详解曲线拟合PPT课件

1、插值与曲线拟合插值与曲线拟合第一节第一节: :插值插值插值的目的插值的目的知三角函数表知三角函数表x901290189024sinx 0.1599 0.1616 0.1633查查 9020求函数近似表达式及近似值求函数近似表达式及近似值一、拉格朗日型插值一、拉格朗日型插值1 1、线性插值、线性插值知数据表知数据表xx0 x1f (x)y0y1 x0 ，x1称为插值节点，线性插值多项式称为插值节点，线性插值多项式线线性插值函数为性插值函数为插值函数要满足：插值函数要满足：L1(x0) = y0 ; L1(x1) = y1)()()(11001xlyxlyxL其中其中线性插值基函数线性插值基函数满

2、足满足: :)()()(11001xlyxlyxL01011010)(,)(xxxxxlxxxxxl)(,)(10 xlxlkikixlki,0,1)(f (x)L1(x)1,0,(ki例例1 1、知数据表、知数据表解：解：基函数为基函数为x12f (x)0.950.82写出写出 f(x) f(x) 的线性插值函数的线性插值函数 , , 并求并求 f(1.5) f(1.5) 的的近似值。近似值。82. 0, 2;95. 0, 11100yxyxxxxxxxxl2212)(10101121)(0101xxxxxxxl线性插值函数为线性插值函数为08. 113. 0) 1(82. 0)2(95.

3、0)()()(11001xxxxlyxlyxL且且 f(1.5) L1(1.5) = 0.885 f(1.5) L1(1.5) = 0.885。二次插值多项式插值函数为二次插值多项式插值函数为二次插值基函数二次插值基函数)()()()(2211002xlyxlyxlyxL2 2、二次插值、二次插值知数据表知数据表xx0 x1x2f (x)y0y1y2)(,)(,)(210 xlxlxl满足满足kikixlki,0,1)()2,1,0,(ki二次插值函数仍要满足：二次插值函数仍要满足： L2(xi) = yi , i = 0 , 1, 2)()()(,)()()(21012012010210 x

4、xxxxxxxxlxxxxxxxxxl于是，易得：于是，易得：)()()(1202102xxxxxxxxxln次插值多项式插值函数为次插值多项式插值函数为)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn3 3、n n 次插值次插值 知知 y = f(x) 在在 n + 1 个节点个节点 x0 , x1 , , xn 处的处的函函数数 y0 , y1 , , yn 。)()()()()()()(11101110niiiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl其中：其中：n次插值基函数次插值基函数),2,1,0()(nixlikikixlki,0,1)(满足满足),2,1

5、,0,(nki010110)()(,xxxfxfxxf1、差商：、差商：二、牛顿型插值二、牛顿型插值称为函数称为函数 f(x) 关关于点于点 x0，x1 的差商。的差商。021021210,xxxxfxxfxxxf称为函数称为函数 f(x) 关关于点于点 x0 ，x1 ，x2 二阶差商。二阶差商。n 阶差商：阶差商：n - 1 阶差商的差商阶差商的差商011021210,xxxxxfxxxfxxxxfnnnn各阶差商的计算各阶差商的计算xif (xi)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商x0f (x0)f x0 , x1x1f (x1)f x0 , x1 , x2f x1 , x2

6、f x0 , x1 , x2 , x3x2f (x2)f x1 , x2 , x3f x2 , x3x3f (x3)差商表差商表2、牛顿型插值多项式、牛顿型插值多项式牛顿型插值多项式为牛顿型插值多项式为)(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxNn 知知 y = f(x) 在在 n + 1 个节点个节点 x0 , x1 , , xn 处的处的函函数数 f(x0 ) , f( x1 ) , , f( xn ) 。那么。那么)()(,11010nnxxxxxxxxxf第二节第二节: :曲线拟合曲线拟合一、最小二乘法一、最小二乘法 知知 f (x)的一组数据的一组数据

7、(xj , yj)(j = 1 , 2 , , n) , 要求要求构造一个函数构造一个函数)(x, 用用)(x来逼近来逼近 f (x)。不要。不要求求)(x经过一切数据点经过一切数据点 (xj , yj) , 数据普通有观测误差数据普通有观测误差,因此因此 , 曲线经过一切点，会使曲线保管全部观测误差。曲线经过一切点，会使曲线保管全部观测误差。求求)(x？设设称称), 2 , 1()()()(njyxxfxjjjjj为残差。为残差。 记记 njjjnjjyxQ1212)()(x确定确定的原那么的原那么, 使使 Q 获得最小值。获得最小值。求求)(x？j曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法二

8、、拟合函数二、拟合函数给定给定 f (x)的数据的数据 (xj , yj)(j = 1 , 2 , , n) , 用用mkkkmmxaxaxaxax01100)()()()()(来拟合函数来拟合函数 f (x) , 其其中中)(,),(),(10 xxxm为知的为知的线性无关的函数，求系数线性无关的函数，求系数maaa,10, 使使njjjmyxaaaQQ1210)(),( njjjkmkkyxa120)(在该点处获得最小值在该点处获得最小值 , 称称 )()()()()(11000 xaxaxaxaxmmmkkk为拟合函数为拟合函数 或阅历公式。或阅历公式。为为求拟合函数求拟合函数),(10

9、maaa),(10maaaQQ)(x, 由于点由于点的最小点的最小点 , 那那么么maaa,10应满足应满足 :0)()(210 jknjmijjiikxyxaaQ), 2 , 1 , 0(mk即即 亦即亦即引入记号引入记号:对于对于h(x) 与与 g(x) , 记记njjjnnxgxhxgxhxgxhxgxhgh12211)()()()()()()()(),()()()(101jknjjmiijknjjixyaxx (*), 2 , 1 , 0()()()()()()()(11111100mkxyxxaxxaxxajknjjjknjjmmjknjjjknjj称为称为h 与与 g 的内积的内积

10、且且 那么那么(*)可写可写成成 :(*),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000yyyaaammmmmmmm经过求解方程经过求解方程(*) , 求出求出njjjknnkkkkyxyxyxyxy12211)()()()(),(maaa,10。三、曲线拟合的步骤三、曲线拟合的步骤1、确定拟合函数的方式、确定拟合函数的方式1作出散点图或进展机理分析；作出散点图或进展机理分析；)(,),(),(10 xxxm2确定出拟合函数的方式。确定出拟合函数的方式。2、根据、根据(*)式式 , 求出拟合函数求出拟合函数(即求出即求出a0 , a1 ,

11、 , am3、检验修正、检验修正 , 重新拟合重新拟合四、多项式拟合四、多项式拟合当取当取时时 , 即即mmxxxxx)(,)(, 1)(10此时此时,多项式拟合多项式拟合kmkkmmxaxaxaax010)(njikjnjjijkikxxx11)()(),(因此因此 , (*) 为为注：当注：当 m = 1 时时, 直线拟合直线拟合 ; 当当 m =2 时时, 抛物拟合抛物拟合 。*jnjmjnjjjnjjmnjmjnjmjnjmjnjmjnjjnjjnjmjnjjyxyxyaaaxxxxxxxxn11110121111112111直线拟合直线拟合 ：拟合函数：拟合函数njjjnjjnjjn

12、jjnjjyxyaaxxxn11101211xaax10)(a0 , a1 满足满足:抛物拟合抛物拟合 ：拟合函数：拟合函数njjjnjjjnjjnjjnjjnjjnjjnjjnjjnjjnjjyxyxyaaaxxxxxxxxn1211210141312131211212210)(xaxaaxa0 , a1 , a2 满足满足:例例1、知、知536811202020410aaxaax10)(解解 ：数据点描画：数据点描画令令j1234xj2468yj2112840那那么么55. 6,5 .121*0aa解之得解之得xxy55. 65 .12)(故故例例2、知、知解解 ：数据点描画：数据点描画令

13、令那那么么2676.0,6053.3,4597.1321*0aaa解之得解之得22676. 06053. 34597.13)(xxxy故故xj1345678910yj1054211234102514732253173017381301738153381539210aaa2210)(xaxaax五、其它方式拟合五、其它方式拟合ln p = ln A + M x例例3、用形如、用形如 p(x) = AeM x 的函数拟合以下的函数拟合以下数据数据记记 ：y = ln p , a0 = lnA , a1 = M , 那那么有么有xj1234pj7111727解：由解：由 p(x) = AeM x 得

14、得xaaxy10)(且且xj1234yj = ln pj1.9452.398 2.8333.296于是于是 , 由由njjjnjjnjjnjjnjjyxyaaxxxn11101211解得：解得：a0 = 1.496 , a1 = 0.4488 。于。于是是464. 4e0aA4488. 01 aM,因此因此 p(x) = 4.464 e0.4488 x例例4、知、知解解 ：数据点描画：数据点描画tj123456789yj4.006.408.008.809.229.509.709.8610.001011121314151610.2010.3210.4210.5010.5510.5810.60(1

15、) 令令记记tj1234Xj1.000.500.330.25yj4.006.408.008.80Yj0.2500.1560.1250.114tbabatty/1,tbay11,1,1tXyY那那么么bXaY。解得：解得：a = 0.0847 , b = 0.1319 。即。即1319. 00847. 0tty(2) 令令记记tj1234Xj1.000.500.330.25yj4.006.408.008.80Yj1.3861.8562.0792.175tbaye那那么么tbay1lnlnbBaAtXyY,ln,1,ln那那么么BXAY解得：解得：A = 2.4297 , B = -1.0706

16、。即。即0706. 1,355.11BbeaA于是于是ty0706. 1e355.11那么那么 y = a0 + a1 x例例5、用形如、用形如 W = C t 的函数拟合以下数的函数拟合以下数据据解得解得 ：a0 = lnC =1.468 , a1 = = -0.1038 , 那么那么有有tj1248163264Wj4.22 4.02 3.853.593.443.022.59解解: lnW = lnC + lnt , 记记 y = lnW , a0 = lnC , a1 = , x = lnt1038.03405.4tW那那么么例例6、知、知xx1x2xnyy1y2yn解解:试用试用2ee)(210 x