高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)

1、高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)一、填空题(每小题3分，共15分)1、线性空间Px的两个子空间的交L1xIL1x2、设1，2,，n与1，2，n是n维线性空间V的两个基，由1，2,，n到1，2，n的过渡矩阵是C，列向量X是V中向量在基1,2,.,n下的坐标，贝U在基1,2,.,n下的坐标是3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A与B的关系是24、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：1,1,则其特征矩阵EA的标准形是5、线性方程组AXB的最小二乘解所满足的线性方程组是:二、单项选择题(每小题3分，共15分)1、()复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个线性

2、空间同构：(A) 数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；(B) 数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；(C) 数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；(D) 复数域C作为复数域C上的线性空间。2、()设是非零线性空间V的线性变换，贝U下列命题正确的是:(A) 的核是零子空间的充要条件是是满射；(B) 的核是V的充要条件是是满射；（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D）的值域是V的充要条件是是满射。3、（）矩阵A可逆的充要条件是：AA0；BA是一个非零常数；CA是满秩的；DA是方阵。4、（）设实二次型fXAX（A为对称阵）经正交变换后化为:2iyi22y2.2nyn,则其中的1,2

3、,n是：A1;B全是正数；C是A的所有特征值；D不确定(）设3阶实对称矩阵A有.三重特征根“2”则A的若当标准形是：200200200A020;B120;C120；002002012D以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打V,否则打“”）1、（）设V1,V2均是n维线性空间V的子空间，且V1IV20则VV1V2。2、（）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。3、（）同阶方阵A与B相似的充要条件是EA与EB等价。4、（）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四

4、、解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间P4中，定义线性变换：Aa,b,c,da,b,ac,bda,b,c,d1）求该线性变换在自然基：11,0,0,0,230,0,1,0,40,0,0,1下的矩阵A；2）求矩阵A的所有特征值和特征向量。2、（1）求线性空间Px3中从基I:1,x1,x12II:1,x1,x1的过渡矩阵；2（2）求线性空间Px3中向量fx12x3x22P40,1,0,022到基基I:1,x1,x1下的坐标。3、在R2中，a1,a2,b1,b2，规定二元函数：a1b1a1b2a2b14a2b21)证明：这是R2的一个内积2)求R2的一个标准正交基。五、证明题（每小题10分

5、，共30分）1、设P3的两个子空间分别为:W1X，X2，X3x.X2X30,W2X,X2，X3X,X2X33证明：（i）PWW2；（2）WW,不是直和2、设是数域P上线性空间V的线性变换，证明WL1,2是的不变子空间的兖要条件是AiWi1,2,.,r3、已知AE是n级正定矩阵，证明：(1) A是正定矩阵;(2) A2E3n答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间Px的两个子空间的交L1xIL1x02、设1，2,，n与1，2，.，n是n维线性空间V的两个基，由1，2,，n到1，2，n的过渡矩阵是C，列向量X是V中向量在基1，2,，n下的坐标，贝U在基1,2,，n下1的坐标是CX3、设A

6、、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A与B的关系是相似关系4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：1,21,100则其特征矩阵EA的标准形是°00015、线性方程组AXB的最小二乘解所满足的线性方程组是:AAXAB单项选择题（每小题3分，共15分）2、（A）复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A）数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域C作为复数域C上的线性空间。2、（D）设是非零线性空间V的线性变换，贝U下列命题正确的是：（A）的核是

7、零子空间的充要条件是是满射；（B）的核是V的充要条件是是满射；（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D）的值域是V的充要条件是是满射。3、（B）矩阵A可逆的充要条件是：AA0；BA是一个非零常数；CA是满秩的；DA是方阵。4、（C）设实二次型fXAX（A为对称阵）经正交变换后化为:222iyi2丫2.nyn,则其中的1,2,n是：A1；B全是正数；C是A的所有特征值；D不确定5、（A）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“2”则A的若当标准形是：200200200A020;B120；C120002002012D以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号

8、内打V,否则打“”1、（X）设V1,V2均是n维线性空间V的子空间，且ViIV20则VV1V22、（“）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。3、（“）同阶方阵A与B相似的充要条件是EA与EB等价。4、（X）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵5、（“）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间P4中，定义线性变换：Aa,b,c,da,b,ac,bda,b,c,dP4（1）求该线性变换在自然基：11,0,O,0,20,1,O,030,0,1,0,40,0,0,1下的矩阵A；（2）求矩阵A的所有特征值和特征向

9、量。10000100解：（1）线性变换在自然基下的矩阵是A1010（5分）0101（2）因为EA14所以矩阵A的所有特征值是12341解齐次线性方程组EAX0得矩阵A的所有特征向量：ki0,0,1,0k20,0,0,1，其中kk2不全为零。（5分）22、（1）求线性空间Px3中从基I:1,X1,X1到基2II:1,x1,x1的过渡矩阵；2）求线性空间Px3中向量fx12x3x2在基2I:1,x1,x1下的坐标。111解：（1）因为1,x1,x22121,x,x20120011111,1,222xx11,x,x201001所以1111111221,x1,x11,x1,x1012012001001

10、11111121,x1,x101201200100112421,x1,x1014001124即所求的过渡矩阵为014（5分）001222）因为1,x,x1,x1,x10120011故fx12x3x221,x,x231111221,x1,x12012224x13x1200132所以fx在基I:1,x1x21下的坐标是：4（5分）33、在R2中，a1,a2,b1,b2，规定二元函数：a1b1a1b2a2b14a2b23）证明：这是R2的一个内积4）求R2的一个标准正交基。1）证明：,a1b1a1b2a2b14a2b211b1a1,a21214b211因为14是正定矩阵，所以这个二元函数是R2的一个

11、内积。（5分）2）解：考察自然基11,0,20,1它的度量矩阵正是1114(2)解法二二：考察自然基11,0,20,111它的度量矩阵正是141110Dn1010r2K310101401CUiufi10311C21A/3011J31八运uuuuuuuuuu11/J311令：1,21,201朋即：2VV31,1则1,2是R2的一个标准正交基则1,2的度量矩阵是E，从而是R2的一个标准正交基令:1,02，1221,112111再令：111，22,111,112/11,1111“2兀1,1273（5分）五、证明题(每小题10分，共30分)2、设P3的两个子空间分别为：WX1,X2,X3X1X2X30

12、,W2X1,X2,X3为X2X30证明：（1）P3W,W2；（2）wW2不是直和。证明：（1）W1的一个基是：11,1,0,21,0,1W2的一个基是：11,1,0,21,0,1因为W1W2L12，V2其中1是wW2的生成元的一个极大无关组从而是W1W2的一个基,所以dimW1W23P3W1W2（5分）2、设证明:（2）因dimg2,dimW>即dimWiW2dimWl所以W,W,不是直和。（2）之证法二：因为WIW2所以W,W2不是直和。2,dimWW23dimW（5分）L0,1,1是数域P上线性空间V的线性变换，证明W的不变子空间的兖要条件是AiWi（充分性）设有AiWi1,2,.,rk11k22krrWL1,2,.,r1,2,.,rkiA1k2A2.krAr是的不变子空间。（5分）（必要性）设W2,.,r是的不变子空间,