2-3连续型随机变量ppt课件

1、12n 连续型随机变量的定义与性质连续型随机变量的定义与性质n 几个常见的连续型分布几个常见的连续型分布31 1 连续型随机变量的定义连续型随机变量的定义一一 连续型随机变量的定义与性质连续型随机变量的定义与性质 假设假设 在某区间连续取值，且对任意在某区间连续取值，且对任意 ,存在可存在可积函数积函数 ，使，使Xab( )0,(,)f xx ( )baP aXbf x dx则称则称 是以是以 为概率密度函数简称密度函数或为概率密度函数简称密度函数或密度的连续型随机变量密度的连续型随机变量.X( )f x 2 2 概率密度函数的性质概率密度函数的性质( )0,( )1f xf x dx(1)(

2、1)(2)(2)( )baP aXbf x dx几何意义几何意义4(3) (3) 处处连续处处连续, ,从而在从而在 的连续的连续点点 处处 , ,故分布函数与密度函数故分布函数与密度函数相互确定相互确定. .( )( ),( )xF xf x dx F x( )f x0 x00()()F xf x 证明证明 设设 的分布函数为的分布函数为 ,由由(3)知知: 是连是连续的，故续的，故( ),0F x x X( )F x0( )()0P XcP cxXcF cF cx (5)(5)在在 的连续点处，由积分中值定理的连续点处，由积分中值定理, ,或或( )f x000()P xXxxf xx 0

3、00()P xXxxf xx (4) ,(4) ,从而从而 在在 与与 之间取值的概之间取值的概率与是否包含区间的端点无关率与是否包含区间的端点无关. .Xab0P Xc5它表示在它表示在 附近单位长度所具有的概率的近似值，附近单位长度所具有的概率的近似值，故故 称为概率密度函数，它与物理学中的面密度称为概率密度函数，它与物理学中的面密度的概念相类似的概念相类似0 x( )f x 留意留意: : 的密度函数不唯一，假设的密度函数不唯一，假设 为为 的概率密度函数，令的概率密度函数，令X( )f xX00() ,( )( ) ,cf xxxq xf x其它那么那么 亦为亦为 的另一概率密度函数，

4、从而求概率的另一概率密度函数，从而求概率密度函数时我们不必在意个别点处或有限个点处的密度函数时我们不必在意个别点处或有限个点处的值，特别概率密度函数在分段点处的值我们可以任值，特别概率密度函数在分段点处的值我们可以任意指定它的取值意指定它的取值.( )q xX6求求 及及6P XA例例1 设随机变量设随机变量 的分布函数为的分布函数为0 , 0( )sin , 021 , 2xF xAxxxX7二二 几个常见的连续型分布几个常见的连续型分布1 均匀分布均匀分布则称则称 服从区间服从区间 上的均匀分布，记为上的均匀分布，记为X , a b,XU a b若随机变量若随机变量 的密度为的密度为X1

5、,( )0 ,axbf xba其它直观理解直观理解:向向 随机投点，由于落入该区间上的概随机投点，由于落入该区间上的概率为率为1且落点均匀且落点均匀,由性质由性质(5)知知 的密度函数为的密度函数为另一理解另一理解:向向 随机投点随机投点, :落点刻度落点刻度,由由1例例4知知 , a bX , a bX0 ,1 ,( ) ,( )( )0 ,1 ,xaaxbxaF xaxbf xF xbabaxb其余,XU a b故82 指数分布指数分布 若随机变量若随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为 则称则称 服从参数为服从参数为 的指数分布，记为的指数分布，记为 .X ,0( ) ( 0)0 ,

6、0 xexf xx( )XEX 指数分布的性质指数分布的性质(1)(1)分布函数分布函数0 ,0( )1 ,0 xxF xex(2)(2)1212 (0), xxxP XxexP xXxee(3)(3)0,0,XsxxsPP XxXs9证明证明 (3)PXsXsxP XsxXsxPXsP XsP XssxxseeP Xxe无记忆性无记忆性例例2 使用了使用了 小时的电子元件在以后小时的电子元件在以后 小时内损坏小时内损坏的概率等于的概率等于 ，其中，其中 为不依赖于为不依赖于 的常数，的常数，假设在不相重叠的时间内，电子元件损坏与否是相假设在不相重叠的时间内，电子元件损坏与否是相互独立的，证明

7、电子元件寿命互独立的，证明电子元件寿命()tt ttt( )TE103 正态分布正态分布221( ),2xxexR221( ),2txxedt xR若随机变量若随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为 ，则称，则称 服从参数为服从参数为 的正态分布，记为的正态分布，记为 其分布函数其分布函数当当 时，称时，称 服从标准正态分布，记服从标准正态分布，记其概率密度函数及分布函数分别为其概率密度函数及分布函数分别为X2221( ),2xf xexR02, X2( ,)XN 2221( ),2txF xedt xR0,1(0,1)XNX 时时 的值可查附表的值可查附表3得，得， 时可由时可由求得求得

8、.0 x ( ) x0 x ( )1()xx 11 正态分布的性质正态分布的性质假设假设 ，其概率密度函数为，其概率密度函数为 ,那么那么2( ,)XN ( )f x(1) (1) 图形如图图形如图( )f x0 f x1x550.51.0 f xx1.50.7980.3990.2660渐近线渐近线对称轴对称轴为位置参数为位置参数( (决定对称轴位置决定对称轴位置) )为尺度参数为尺度参数( (决定曲线分散性决定曲线分散性) )愈小，分布愈集中在愈小，分布愈集中在 附近附近x中间大两头小中间大两头小12(2)(2)12P X222tedt(3)(3)( (称概率积分称概率积分) )*0,1XX

9、N(4) (4) 标准化随机变量标准化随机变量aP Xa (5)(5)baP aXb 1(0),()1( )2xx (6)(6)(7) (7) 法则法则: : 正态随机变量正态随机变量 几乎在几乎在 内取值，几乎不在内取值，几乎不在 外取值外取值, , 从而可认为从而可认为3)2,2(X)3,3( 3)0(3)1 ，13事实上事实上2222 PX (2)( 2)2 (2)10.9544 33 0.9973PX同理同理例例3 设设 ，且，且 ，求，求2(2,)XN240.3PX0P X 例例4 某地区考生数学成绩百分制近似服从正态分某地区考生数学成绩百分制近似服从正态分布，平均分布，平均分72分

10、，分，96分以上的考生占考生总数的分以上的考生占考生总数的2.3% ，求考生成绩在，求考生成绩在60分到分到84分之间的概率分之间的概率.(1)0.841,(2)0.977)例例5 公共汽车门高度是按男子与车门碰头的机会在公共汽车门高度是按男子与车门碰头的机会在0.01下设计的，设男子身高下设计的，设男子身高 , 问应如何问应如何选择车门的高度？选择车门的高度？(170,36)XN14例例1解法一解法一 由由 在在 处右连续得：处右连续得：( )F x2(0)(),122FFA即1|()()sin0.6666662PXPXFF解法二解法二 密度函数密度函数cos ,0( )( )20Axxf

11、xF x其它，由由 得得 ,从而从而20cos1Axdx1A601|cos.62PXxdx15例例2证明证明 设设 的分布函数的分布函数 时时,知知T( ),F tP Tt0t ()TttPttTt 即即(),P tTttttP Tt ()( )()1( )F ttF tttF t ()( )()()(1( )F ttF ttF ttt0t 令得( )(1( )(0)0F tF tF解此可分离变量方程得解此可分离变量方程得 ,故故 的密度函数为的密度函数为( )1tF te T, 0 ( )( )0, 0 tetf tF tt16例例3解解 ,欲求欲求0220()1P X 2422220.3240.5PX 20.8从而从而00.2P X (1)( 1)2(1)10.682p 查表从而17例例4解解 设设 : 考生成绩考生成绩 从而所求概率为从而所求概率为X2