高中数学(人教A版)选修1-1教案：3.2.2函数的最大值与最小值

1、课题20:函数的最大值与最小值教学目的:1. 使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间a,b1上所有点(包括端点a,b)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；2. 使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学过程：一、复习引入：1. 极大值：一般地，设函数f(x)在点xo附近有定义，如果对xo附近的所有的点，都有f(x)Vf(x°),就说f(xo)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(xo),xo是极大值点2. 极小值：一般地

2、，设函数f(x)在xo附近有定义，如果对Xo附近的所有的点，都有f(x)>f(x°)就说f(xo)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(xo),Xo是极小值点3极大值与极小值统称为极值注意以下几点：(i) 极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(ii) 函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(iii) 极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，Xi是极大值点，X4是极小值点，而f(X4)>f(Xi)(i

3、v) 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点、讲解新课:1函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间a,b1上的函数f(x)的图象.图中f(xi)与f(X3)是极小值,f(X2)是极大值.函数f(x)在a,b1上的最大值是f(b),最小值是f(X3).般地，在闭区间a,b上连续的函数f(X)在a,"上必有最大值与最小值.说明：在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.如函数f(x)=l在(0：)内连续，x但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极

4、值是比较极值点附近函数值得出的.函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间'-a,bl上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2.利用导数求函数的最值步骤：由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.设函数f(x)在a,b1上连续，在(a,b)内可导，则求f(x)在a,b】上的最大值与最小值的步骤如下：求f(x)在(a,b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在la,b上的最值12

5、108-6-A22y=x4-2x2+5二、讲解范例：例1求函数y=x4-2x25在区间L2,21上的最大值与最小值例2已知x,y为正实数，且满足x2-2x4y2=0,求xy的取值范围-4-2例3设-:a：1，函数f(x)=x3ax2b(-1_x_1)的最大值为321,最小值为-弓6,求常数a,b例4已知f(x)-log3axb,x(0,+乂).是否存在实数a、b,使f(x)同x时满足下列两个条件：(1)f(x)在(0,1)上是减函数，在1,+乂)上是增函数；(2)f(x)的最小值是1,若存在，求出a、b，若不存在，说明理由.四、课堂练习：1.下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值

6、B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M,最小值是m,若M二m,则f(x)()A.等于0B.大于0C小于0D.以上都有可能3函数y=x4-x3-x2，在1,1上的最小值为()43213A.0B2C1D.13124函数y=2xx2的最大值为()。A.仝B.1Cx十132D.325. 设y=|x|3,那么y在区间3,1上的最小值是()A.27B.3C.1D.16. 设f(x)二ax36ax2+b在区间1,2上的最大值为3,最小值为29,且a>b,则()A.a=2,b=29B.a2,b3C.a=3,b=2D.a=2,b=3五、小结：函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；函数f(x)在闭区间a,b1上连续，