(新教材)人教A版必修第一册基本不等式

1、第2课时基本不等式的应用课堂题型一利用基本不等式证明不等式经典例题例 1 已知 a、b、c0,求证：O2+b2+ta+b+c. b c a【解析】/a, b, c,1均大于0,b c aa2a2- b + b 2#b= 2a.21当且仅当M=b时等号成立.bb2、c b T + cA2- c=2b.cc当且仅当b = c时等号成立. c22c 一 c -T+ a2/- a = 2c,a； a当且仅当c=a时等号成立. aa2 b2c2相力口得 77+b+；T+c+二+an 2a+ 2b + 2c, b ca. a2 b2 c2、一 . -+_+-a + b+c.b c a状元随笔判断a, b,

2、 c,彳，bc,葭均大于0 一证b + bn2ab证一十 cn 2b c2证:+a“c-得所证不等式方法归纳在利用a + b2VabBt, 一定要注意是否满足条件 a0, b0.(2)在利用基本不等式a + bA2遍或a+ b2通(a0,b0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式.(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用.跟踪训练1已知x0, y0, z0.求证:y z x z a + x+一y)证明：因为 x0, y0, z0,所以)2xyz0， x x xx z、2 xz c-+-0,y y yx y、2 xy 八-0,z z z所以(x+xix+zii

3、+zy syyz / yxy z 厂 xyz=8,当且仅当x=y=z时等号成立.分别对y + z, x+z, x + y用基本不等式？同向不等式相乘. x x y y z z题型二利用基本不等式解决实际问题教材P47例4例2某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，具容积为4 800m3,深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多 少？【解析】设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 x m, y m,水池的总造价为z元.根据题意，有z=150X4 8003+ 120(2X3x+ 2X3y)= 240 000+ 720(x

4、 + y).由容积为4 800 m3,可得3xy= 4 800.因此 xy= 1 600.所以 z 240 000+ 720X24xy,当x=y = 40时，上式等号成立，此时 z= 297 600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.状元随笔 贮水池呈长方体形，它的高是 3 m,池底的边长没 有确定.如果池底的边长确定了,那么水池的总造价就确定了.因此, 应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.教材反思利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题， 再利用数学知识(函数及不等式性质等)

5、解决问题.用基本不等式解决 此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的 变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或 最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.跟踪训练2某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于 捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每 年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元.则y=50n_98_；1

6、2Xn+n2 1)x 4=2n2+ 40n-98= 2(n- 10)2+ 102,当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.(2)年平均利润为一布+鲁20日2249 n-20= 12,49当且仅当n=49,即n = 7时上式取等号.所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元.状元随笔 1.盈利等于总收入一支出，注意支出，由两部分组 成.2.利用基本不等式求平均利润.时训3学I业:达标一、选择题111,1 .已知a, b, c,是正头数，且a + b+c= 1,则三十二十二的取小 a b c值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12解析：. a+b+ c= 1,m 11+h+rKa +

7、b + c）=3+-a+ a b c p b c /ba+ c + + c3 + 2+2+2=9,当且仅当 a=b=c=1 时，等号成 a c a c b3立.答案：C2#aXa+6)(6WaW3)的最大值为()9A. 9 B.23 2C. 3 D. 2解析：因为一6WaW3,所以3 aA0, a+60,则由基本不等,、一,.!0a)+ (a+6) 9 式可知，7(3 aXa+6)w2=2，当且仅当 3 a= a + 6,一 3 . 一一即a= 2时，等号成立.答案：B3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 4.5 m2的直角三角形框 架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理 (够用且浪费最少)的

8、是 ()A. 9.5 m B. 10 mC. 10.5 m D. 11 m解析：不妨设直角三角形两直角边长分别为 a, b,则ab= 9,注 意到直角三角形的周长为l=a+b+ a2 + b2，从而l = a+ b+Ja2+b2 42牺+ V2ab= 6+32= 10.24,当且仅当a= b = 3时，l取得最小值.从最节俭的角度来看，选择10.5 m.答案：C一，一94.已知函数y= x4+t（x 1）,当x=a时，y取得取小值b,x十1则 a+b=()A. - 3 B. 2C. 3 D. 899 t_角牛析：y=x4 += x+1 +- 5.由 x1,得 x+10,9n0,所以由基本不等式

9、得 y = x+ 1 +9-52A /(x+ 19-x+1x+1 lx+1，一，9 5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号，所以a= 2, b=1, a+ b= 3.答案：C二、填空题5 .某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的 关系为y=-x2 + 18x-25（x N*）,则该公司年平均利润的最大值是 万元.解析：每台机器运转x年的年平均利润为y= 18- x+25 I,而x0, x 0）,由 xy=2x + y+6A2V2xy + 6,即 t2A2/2t + 6, （t3也）（t+亚）A0,.tn3V2

10、,则 xy 18,当且仅当 2x=y,2x + y+6=xy,即x = 3, y=6时等号成立,.xy的最小值为18.答案：187 .某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙：每次都提价皇,若pq0,则 提价多的方案是.解析：设原价为1,则提价后的价格为方案甲：(1 + p%)(1 + q%),方案乙:p+q 1+ 2%2,1 + p% + 1 + q% =p+q1+2%,8.已知 a0, b0,a + b= 1,求证:1 1工 1) c b+aR+b 尸9证明：.a0, b0,a+ b=1,因为、/(1 + p%J(1 + q% 产且 pq0,所以 # + p%；(1 + q%)1 + p-2%, / 、即(1 + p%)(1 + q%) 1 + - 2所以提价多的方案是乙.答案：乙三、解答题)c b= 2 + - aa bb bYF+a小a)6, y6, xy=1 800).、讣 c16(2)万法一 S= 1 832-6x-yyb, a