四章导热问题的数值解法ppt课件

1、第四章 导热问题的数值解法Numerical method for heat conduction1 求解导热问题的三种根本方法： (1) 实际分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法2. 三种方法的根本求解过程: (1)实际分析方法: 直接对微分方程在给定的定解条件下进展积分，获得解析解 (close solution) (2) 数值计算法: 把在时间和空间延续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来替代，经过求解按一定方法建立起来的关于这些点上的物理量值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解(numerical solution) (3) 实验法: 在传热学根本实际

2、的指点下，采用实验的方法对所研讨对象的传热过程进展实验研讨，从而求得所求量的方法3 三种方法的特点三种方法的特点(1) 分析法分析法 a 能获得所研讨问题的准确解，可以为实验和数值计能获得所研讨问题的准确解，可以为实验和数值计算提供算提供 比较根据；比较根据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解；局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响明晰可见。分析解具有普遍性，各种情况的影响明晰可见。(2) 数值法数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺陷，顺应性在很大程度上弥补了分析法的缺陷，顺应性 强，特强，特别对于别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比本钱低。复杂问题

3、更显其优越性；与实验法相比本钱低。(3) 实验法实验法 传热学的根本研讨方法，传热学的根本研讨方法，a 顺应性不好；顺应性不好；b 费用昂费用昂贵。贵。 数值解法：有限差分法数值解法：有限差分法(finite-difference method)、有限元法有限元法(finite element method)、 有限体积法有限体积法(finite volume method)、边境元法、边境元法(boundary- element method)、离散元法、离散元法(discrete element method) 传热物理问题的数值求传热物理问题的数值求解过程解过程建立控制方程及定解条件区域

4、离散化建立节点物理量的代数方程求解代数方程组获得数值解并分析结果4.1 有限差分法的根本原理 将求解区域离散、以节点网格替代物体，以每个节点的温度作为未知量 在节点上用差分替代微分，将微分方程式近似地变成差分方程式线性的代数方程组 解此代数方程组，得到节点上温度的近似值1、根本思想：)(xf0 x函数 在点 的泰勒级数展开方式为： )(! 3)()(! 2)()()()()(030020000 xfxxxfxxxfxxxfxf 函数 、 、 、 在点x的泰勒级数展开式分别为：)(hxf)(hxf)2(hxf)2(hxf )(! 3)(! 2)()()(32xfhxfhxfhxfhxf )(!

5、3)(! 2)()()(32xfhxfhxfhxfhxf )(34)(2)(2)()2(32xfhxfhxf hxfhxf )(34)(2)(2)()2(32xfhxfhxf hxfhxf(a) (b) (c) (d)2、函数、函数 fx在点在点 x 的导数的有限差分表达式：的导数的有限差分表达式：由式(a)得：()( )( )( )f x hf xf xO hh由式(b)得：( )()( )()f xf xhfxO hh由式(a)与式(b)相减得：2()()( )( )2f x hf x hf xO hh由式(a)和式(c)消去)(xf得：22( )(2 ) 2 ()( )( )f xf x

6、hf x hf xOhh由式(b)和式(d)消去 )(xf得：22( )(2 ) 2 ()( )( )f xf xhf x hf xO hh(e)(f)(g)(i)(h)由式(a)和式(b)消去)(xf得：32()() 2 ( )( )( )f x hf x hf xfxO hhh2h3h由(e)式(j)式分别略去 以上各项得一阶、二阶导数向前、向后及中心差分公式为： 、及(j)、一阶导数向前差分： 一阶导数向后差分： 一阶导数中心差分： hxfhxfxf)()()(hhxfxfxf)()()(hhxfhxfxf2)()()(二阶导数向前差分： 二阶导数向后差分： 二阶导数中心差分： 2)(2

7、)2()()(hhxfhxfxfxf 2)(2)2()()(hhxfhxfxfxf 2)(2)()()(hxfhxfhxfxf x)(xfhxhxx)( xf)(xfhxfhxfxf)()()(hhxfxfxf)()()(hhxfhxfxf2)()()(一阶导数的差分及其误差：引入以下关系式：11,(1) ,(1)( ),(),()iiixih xhih xhihf xff xhff xhfx函数 fx在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：图4-2 有限差分表达式的几何意义式中： iixffddiixff22dd向前和向后差分的误差比中心差分的误差高，中心差分运用较广。 111112

8、22121122222iiiiiiiiiiiiiiiiiiffhffhffhffffhffffhffffhiii一阶导数向前差分：f一阶导数向后差分：f一阶导数中心差分：f二阶导数向前差分：二阶导数向后差分：二阶导数中心差分：4.2 稳态导热问题的差分表达式1。内部节点的差分方程式。内部节点的差分方程式 物理性质参数为常数的具有内热源的二维稳态导热物理性质参数为常数的具有内热源的二维稳态导热方程：方程：xix02222vqytxt图4-3间距为x、y的矩形网格a 将整个区域划分步长为 的矩形有限差分网格，节点 的坐标 (x，y)为：xy、pxixyjy( , )p i ji、j为整数节点P的温

9、度tx，y和热源 可表示为： ),(yxqvjiPtyjxityxt,),(),(jvivPvqyjxiqyxq,),(),(在节点P，温度对x和y的二阶导数的有限差分表达式： 2, 1, 1,2222)(2xtttxtxtjijijijiP21,1,2222)(2ytttytytjijijijiP将上式代入方程(a)中可得二维稳态导热方程的有限差分方式为：0)(2)(2,21,1,2, 1, 1jvijijijijijijiqytttxttt假设假定正方形网格为 ,那么： lyx04,2,1,1, 1, 1jvijijijijijiqlttttt物理意义：节点热平衡2 边境上节点的差分方程式

10、边境上节点的差分方程式1. 对流边境节点(i，j) 边境面上的节点(i，j)满足下面的第三类边境条件： fttxt图4-4 对流边境节点e假想节点 那么，在节点(i，j)处的导热方程的有限差分方式为： ),1(ji ， 04,2,1,1,1, 1jvijijijijijiqlttttt）（再利用中心差分公式，边境条件(e)式的有限差分方式为：ff,1),1(2ttlttjijiji(g) 联立式(f)和式(g)，并消去 得 jit),1( 0)2()24(2,2f,1,1, 1jvijijijijiqltltlttt假设图中所示边境为绝热边境，那么导热方程在节点(i，j)的有限差分方式可直接在

11、上式中令 得到，即 0042,2,1,1,1jvijijijijiqltttt2. 两对流边境相交处的节点(i，j)图4-4 对流边境节点由于其处于两个边境上，那么其边境条件为: f11ttxtf22ttxt在节点(i，j)处导热方程的有限差分方式可写为：04,2,1,1,1, 1jvijijijijijiqlttttt）（）（边境条件的有限差分方式为： f1,1, 1),1(2ttlttjijiji f2,2)1(,1,2ttlttjijiji(j)(k)(m)联立式(j)、式(k)和式(m)，并消去 和 得：jit),1( )1(,jit0)22()224(22,2f21,211, 1jv

12、ijijijiqltlltlltt假设两个边境都是绝热的，在上式中令 得 ：0210422,2,1,1jvijijijiqlttt用有限差分法求解二维稳态导热问题的步骤：1 领域划分。 将物体分割成很多小方块，以每个小方块的中心为节点，构成有很多节点的网络。2 列方程。根据表4-1中所列出的公式，找出对应节点的节点方程。有多少个温度未知的节点就列出多少个方程，将这些线性方程组成线性方程组。3 求解线性方程组。便得到各节点的温度值。 计算精度取决于网格疏密程度。对于传热和流膂力学问题的求解，普通以为差分法优于其他数值方法。4.3 线性代数方程组的求解4.3.1 直接法 高斯一约当消元法 对于n阶

13、线性方程组 ), 2 , 1(1nibxanjijij用矩阵方式表示 nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211消元步骤： (1)首先使第一行主对角线上的元素为主元素绝对值最大的元素。假设主对角线上的元素不为主元素，那么可以利用换行的方法把主元素调到主对角钱上来，使得其绝对值最大。再将第一个方程乘以分别与第i个方程相加i2，,n得一个新的n阶线性方程组)1()1(3)1(21321)1()1(3)1(2)1(3)1(33)1(32)1(2)1(23)1(221131211000nnnnnnnnnbbbbxxxxaaaaaaaaaaaaa第一列中主元素以下的各

14、元素都化为零 11a111/aai(2)对n-1阶线性方程组), 2(2)1 ()1 (nibxanjijij进展消元，消元法同上，经过消元以后得另一个新的n阶线性方程组)2()2(3)1(21321)2()2(3)2(3)2(33)1(2)1(23)1(22113121100000nnnnnnnnbbbbxxxxaaaaaaaaaaa(3)用同样方法进展n1次消元，最后能得到一个三角形矩阵，消元过程终了。三角形矩阵为= ) 1()2(, 1)2(1, 1)2(3)2(1, 3)2(33) 1 (2) 1 (1, 2) 1 (23) 1 (2211, 11312110000000000nnnn

15、nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaannxxxxx1321) 1() 2(1) 2(3) 1 (21nnnnbbbbb回代步骤从第n个方程可得) 1() 1(nnnnnnabx再将解得的 代入第n-1个方程解出 ，再将 ，代人第n-2个方程解出 。如此不断地回代，最后可解得 。以上的消元过程及回代过程都可编成计算机通用程序。 4.3.2 迭代法迭代法-逐渐逼近求解方程的方法逐渐逼近求解方程的方法 分类：简单项选择代法和高斯一赛德尔迭代法 简单迭代法简单迭代法 ：)(11nijjjijiiiixabaxni, 2 , 1), 2 , 1(1nibxanjijij将方程改写为nx1

16、nxnx1nx2nx1x假定初值为 )0()0(2)0(1,nxxx将其代入方程上式得)(101)1(nijjjijiiiixabax）（ni, 2 , 1此式为解的第一次近似，把第一次近似得到的解再代入前式，得到解的第二次近似。在已得到解的第k次近似 后，代入前式的右端，得)(kix)(11)1(nijjkjijiiikixabax）（ni, 2 , 1*为解的第kl次近似。只需方程组存在独一解，且采用适当的迭代，那么不论初值如何选取，当k充分大时，所得到的解必然收敛，且收敛于方程组的解。实践计算中 )()1(kikixxni, 2 , 1就终了迭代过程，而取 ( )作为方程组的近似解。 )

17、 1( kixni, 2 , 1高斯一赛德尔迭代法高斯一赛德尔迭代法 )(1)(11) 1(1) 1(nijkjijijkjijiiikixaxabax将*式改写为 计算机只需一套单元存放 或 ，节省了任务单元。同时，由于在迭代过程中尽能够地采用了新值，加快了收敛速度。)(kix) 1( kix例4-1如下图为物体的一部分。上外表绝热，左侧面为对流边境，下外表与右侧面温度给定，物体的导热系数为，试用高斯一赛德尔迭代法求节点1、2、4、5的温度。解列出各节点的差分方程，并留意区域无内热源，使。2=28W/(mK)23.5W/(mK)78936f38 C10 C0 Ctttttt，241f(2)0

18、alaltttt5132f222(4)0alalttttt 5174240tttt15xylcm 2468540ttttt节点1 节点2 节点4节点530cm30cm1123456789其中，把各知量代入上面各节点方程，整理得：假定各节点的初始值为进展迭代计算，各次迭代计算结果列于表4-2。228 15 10 /3.5 1.2al1240.31()ttt2150.160.311.56ttt4150.250.59.5ttt5240.25() 12ttt12455 C,20 Ctttt 节点温度节点温度迭代次数迭代次数05.005.0020.0020.0017.759.0021.4419.6129

19、.449.1521.6719.7139.559.2021.7419.7449.609.2221.7719.751t2t4t5t4.4 非稳态导热问题的有限差分法 稳态导热 ：边境值问题 非稳态导热 ：初值问题、边境值问题 非稳态导热过程的有限差分法： 也是将导热微分方程变成差分方程。 节点温度不仅和周围节点温度有关，而且还和时间有关。将时间用等间隔划分为假设干等分，那么当需求确定kl时辰的温度分布时必需知道前一时间间隔k时辰的温度分布。 空间离散和时间离散二维非稳态导热微分方程式的有限差分表达式二维非稳态导热微分方程式的有限差分表达式常物性、无热源二维非稳态导热问题的微分方常物性、无热源二维非

20、稳态导热问题的微分方程式：程式：)(2222ytxtat将求解区域离散成有限个网格，从过程开场起计算，以 划分时间间隔，以k表示其序号。节点 在 时辰的温度可表示为： ),(jikkjit, (4-23)i xi yyxxyyxkjit,oook节点 时辰的温度对坐标的二阶导数的中心差分公式为 ( , )ki j 在)2()(1)(, 1, 12),(22kjikjikjikjitttxxt)2()(1)(,1,1,2),(22kjikjikjikjitttyyt(a) (b) 对时间的一阶偏导数的向前差分可表示为)(1)(,1,),(kjikjikjittt(c)取 ，再将式(a)、(b)、

21、(c)代入微分方程式(4-23)得 lyxkjikjikjikjikjikjitlattttlat,21,1, 1, 121,)41 ()(4-24) (4-25) 以准那么 代入上式，得二维非稳态导热的节点差分方程 20laFkjikjikjikjikjikjitFttttFt,01,1, 1, 101,)41 ()( 知初始时辰各节点温度时,可由上式计算出下一时辰各节点的温度。对各个节点列式，不需解联立方程，式4-24称为显式格式。 对于一维非稳态导热问题可用同样的方法得到其节点差分方程。 kikikikitFttFt)21 ()(01101 (4-26) 差分方程求解非稳态导热问题时收敛

22、与稳定的必要条件 ：式4-24及式4-26右端第二项能够出现负值而导致温度计算值动摇，出现不稳定。为防止这种异常情况出现，在选择 、 和 时，必需满足下面的条件： xy对于一维非稳态导热问题对于二维非稳态导热问题20laF21 20laF41 Why?Because:对于一维非稳态导热问题kikikikitFttFt)21()(01101假设右端第二项出现负值，即20laF21 不合理ikkk+1ii那末， 点 时刻的温度t 越高,则其k+1时刻的温度t就越低。边境条件的有限差分表达式边境条件的有限差分表达式 知对流换热系数 和流体的温度 恒定，边境条件为ft)(fttt 对于一维问题如下图的

23、边境点1，假设在边境点1以外再虚设一节点0，根据式4-26得到其差分方程 ：kkkktFttFt1002011)21 ()(边境条件式a的中心差分公式为ab)()(2f102ttttxkkk (c) ftxxx120联立两式消去虚设节点的温度 ，并令 ，得kt0 xBikiikktFFBtBtFt100f2011)221()(2(4-29)式4-29计算值稳定的条件为 022100FFBi即2210iBF对于第二类边境条件，当q=0时，绝热边境条件的差分方程可在式4-29中令 ，即 得到00iBkkktFtFt102011)21 (2 (4-31) (4-30) (4-29) 例4-2 保温炉内隔墙由耐火粘土砖构成。停炉检修时此隔墙由 800开场降温，问壁面温度降至150以下需求多少时间？隔墙厚160mm，资料的导温系数 ，导热系数 。隔墙外表由于冷空气的自然对流而冷却，对流换热系数 ，空气温度 。请列出降温2、4、6、8、10h时的温度分布。为简化计算可把隔墙视作无限