n次多项式次多项式f(x)的的k阶差商阶差商,当当kn时是一个时是一个n-k次多项式次多项式;当当kn时恒等于时恒等于0.

27、性质性质4 若若f(x)在在a,b上存在上存在n阶导数阶导数, 且节点且节点x0 , x1 , xna,b ,则至少存在一点则至少存在一点 a, b 满足下满足下式式!)(,)(10nfxxxfnn 例例1 f (x)=6x8+7x510, 求求f 1,2, ,9及及f 1,2, ,10. 解解 f (8)(x)=68 !, f 1,2, ,9=-6, f (9)(x)=0, f 1,2, ,10=0.上页上页下页下页2.3.2 牛顿插值多项式牛顿插值多项式设设x是是a，b上一点，由一阶均差定义得上一点，由一阶均差定义得)(,)()(000 xxxxfxfxf 同理，由二阶均差定义同理，由二阶

28、均差定义)(,110100 xxxxxfxxfxxf 如此继续下去，可得一系列等式如此继续下去，可得一系列等式000)()(,xxxfxfxxf 110010,xxxxfxxfxxxf 得得得得上页上页下页下页01010 , ,()nnnnf x xxf xxxf x xxxx )(,)()(000 xxxxfxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,221021010 xxxxxxfxxxfxxxf 依次把后式代入前式，最后得依次把后式代入前式，最后得00000100101001001201012012( )() ,()(),() ,()()(),(),()() ,()(

29、)()f xf xf x xxxf xf xxxxf x xxxxxxf xf xxxxf xx xxxxxf x xx xxxxxxx 上页上页下页下页00100101001001201012012( )(),() ,()()(),(),()() ,()()()( )( )nnf xf xf x xxxf x x xxxxxf xf x xxxf x x xxxxxf x x x xxxxxxxN xR x 00100120101010011( )( ) , () , ,()() , ,()()( ) , , ( )nnnnkkkN xf xf x x x xf x x xx xx xf x

30、 xxx xx xf xf x xxx 其中其中00101( ) ,()()() ,( )nnnnnR xf x xxxxxxxxf x xxx 上页上页下页下页( )( )( )nnf xN xR x 可见可见, Nn(x)为次数不超过为次数不超过n 的多项式的多项式,且易知且易知 Rn(xi)= 0 即即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, ,n) 满足插值条件满足插值条件, 故其为插值问题的解故其为插值问题的解, Nn(x)称为牛顿称为牛顿插值多项式。插值多项式。001001201001( )( ) ,() ,()() ,()()nnnN xf xf x xx xf x x xx

31、xx xf xxx xx x 001( ) ,()()()nnnRxf x xxxxxxxx Rn(x)称为牛顿型插值余项。称为牛顿型插值余项。上页上页下页下页由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式是等价的是等价的,即即 Ln(x) Nn(x)且有如下递推形式且有如下递推形式)()(,)()(1001 nnnnxxxxxxfxNxN和余项公式和余项公式)()(,)(010nnnxxxxxxxxfxR )()()!1()(0)1(nnxxxxnf 由此即得性质由此即得性质4。且。且)()(,)()(,)(01100101nnnnnnnxxxx

32、xxxxfxxxxxxxxfxR 上页上页下页下页xk f(xk)一阶均差一阶均差 二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差 四阶均差四阶均差0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例例1 已知已知f(x)=shx的数表的数表,求二次牛顿插值多项式求二次牛顿插值多项式,并由并由 此计算此计算f(0.596)的近似值。的近似值。 )55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)

33、(2 xxxxN解解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为上页上页下页下页632010. 0)596. 0()596. 0(2 Nf又又1970. 0,3210 xxxxf可得过前四点的三次牛顿插值多项式可得过前四点的三次牛顿插值多项式)65. 0)(55. 0)(40. 0(1970. 0)()(23 xxxxNxN故故6319145. 0)596. 0()596. 0(3 Nf故故)55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(0344

34、. 0)(3 xxxxxR可得可得N3(x)的截断误差的截断误差631034. 0)596. 0( R0344. 0,40 xxf上页上页下页下页 设函数设函数y=f(x)在等距节点在等距节点xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上上的函数值为的函数值为fi=f(xi)(h为步长为步长)定义定义2 fi=fi+1-fi 和和 fi=fi-fi-1分别称为函数分别称为函数f(x)在点在点xi处的一阶向前差分和一阶向处的一阶向前差分和一阶向后差分。后差分。 一般地一般地, f(x) 在点在点 xi 处的处的 m 阶向前差分和阶向前差分和 m 阶向阶向后差分分别为后差分分别为 mfi= m-1fi

35、+1- m-1fi 和和 mfi= m-1fi - m-1fi-12.4 差分与等距节点插值差分与等距节点插值2.4.1 差分及其性质差分及其性质上页上页下页下页函数值函数值一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分四阶差分四阶差分. f (x0) f (x1) f (x2) f (x3)f (x4) . f0 ( f1) f1 ( f2) f2 ( f3) f3 ( f4) . 2f0 ( 2f2) 2f1 ( 2f3) 2f2 ( 2f4) . 3f0 ( 3f3) 3f1 ( 3f4). 4f0 ( 4f4) .构造差分表构造差分表5-2上页上页下页下页容易证明，差分有如下基本性质

36、容易证明，差分有如下基本性质性质性质1 各阶差分均可用函数值表示各阶差分均可用函数值表示. 即即jinjnnjjinnninnininfcfcfcff 011) 1() 1(jijnnjjninnniniinfcfcfcff 011) 1() 1(且有等式且有等式 nfi= nfi+n .上页上页下页下页性质性质3 均差与差分的关系式为均差与差分的关系式为111,!1,!miii mimmi mi miimf x xxfm hf xxxfm h 性质性质2 函数值均可用各阶差分表示函数值均可用各阶差分表示. 即即injjjninnniniinfcfcfcff 01且有差分与微商的关系式为且有差

37、分与微商的关系式为),()()(nkknnnnxxfhf 差分的其它性质参看本章差分的其它性质参看本章p59习题习题8，9，10，11.上页上页下页下页代入牛顿插值公式代入牛顿插值公式 ,可得可得)1()1(!)1(! 2)()(002000 ntttnfttftffthxNxNnnn称为牛顿向前插值公式，其余项为称为牛顿向前插值公式，其余项为),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxxfhnntttthxRxR 插值节点为插值节点为 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 如果要计算如果要计算 x0附附近点近点 x 处的函数值处的函数值f(x), 可令可令 x=x0+t

38、h (0 t n)2.4.2 等距节点差值公式等距节点差值公式上页上页下页下页 类似地类似地, 若计算若计算 xn 附近的函数值附近的函数值 f(x), 可令可令 x=xn+th (- n t 0) ，可得牛顿向后插值公式，可得牛顿向后插值公式)1()1(!)1(! 2)()(2 ntttnfttftffthxNxNnnnnnnnn),(, )()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthxRxR 及其余项及其余项上页上页下页下页例例2 设设 y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次插值多项用三次插值多项 式求式求f(1.2) 及及f(

39、2.8)的近似值的近似值.解解 相应的函数值及差分表如下相应的函数值及差分表如下:xif (xi)一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分 四阶差分四阶差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146上页上页下页下页求求f(1.2)用牛顿前插公式用牛顿前插公式, 且由且由 1.2=1+0.5t, 得得t=0.431.14396(1.2)(1.2)2.71828 1.76341 0.40

40、.4 (0.4 1)2!0.742100.4 (0.4 1)(0.4 2)3.33386323!fN xif (xi)一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分 四阶差分四阶差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146上页上页下页下页求求f(2.8)用牛顿后插公式用牛顿后插公式,且由且由 2.8=3+0.5t, 得得t= -0.43(2.8)(2.8)fN xif (xi)一阶差分一

41、阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分 四阶差分四阶差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.481463.1096220.08554 7.90305 ( 0.4)( 0.4) ( 0.4 1)2! 1.22356( 0.4) ( 0.4 1)( 0.4 2)15.76808723! 求求f(1.8)呢呢?上页上页下页下页2.5.1 三次埃尔米特插值多项式三次埃尔米特插值多项式 设设 y=f(x)

42、是区间是区间a, b上的实函数上的实函数, x0, x1 是是a, b上相异两点上相异两点, 且且 x0 x1, y=f (x) 在在xi上的函数值和一阶导数值分别为上的函数值和一阶导数值分别为 yi=f (xi) (i=0,1)和和mi = f (xi) (i=0,1), 求三次多项式求三次多项式 H3(x), 使使其其满足：满足：33()(0,1)()iiiiHxyiHxm H3(x)称为三次埃尔米特插值多项式。称为三次埃尔米特插值多项式。法法1822 -1901 2.5 埃尔米特埃尔米特(Hermite)插值插值上页上页下页下页构造三次埃尔米特插值多项式如下构造三次埃尔米特插值多项式如下

43、:定理定理3 满足条件式满足条件式 的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。33(),()(0,1)iiiiHxy Hxm i 300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx 条条 件件函函 数数函数值函数值导数值导数值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001上页上页下页下页由由0)()(1010 xx 可将它写成可将它写成2100)()(xxxxbax 21000)(11)(xxax ，得得由由 ，所所以以）（，得得再再由由3100020)(xxbx 21010100)(21)(xxxx

44、xxxxx 20101011)(21)(xxxxxxxxx ）（将将同同理理10 xx 上页上页下页下页，可令，可令同样由同样由0)()()(101000 xxx 2100)()(xxxxcx ，再再由由1)(00 x 210)(1xxc 得得,)()(210100 xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 上页上页下页下页210100)()(xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 2201000022101111( )12 ( ) ( )( )() ( )( )12 ( ) ( )( )() ( )xlx lxxxx lxxlx lxxxx lx,)(21 )(2101

45、0100 xxxxxxxxx ,)(21 )(20101011xxxxxxxxx 即即)(),(10 xlxl插值点的插值点的Lagrange),(),(1100yxyx为为以以一次基函数一次基函数. 上页上页下页下页可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx 220011011001011022010011011012()12()()()()()xxxxxxxxyyxxxxxxxxxxxxm xxm xxxxxx 上页上页下页下页定理定理4 设设f(x)在包含在包含x0、x1的区间的区间a,

46、b内存在四阶内存在四阶导数，则当导数，则当xa,b时有余项时有余项(4)2233011( )( )( )( )() ()4!R xf xH xfx xx x 设设)(max)4(410 xfMxxx 则当则当x(x0 , x1)时时,余项有如下估计式误差限）余项有如下估计式误差限）443384)(hMxR 2.5.2 误差估计误差估计( , )a b 且与且与x有关有关)上页上页下页下页例例2 已知已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表及其一阶导数的数据见下表,用埃尔用埃尔米特插值公式计算米特插值公式计算1251/2的近似值的近似值,并估计其截断误差并估计其截断误差. x121144

47、f(x)1112 f (x)1/22 1/24解解23121144( )1112144121121144xxHx 21441211212121144144121xx2112114422144121121144xx2114412124121144144121xx上页上页下页下页得得3125(125)11.18035H 由由2/7)4(1615)(xxf 可求得可求得223323151(125)419384 1615190.000012384 12111R 2233322221112( )2219144265212123231112114414412122 2324 23H xxxxxxxxx 上

48、页上页下页下页2.6 分段低次插值分段低次插值先看下面的例子先看下面的例子 对(x)=(1+25x2)-1,在区间-1,1上取等距节点 xi=-1+ih, i=0,1,10,h=0.2,作(x)关于节点 xi(i=0,1,10)的10次插值多项式 L10(x), 如下图上页上页下页下页xyo1-10.511.522511yy=L10(x)这个现象被称为这个现象被称为Runge现象现象. 表明高次插值的不稳定性表明高次插值的不稳定性. 实际上实际上, 很少采用高于很少采用高于7次的插值多项式次的插值多项式.上页上页下页下页2.6.1 分段线性插值分段线性插值01()(0,1,., ),iinyf

49、 xinaxxxb 已已知知求一个分段函数求一个分段函数P(x), 使其满足使其满足: P(xi)=yi (i=0,1, ., n); 在每个子区间在每个子区间xi，xi+1 上是线性函数上是线性函数.称满足上述条件的函数称满足上述条件的函数P(x)为分段线性插值函数为分段线性插值函数.上页上页下页下页),.,1 , 0)(nixfyii分别作线性插值得分别作线性插值得,在每个子区间在每个子区间xi，xi+1知知11111( ),(0,1,1)iiiiiiiiiixxxxP xyyxx xxxxxin 1111( ),(0,1,1)iiiiiiiiiiixxxxP xyyxx xhhhxxin

50、 或或上页上页下页下页由线性插值的误差即得分段线性插值在区间由线性插值的误差即得分段线性插值在区间xi, xi+1上的余项估计式为上的余项估计式为1122( )()()()()2!max()max()88iiiiixxxaxbff xP xxxxxhhfxfx 201max,max()iinaxbhhMfx 因而因而,在插值区间在插值区间a,b上有余项上有余项22()(), , 8hf xP xMxa b 上页上页下页下页2.6.2 分段抛物线插值分段抛物线插值(2) 在每个子区间在每个子区间xi-1, xi+1 上，上，L(x)是次数不超过是次数不超过2的的 多项式多项式.称满足上述条件的函

51、数称满足上述条件的函数L(x)为分段抛物线插值函数为分段抛物线插值函数. L(xi)=yi (i=0,1, ., n);对对01naxxxb 求一个分段函数求一个分段函数L(x), 使其满足使其满足:即将区间即将区间a, b分为小区间分为小区间xi-1, xi+1 (i=1,2, ,n)上页上页下页下页2.6.3 分段三次分段三次Hermite插值插值(),()(0,1, ),iiiiyf xmfxin 知知01naxxxb 求一个分段函数求一个分段函数H(x), 使其满足使其满足:(2) 在每个子区间在每个子区间xi, xi+1 上，上，H(x)是次数不超过是次数不超过3的的 多项式多项式.

52、称满足上述条件的函数称满足上述条件的函数H(x)为分段三次为分段三次Hermite插值插值函数函数.(1)(),()(0,1, ),iiiiH xyHxmin 上页上页下页下页2211122111( )1 2()1 2()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxH xyyhhhhxxxxm xxmxxhh 22111332211122( )1 2()()1 2()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiyyH xxxxxxxxxhhmmxxxxxxxxhh 1(0,1,1)iiihxxin 或或xi，xi+1上上(),()(0,1, ),iiiiyf x

53、mfxin 得在每个子区间得在每个子区间由由上页上页下页下页分段三次埃尔米特插值在区间分段三次埃尔米特插值在区间xi, xi+1上上的余项估计式为的余项估计式为1(4)2214(4)1( )( )( )() ()4!max( ) ,384iiiiiiixxxff xH xxxxxhfxxxx 因而，在插值区间因而，在插值区间a, b上有余项上有余项44()(), , 384hf xH xMxa b (4)401max,max( )iinaxbhhMfx 上页上页下页下页例例3 构造函数构造函数f(x)=lnx在在1x10上的数表上的数表, 应如何应如何选取步长选取步长h,才能使利用数表进行分段

54、插值时误差不才能使利用数表进行分段插值时误差不超过超过0.510-4 。解解221101( ),max( )1.xfxMfxx 欲使欲使2241101( )( )max( )10882xhhf xP xfx 即进行分段线性插值时，应取即进行分段线性插值时，应取h210-2，误差不，误差不超过超过0.510-4。22 10h 得得上页上页下页下页(4)(4)441106( ),max( )6.xfxMfxx 欲使欲使44(4)41101( )( )max( )10384642xhhf xH xfx 142 210h 得得即进行分段三次埃尔米特插值时即进行分段三次埃尔米特插值时,应取应取误差不超过

55、误差不超过0.510-4 。142 210h 上页上页下页下页2.7.1 问题的提出问题的提出定义定义 给定区间给定区间a,b的一个划分的一个划分 a=x0 x1xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,n),如果函数如果函数S(x)满足：满足： S(xi )=yi (i=0,1,n); 在每个小区间在每个小区间xi, xi+1 (i=0,1,.,n-1)上是次数不超上是次数不超过过3的多项式的多项式;(3) 在每个内节点在每个内节点xi (i=1,2,.,n-1)上具有二阶连续上具有二阶连续导数导数, 则称则称 S(x) 为关于上述划分的一个三次多项式样为关于上述划分的一个三次多项式样条

56、条 函数，简称三次样条。函数，简称三次样条。2.7 三次样条插值三次样条插值上页上页下页下页 S(x)在每个小区间在每个小区间xi , xi+1上是一个次数不超上是一个次数不超过过3的多项式的多项式, 因此需确定四个待定常数因此需确定四个待定常数, 一共有一共有n个个小区间小区间,故应确定故应确定4n个系数个系数, S(x)在在n-1个内节点上具个内节点上具有二阶连续导数，应满足条件有二阶连续导数，应满足条件)1, 2 , 1()0()0()0()0()0()0( nixSxSxSxSxSxSiiiiii即有即有3n-3个连续条件，再加上个连续条件，再加上S(x) 满足的插值条件满足的插值条件

57、n+1个，共计个，共计4n-2个，因此还需要个，因此还需要2个条件才能确定个条件才能确定S(x)，通常补充两个边界条件。，通常补充两个边界条件。上页上页下页下页2.7.2 三弯矩方程三弯矩方程Mi来求来求S(x)的方法称为三弯矩法。的方法称为三弯矩法。),.,1 , 0()(niMxSii 为参数为参数,这种通过确定这种通过确定设设iiiiiihxxMhxxMxS 11) )( ( 在在xi , xi+1上是一次多项式上是一次多项式, 且可表示且可表示为为 )(xS 对对 积分两次并利用积分两次并利用S(xi)=yi和和S(xi+1)=yi+1定出定出积分常数得积分常数得)(xS 321112

58、111()()( )()666() , (0,1,1)6iiiiiiiiiiiiiiiixxxxM hxxS xMMyhhhM hyxx xin hxxi 上页上页下页下页321112111()()( )()666() , (0,1,1)6iii iiiiiiiiiiiiixxx xMhxxS xMMyhhhM hyxx xin 对对S(x)求导得求导得iiiiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS62)(2)()(112121 1,(0,1,1)iixx xin hxxi 上页上页下页下页所以所以11111(0)36(0)63iiiiiiiiiiiiiiiihhyyS xMMhhh

59、yyS xMMh (i=1,2,.,n-1) )( () )( (00iixSxS由由iiiiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS62)(2)()(112121 11111116336iiiiiiiiiiiiiihhyyhhyyMMMMhh 上页上页下页下页111111111166 ,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhyyyydf xx xhhhh 112(1,2,1)iiiiiiMMMdin 得得其中其中11111116336iiiiiiiiiiiiiihhyyhhyyMMMMhh 上页上页下页下页由公式由公式nnmxSmxS) )( (, ,) )( (001. 边界条件为边界条件为11111(0)36(0)63iiiiiiiiiiiiiiiihhyyS xMMhhhyyS xMMh 00100001011111()36()63nnnnnnnnnhhyymS xMMhhhyymS xMMh 得得上页上页下页下页即即010122nnnMMdMMd 00100001011111()36