2.1-第二型曲线积分ppt课件

1、l 第一节 第二型曲线积分 l 第二节 第二型曲面积分 l 第三节 各种积分的关系及其l 在场论中的应用 第七章第七章 向量函数的积分向量函数的积分( (一一) )、 第二型曲线积分的概念第二型曲线积分的概念1.1 1.1 第二型曲线积分的概念与性质第二型曲线积分的概念与性质引例：变力沿曲线所作的功引例：变力沿曲线所作的功分分割割：任任取取点点列列BAAAAAAnn ,121，把把曲曲线线段段 C 任任意意分分成成 n 个个有有向向小小弧弧段段), 2 , 1( 1niAAii ，第第 i 段段弧弧 iiAA1 的的长长度度记记为为is 。 x2AiA1 iA1A AA nAB ZyiToiM

2、),(),(iiiiiiiiiiiTsFTsFW 所所作作的的功功的的近近似似值值 niiiiiiiiniiTsFWW11),(),(其其中中 ),(iiiiTT 是是质质点点在在点点 Mi处处沿沿曲曲线线 C 的的单单位位切切线线向向量量。 .),(),(lim10 niiiiiiiidTsFW（二）、第二型曲线积分的定义（二）、第二型曲线积分的定义令令max1inisd ，iiiiiiAAM1),( ，作和式，作和式 niiiiiiiisTA1),(),(，其中，其中),(iiiT 是是 C 上点上点 iM处相应于所给方向的单位切线向量。处相应于所给方向的单位切线向量。 时时如果当如果当

3、0 d，和式的极限总存在，和式的极限总存在，则称此极限为则称此极限为 向量值函数向量值函数),(zyxA沿有向曲线沿有向曲线 C 的第二型曲线积分，的第二型曲线积分， 记作记作dszyxTzyxAC),(),( ，即，即 .),(),(lim),(),( niiiiiiiidCsTAdszyxTzyxA10可可以以证证明明，当当),(zyxA在在有有向向光光滑滑曲曲线线 C 上上连连续续时时， dszyxTzyxAC),(),( 必必存存在在。 设设kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( ， RdzQdyPdxdzdydxAdsTA ,。 上上式式是是第第二二型型曲曲线

4、线积积分分的的坐坐标标形形式式，因因此此第第二二型型曲曲线线积积分分 也也叫叫做做对对坐坐标标的的曲曲线线积积分分。 dszyxTzyxAC),(),( CdzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(,1,)()()(1222dzdydxdsdzdydxdzdydxT ， 通通常常将将dsT记记为为ds，即即,dzdydxds ， 则则第第二二型型曲曲线线积积分分的的向向量量形形式式为为 CdsA 。 若若C为平面有向光滑曲线弧，向量值函数为平面有向光滑曲线弧，向量值函数 jyxQiyxPyxA),(),(),( ，则有，则有 CCdyyxQdxyxPdsA),(),(。 ds称为称

5、为弧长向量微元弧长向量微元。 （三）、第二型曲线积分的性质（三）、第二型曲线积分的性质1 （线线性性性性）21 , kk设设为为常常数数，则则 . CCCdsBkdsAkdsBkAk 21212 2 （积分弧段的可加性）积分弧段的可加性）若曲线弧若曲线弧 C 由由21CC 与与首尾首尾 相接而成，则相接而成，则 . 21 CCCdsAdsAdsA3 3 （方方向向性性）若若 C是是与与 C 方方向向相相反反的的有有向向曲曲线线弧弧，则则 CCdsAdsA 。 1.2 1.2 第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算又设向量值函数又设向量值函数),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzy

6、xA 在在 C 上连续，则上连续，则 RdzQdyPdxdszyxACC ),()()(),(),()()(),(),(tytztytxQtxtztytxP dttztztytxR)()(),(),( （1 1）当当 C 是是平平面面曲曲线线，其其参参数数方方程程为为)( ),(tyytxx 时时， 则则有有 CCQdyPdxdsyxA),( dttytytxQtxtytxP)()(),()()(),( 。 注注: （2 2）若若平平面面曲曲线线 C 的的直直角角坐坐标标方方程程为为)(xyy ， axA 起起点点，bxB 终终点点，则则有有 CCQdyPdxdsyxA),(dxxyxyxQx

7、yxPba)()(,)(, 公公式式中中定定积积分分的的下下限限、上上限限分分别别为为对对应应于于 有有向向曲曲线线弧弧 C 的的起起点点、终终点点的的参参数数值值，下下限限不不一一定定 小小于于上上限限。 例例 1计计算算dxxyC ，其其中中 C 为为抛抛物物线线 xy 2上上从从 点点)1 , 1( A到到点点)1 , 1(B的的一一段段弧弧。 解解法法 1：将将所所给给积积分分化化为为对对 x 的的定定积积分分来来计计算算。 xy ，需需分分段段，C=AO+OB， AO：xy ，x：01； OB：xy ， x：10； xxy 2yo)1, 1( A)1 , 1(B.54d2d )d(1

8、 0 1 0 0 1 x xxxxxxxx dxxydxxydxxyOBAOC 解解法法 2 2：将将所所给给积积分分化化为为对对 y 的的定定积积分分来来计计算算。 C：2yx ，y：11 。 xxy 2yo)1, 1( A)1 , 1(B dxxyCdyyyy)(21 1 2 .5421 1 4 dyy例例 2计算曲线积分计算曲线积分dyyxdxyxC)()( ，路径，路径 C 是是 （1）圆弧）圆弧 AB； （； （2）折线）折线 AOB。 解解： （1）圆圆弧弧AB的的参参数数方方程程为为 tx cos ，ty sin ；20 : t。 tttttttd)cossin(cos)sin)

9、(sin(cos20 . 1sin2cos220 dtttdyyxdxAByx)()( xyo)0 , 1 (A) 1 , 0(BdyyxdxyxAOB)()( dyyxdxyxAO)()( . 12121)(1 0 0 1 dyyxdx 从从例例 2 看看出出，虽虽然然沿沿不不同同路路径径，但但曲曲线线积积分分值值可可以以相相等等。 （2）AO的的方方程程为为0 y，x：01，0 dy； OB的的方方程程为为0 x，y：10，0 dx。 dyyxdxyxOB)()( xyo)0 , 1 (A) 1 , 0(B例例 3计算曲线积分计算曲线积分ydxdyxC ，其中积分路径为，其中积分路径为 （

10、1）在椭圆）在椭圆12222 byax上，从上，从)0 ,(aA经第一、二、三经第一、二、三 象限到点象限到点), 0(bB ； （2）在直线）在直线bxaby 上，从点上，从点)0 ,(aA到点到点), 0(bB 。 xyo)0 ,(aA) ,0(bB .2323 0abdtab dttatbtbtaydxdyABx)sin(sincos cos23 0 xyo)0 ,(aA) ,0(bB 解： （解： （1）椭圆）椭圆12222 byax的参数方程为的参数方程为 tbytaxsincos，且起点，且起点 A0 t，终点，终点 B23 t， dxbxababxydxdyxaAB)(0 （2）

11、线线段段 AB 的的方方程程为为：bxaby ， 起起点点 Aax ，终终点点 B0 x，dxabdy ， .0 abdxba 从例从例3看出，虽然两个曲线积分的被积函数相同，起看出，虽然两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同，但沿不同路径所得的值并不相等。点和终点也相同，但沿不同路径所得的值并不相等。xyo)0 ,(aA) ,0(bB 解解：直直线线 AB 的的点点向向式式方方程程为为312111 zyx， 参参数数式式方方程程为为 tztytx31211， dzyzyyxdx)13(d2 dttttt31)2(1)33(12)2(1)(10 1 2 .3223)8306(20 1 dttt例例 4计算曲线积分计算曲线积分 dzyzdyyxdx)13(2， 是是从从点点)4 , 3 , 2(A到到)1 , 1 , 1(B的的直直线线段段。 起起点点 A1 t，终终点点 B0 t。 单单位位切切向向量量cos,cos,cos,1 dzdydxdsT， dsdx cos，dsdy cos，dsdz cos。 其其中中 cos , cos , cos是是 C 上上点点),(zyx处处对对于于 所所给给方方向向的的单单位位切切