高数(高等教育出版社)第一版,第二章习题详解参考

1、第二章习题解答参考习题2-11.设f(x)=8x，试按定义求f(1).f（1）=limo81x8lim8.X02设f(x)二ax2bxc,其中a,b,c为常数.按定义求f(x).axlimx0xcax2bxc22axxaxbxlimx02axb.3.证明（sinx）=cosx.证设fxsinx,则fXxfxsinxfXXfXfXlimX0XXsin-limcosxX2x2X02所以（sinx）=cosx.cosx,Xsinx2cosXXXSin-22XX2cosXsin22limX0XXXfXfX:=lim解xx034.下列说法可否作为f(x)在X。可导的定义1叫Hhx0f解不能因为从极限式中

2、不能判断fXo存在，也不能判断叫Hhx0f例如fXx在x0点不可导，但帆f（°h）hf（°h）hh叫Hh去卩存在.(2)limf(x0h)f(x0)和limf(x0h)f(x0)存在且相等;h0hh0h解可以.因为limf(x0h)f(x0)fX0，h0h-TimohmHhfXo，根据导数存在的充要5求下列函数的导数:(1)y(4)y(1)(2)(3)(4)(5)(3)yx37x；log-1X3y5x511x222x71xln13(5)(6)ylgx.5x4;1x321xln31x62xx222x77X；_1_6一6x5(6)6.已知物体的运动规律为t3(米),求这物体在t

3、2（秒）时的速度.因为3，vd；3t2，所以t2时，v232212.7.如果f（x）为偶函数，且f（0）存在,证明f(0)=0.证因为f(°)=讥,而f(x)为偶函数，故f(x)f(x),9fxf°limx°xf°f(°),x所以f(°)limx°所以f(°)=°.8.抛物线yx2在哪一点的切线平行于直线y4x5在哪一点的切线垂直于直线2x6y5°解由yx2，可得y2x，若切点为x°,x°，则依题设2x°4，即x°32时，切线垂直于直线1时，切线平行于直线

4、y4X5；2x°31，即11.讨论下列函数在°2x6y5°；-,9的切24所以抛物线yx2在点2,4的切线平行于直线y4x5在点线垂直于直线2x6y5°.9.在抛物线yx2上取横坐标为为1及X23的两点，作过这两点的割线,问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线解由题设可知y2x，所取的两点为1,1，3,9，连接两点的直线斜率为k4，依题设，应有2x4，即x2，所以所求点为2,41°.如果yfx在点4,3处的切线过点0,2，求f4.解依题设，曲线在点4,3处的切线为y3f4x4，1满足23f4°4，从而f414°处的连续性与可

5、导性:(1)y3x；(2)y21xsin,x°,x°,x°.解(1)因为limVxx°y°，所以y3x在x°点连续,，所以y3x在x°点不可导;而vx1而limlim2x°x°3x3(2)因为limxx02.1sinx,所以y2-1xsin,x0,0,在x0点连续,0.2.1xsinlim-x0xlimxsinx0所以y21xsin,x0,在x0点可导.0,0.12.、工sinx,设f(x)=axb,0处可导,求a,b的值.sinx,因为f(x)=axb,0处可导,所以!,i叫f(x)f0，且f又limx

6、0limf(x)x0f0rfxfIII11x0xlimfxf0x0xf(x)0,0xx0从而lim013.已知f(x)2x,x,limx0axsinx(0),b，故b解因为f(x)2x,x,所以f(0)limx0lim0所以a1.f(0)和f(0).f(0)limf(x)f0x0x2xlim0,x0x1，所以f(0)不存在.314.设函数f(x)=x3x,f(x).解当x0时，f(x)3x2，当0时,(x)3x2,当x0时，f(0)limx0lim0x3f(0)limx0limx00,所以f(0)0,所以f(x)=3x3x,15.设所给的函数可导，证明：(1) 奇函数的导函数是偶函数；偶函数的

7、导函数是奇函数;(2) 周期函数的导函数仍是周期函数.证(1)设fX为奇函数，贝Ufxfx，叫Hhmh叫Hh叫Hh叫-Jhfxhfxfxhfxfxlimlimxfx，于是h0hh0叫hX-T叫Hh所以fx为偶函数；相似地，若fx为偶函数，则Nxhhfxfx，所以fx为奇函数.(2) 设fx为周期函数，则存在T，使fxTfx，贝U所以fx也是以T为周期的周期函数.16. 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x于是分布在区间0,x上细棒的质量m是x的函数mm(x).应怎样确定细棒在点xo处的线密度(对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度)解设在X。处的线密度为xo，给

8、xo以x的增量，则在区间Xo,xx上细棒的平均线密度为mx0xmx0x故x0mx0xmx0limmx0x017. 证明：双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2.证由xya2可得y2-,X0x2,于是y,x0,若切点为x2aXo,一Xo2则该点处的切线为y生Xo2a2XXoXo,它与两坐标轴的交点分别为2Xo,O,0単Xo,所以所求三角形的面积为22xo2a2Xo2a2.18.设函数f(x)在xO处可导，试讨论函数|f(x)|在x0处的可导性.因为函数f(x)在x0处可导，所以limf(X)f0x0fO存在，f(x)|f0fxx0limxox，故而(1)若f(O)

9、0,由limf(x)f0x0O可知：f(x)x0，其中O，从而f(x)xfO此时fXx0limxOlimXX0x因止匕|f(x)|在xO点的左导数为右导数为f所以|f(x)|在x0处可导的充要条件是(2)若f(0)0，设f(0)0，则limf(x)0由保号性定理,当xUO,时，f此时有fxx0龙叫f(x)xO，相似地,若f(0)0，则x叫f(x)由保号性定理,O,当xUO,时,0，此时有fxxO0f(x)|fOXmof(x)f0总之，若f(x)在xO处可导，则当f(O)O时,|f(x)|在x0处可导；当f(O)O时，|f(x)|在x0处可导的充要条件是xx11习题2-2151求下列函数的导数:

10、(1)y3cos2x；(3)y2e3x4cos2x;(5)y3e4x1；(7)y1xlnx(9)y3xxes,inx;(2)y4sin(3t1)；(4)y(x1)5；(6)yx.1x2(8)y(x2x31)(x1)；(10)y2lnx3x3lnx2x3sin2x26sin2x；(2)y4cos(3t1)3t112cos(3t1)；(3)y3x2e3x4sin2x2x6e3x8sin2x;(4)y45(x1)x15(x1)4；(5)y3e4x4x04x12e;解(1)y3sin2x2x2x1x2x(6)21x22x_1x2;1x2(7)xlnxxlnx2Inxx(8)2x1(xxlnxInx1x

11、lnx2'(9)2x3xesinx(10)-3x2x3z21)(x3xxesinx3lnxx21)3(x3八xecosx2lnxx3223lnxx2.证明：(1)(cotx)csc2x;1)2(x1)25x22x2;3sinxxsinxxcosx；2xx9x4lnxx43x22x223lnxx(2)(cscx)cscxcotx证(1)(cotx)汐sinxsinxsinxcosxcosx2(2)(cscx)1sinxcosx2sinx3.证明：（1）(arccosx)(1)设yarccosx,由于xsiny,由反函数求导法则,arccosx2sinx1sinxcosxsinxCSCxc

12、otX.(2)(arccotx)则其反函数为cosy,1siny11cos2y（2）设yarccotx，则其反函数为coty,y0,由于xcsc2y,由反函数求导法则，arccosx12cscyJcot2y4.求下列函数在给定点处的导数:(1)y2cosx3sinx，求y(2)求f(2).解（1）因为y2sinx3cosx,所以n2sin4n3cos42(2)因为y2x31035.写出曲线y2x±与x轴交点处的切线方程.令y0，得曲线y2x2x2o1127，所以y2所以所求切线有两条，方程分别为4x2,y4x2.6.求下列函数的导数:(1)y(2x23)5；(2)2ysin(52x)

13、;(3)e3x2x13x22x13x26x2e3x(4)22cos(x)(x)2xcos(x2);(5)2cosxcosx2cosxsinxsin2x(6)2ia2x2a2x22x_2a2x2(7)1xkexe2x(8)2(arccosx)(arccosx)2(arccosx)_1_1x22arccosx丁；x<1(9)cosx1.sinxsinxsinxcotx；(3)y3x2e2x1.(4)ysin(x2);(5)y2cosx；(6)y22ax;(7)yarctanex；(8)y(arccosx)2;(9)ylnsinX；(10)yloga(x31)解(1)y5(2x23)4(2x2

14、3)20x(：2x：23)4;：2)yc;os(5222x)(52x)4xcos(52x2)；(10)3x23(x31)lna7求下列函数的导数:(1)yarccos(12x)；(2)(3)y1lnx.(4)1lnx(5)ynsinxcosnx;(6)(7)yarctanxe；(8)1x1x(9)y(1yyyyy.1arcsinxln(x.x21sin2x1sin2xlnln(lnx)a2);1 xarccottan一2 2解（1）y1(12x)2(12x)1(12x)21(2)y11x111Inx1Inx1x7(3)yInxInx2(5)y(4)yx2a2n1nsinxsinx2x2、x2a

15、2xx2a21ncosnxsinxsinnxnxn1nsinxcosxcosnxsinxsinnxn1nsinxcosn1x;(6)y11sin2xv1sin2x1sin2x1sin2x2cos2x1sin2x1sin2x2cos2xsin2xsin2x21sin2x12cos2x1sin2x1sin2x1sin2x2cos2xcos2x1sin2xarctan*arctanxarctan：x1.1e(7)yearctan.xex1x21xJx(8)y1ln(lnx)ln(lnx)11lnxln(lnx)lnx1xlnxln(lnx)(9)*1x1x21x、1x.1Jx1x_2_-1X1X11

16、X21'一.rx1x21x2217(10)y1Itan221 xtan-242tan-212x-sec一28.设f(x)当x0时,f(0)limx0所以f09.求函数解法1所以ysinx解法22xsec一22x4tan21cosx,ln(1x)0时，f(x)f(0)limx03cosxcosx,sinx,11Rxcosx1cosx0ln1xxcosx0limx0xsinx.limx0In2x2sin2xlimx0.xsin2.xsin丄0,x2cosxIne0,从而f(x)sinx,11xcosxxsinx,x0y(sinx)cosx的导函数.cosxcosxlnsinx因为y(sin

17、x)ecosxlnsinxcosxlnsinxcosxsinxsinxlnsinxcosxcosxsinxcosx2cosxsinxlnsinxsinx对数求导法，由ycosx(sinx)，得lnycosxln(sinx),两边同时对x求导,sinxInsinxcosxcosxsinxCOSX所以ysinx2cosxsinxlnsinxsinx10.设f(x)sinx，(x)x3，求f(x),f(x),f(x).19解因为f(x)sinx,(x)x3，所以f(x)cosx,(x)3x2,所以f(x)f3x2sin3x2,f(x)cos(x)cosx3,f(x)sinx3cosx3x33x2co

18、sx311.设f(x)存在，求下列函数的导数：(1)fn(cosx);(2)cosnf(x).解(1)fn(cosx)nfn1(cosx)f(cosx)nfn1(cosx)f(cosx)cosxn1nsinxf(cosx)f(cosx);(2)cosnf(x)ncosn1f(x)cosf(x)ncosn1f(x)sinf(x)fxnsinf(x)cosn1f(x)fx.12.求曲线fx2sinxsin2x所有具有水平切线的点.解因为fx2cosx2sinxcosx,令fx0，得cosx1sinx推得xk-,kZ，或x2所以所求的点为2k,3,20，于是cosx0，或sinx1,32k,kZ，2

19、32k一,1，其中kZ.2习题2-31. 求下列函数的二阶导数：(1)y3x5e(2)t.yesint;(3)y2sin:xInx;(4)ytanx；(5)yln(x、4x2);(6)y(1x2)arctanx.解(1)y3e3x5，y9e3x5(2)ytesintetcostetcostsint，21costsintetsintcost2etcost;23所以(3)ysiny2sin2x2sin2x(5)xcosxlnxInx2cos(6)2.y2secx,sin2x1Inxsin2xx2cos2x2xx<4x23x222x2xarctanx.2sinx2sinxcosxxsin2x.

20、2,sinxInx；xx222secxsecxtanx2secxtanx2x12、4x21x2,，求y（o）解设ux3,vy(5)(0)60.2arctanx3.设ux2,代入莱布尼兹公式,182x119022eC202xnu6,u0,n4；vnxe,5yuv45uv10uv10u106ex106xex53x2ex3xxen代入莱布尼兹公式，得v则u3x2,u6x,(20)y2xe,0,n2xe5u5uv(20)y2x2e20knC20uk018vC20uv19C；0uv20C；°x22202xe202xe9520xx24.试从丄导出：（1）密dyydyy；(y)3；(2)d3xdy

21、33(y)2(y)5yydx1解因为兰-，所以ydyd2xd1dydyyddxdxdy47d3xdydydxdy3dy3ydxy3dy3323y2yyyyy1yyy6y5y5.证明：函:数yGexe；C?ex(,G,C2是常数）满足关系式y2y解因为yCexC2ex所以yGxeC2xe(C1exC2exy2Gex2C2ex，所以y2y2Ge%2C2ex2GexC?ex0.6.求常数的值，使得函数yxe满足方程y5y6y0.所以y6y5y0.解因为yxe，y2ex，代入方程y因为0,R，所以25解得167.设fxsinxbsinxccosx，求常数b,c的值，使得f0g0，且f0解因为fxsin

22、xxbsinxccosx，所以fxcosxbcosxcsinx,所以由f0g0，可得csina，且bcosa.8.求下列函数的n阶导数.(1)nn1xa-ixna?xan1Xan（a1,a2丄an是常数）；(2)(3)2sinx;(4)(1)1x25x6n1ynxn3a2xLan1，2nqx2n4n3a2xLan2，根据幕函数的导数公式特点：每求导一次，幕函数降一次幕，故xXX(2) yexeex1,yexx2exexx3，由此可见，每求一次导数，增加一个所以ynexxn，nN;丄丄cos2x，22y2sinxcosxsin2xcos2x2y2cos2x2cos2x22y22sin2x22co

23、s2x3243_y2cos2x23cos2x42所以yn讥"t，nN(4)因为y1x25x6312x314123x3x3可见，1nx312n13Lnx31nn!xn13，同理，n1123Lnx2n11nn!x2n1，x2所以ynn1n!xn13n1x21nn!11n1n1x3x2习题2-41求由下列方程所确定的隐函数的导数dy:dx(1)xyexy0；(2)2x2yxy2y30;(3) exyylnxsin2x；(4)、x.y.a(a0的常数).解(1)将方程两边同时对x求导，得dydxxyeydyx一dxo,变形得：dxxyye1xy1xe(2)将方程两边同时对x求导，得22xy煜

24、y2x2yd;3煜0，将方程两边同时对x求导，得驟y燈鱼Inx2cos2x,dxx变形整理得：dy4xyy222?dx2x2xy3y_1_dy2ydx变形整理得：xydy2xcos2xyxyedxxlnxx2exy'(4)将方程两边同时对x求导，得变形整理得：dy1x0.dxVx2.求曲线x2y52xy0在点(1,1)处的切线方程.解将方程两边同时对x求导，得：2x5y4-dy2yxy0,dxdx将x1，y1代入，解得：dy110，dx1,1所以曲线在点(1,1)处的切线方程为：y1.n3. 已知ysinxcos(xy)0，求隐函数yyx在点0,-的导数值.2解将方程两边同时对x求导，

25、得:sinxycosxsin(xy)1dydxdx将x0,y-代入解得：I%d2ydx2（1）ytan(xy)；（2）y1xey；（3）yInyxy；（4）arctan，xlnx2解（1）将方程两边同时对x求导，得:dysec2(x4.求下列方程所确定的隐函数的二阶导数y)dy2y.dydx，解得dxcsc2(xy)，再求导,得:竺2csc(xdx2y)csc(xy)cotxydydx将dycsc2（xy）代入，整理得:d2ydx222csc(xy)cot将方程两边同时对x求导，得：芸eyxeyS，解得:dydxeyJ，再求导，得:xeey虬xeyeydxeyydyxe-dx2xey将鱼上V代

26、入，整理化简得:dx1xee2y2xeye2y3yxey将方程两边同时对X求导，得：舉ydx1黒，解得：dydx1lny，再求导，得：d2ydx2ydxlny2'将鱼dx1代入，整理化简得：d2y1lnydx23；ylny1dy(4)将方程两边同时对x求导,解得：dy，再求导，得：dxxy将3乞丄代入，整理化简得：dxxyT1_yx2x22x2y2'd2y13xdxyxy1®dxdx2x2，yd2y2x22ydx2x3y亠建12x2ydy5.用对数求导法求下列函数的导数:(2)y(tan2x)x；(3)yxx1x；解(1)两边取自然对数，得:(1)y(sin乂严；(4

27、)y(2x1x;(3xInycosxln(sinx),两边同时对x求导，得：丄鱼ydxsinxlnsinxcosxcosx-sinx整理化简得：dy(sinx)cosxsinxlnsinxcosxcotx;dx(2)两边取自然对数，得：Inyxln(tan2x)，两边同时对x求导，得：丄3|n(tan2x)x込2x2ydxtan2x整理化简得：dy(tan2x)xIn(tan2x)上匚;dxsin4x(3) 两边取自然对数，得：InyxInxInxIn1x1x两边同时对x求导，得:1得：dyInxIn1xx11ydxx1x整理化简得：dyxxInx1dx1x1x1x(4)两边取自然对数，得：I

28、nyIn(2x1)1.Inx2141In(3x1)Tnx1，8两边同时对x求导，得：1dy2131彳得:ydx2x12x4(3x1)8x16.求下列参数方程所确定的函数的导数dy:(1)xyacosbtbsinat(a,b为常数)asinbtbcosat(2)2at1t22(a为常数).a(1t2)t2解（1）abcosatabcosbtabsinat,所以dydxabcosbtabsinatabsinbtabcosatsinatsinbtcosat'cosbt因为赛22a1t22at2t2a1t2t22t22dydt2at1t2a(1t2)2t4att2t22x2x4(3x1)8x1

29、整理化简得：dy(2x1)、x,；(3x1hFl2dx所以理fJLdx1tt10处的切线方程与法线方程.解因为dxtetet,dy22tet(2t2tt)e,dtdt所以dy2t2叫to2,又xt01,yt00dx1tdx1故所求切线为：1y2x1，法线为：y丄x1.28.已知曲线te17.求曲线2t在ty(2tt)ettmtn在t0时过原点，且在该点处的切线与ypet2e2x3y50平行，求常数m,n,p.解因为竺2tm,dypet，故鱼出,dtdtdx2tm由题设可知：xt0n0,yt0p2e所以所求常数为：n0,p2e,m3e.注：此题的书后答案有误.9.求下列参数方程所确定的函数的二阶

30、导数dx2(1)t2t3(2)xetcostyetsint(3)xIn1t2ytarctant:以f(t)(f(t)存在且不为零)etcostetsint,鱼dtsintcostcostsint解dx(1)因为兰dt2t,dydt13t2,所以：y13t22t13t2t2d2y133t2；于是d13tdt2t221dx2dt2t2dx2t4t3；因为签etsintetcost,etsintetcostetcostetsintd2ydsintcostdt2dxdtcostsintdx2costsint2sintcost2costsint1etcostetsintetcost3sint(3)因为d

31、xdt2tdyt2dt1t22t1t2于是d2ydx212t4t1t2因为赛f(t),翠f(t)tff(t)tf(t)，所以黒t,于是d2ydx21r（t）1610将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，注水速率为4吨/分钟当水深为5米时，其表面上升的速率为多少解如图所示，设在t时刻容器中水面的高度为ht（米），此时水面的半径为rt（米），则依题意应有12htrtr2tht4t，而3 84所以ht4t，两边同时对时间t求导，1225，可得1h2t4，当ht5时，可求得竺4 dtdt所以当水深为5米时，其表面上升的速率为mmin.11汽车A以50公里/小时的速度向西行驶，汽车B以60公里/

32、小时的速度向北行驶，两辆车都朝着两条路的交叉口行驶.当汽车A距离交叉路口0.3公里,汽车B距离交叉路口0.4公里时，两辆车以什么速率接近解如图所示，设在t时刻，汽车A距离交叉路口xt,汽车B距离交叉路口yt,则两车之间的直线距离为st.x2ty2t，两边同时对时间t求导，可得dsdtxt空yt矽一dtdt，依题意可知,x2ty2tdxdt60，J./i13故当xt0.3，yt0,4时，赛0.3'I°0：26078，即当汽车A距离交叉路口0.3公里，汽车B距离交叉路口0.4公里时，两辆车以78km/h的速率接近.12个路灯安装在15英尺高的柱子上，一个身高为6英尺的人从柱子下以

33、5英尺/秒的速度沿直线走离柱子，当他距离柱子40英尺时，他身影的顶端以多快的速率移动解如图所示，设在t时刻，此人离灯柱的水平距离为xt，身影的顶端离灯柱的水平距离为yt,则依题意有:dx厂6ytxtdt5，15yt，可见yt|Xt，5dx3dt25，两边同时对时间t求导，得dydt所以他身影的顶端以feet/s的速率移动，与他离灯柱的水平3距离无关，只与他的前进速度、身高、灯柱高有关.习题2-51.函数yx2，求当x1，而x0.1，0.01时，y与dy之差是多少解当当x1，x0.1时，y1.1210.21，dy2xx0.2，所以ydy0.01；当x1，x0.01时，y1.01210.0201，

34、dy2xx0.02，所以ydy0.0001；2求函数yx2x在x3处，x等于0.1，0.01时的增量与微分.解因为yx2x，所以dy2x1x，当x3，x0.1时，y3.123.13230.71，dy0.7;当x3，x0.01时，y3.0123.013230.0701，dy0.07.3. 函数yx3x，求自变量x由2变到1.99时在x2处的微分.解因为yx3x，所以dy3x21x，当x2，x0.01时，dy32210.010.11.4. 求下列函数的微分(1)y2x2x213x3x4；(2)yx2xe;(3)yx(4)ytan2(1x2);2；1x(5)yIncosx3；(6)yaxesinbx

35、.解(1)dy14xx24x3dx;(2)dyx2x22x2x2x22edxxedxedxxe2xdxe12xdx；(3)dy2221xdxxd1x1xdxx2xdx1x21x221x22(4)dy2tan(12x)dtan(1222x)2tan(1x)sec(12x)d(1x2)4xtan(122x)sec(12x)dx;(5)dy3IncosxIn3dIncosx3lncosxln3dcosxcosx(6)dy3lncosxln3tanxdx;axaxedaxsinbxecosbxdbxaxeasinbxbcosbxdx5将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:(1)d(sintdt；(2

36、)d(sec3xdx;(3)d(.xdx;1x2(4)d(5)d(xexdx；(6)d(Inx,dx.解（1）1cos(2)tan3x3(3)1x2；(4)-arcta;aa(5)1 x2e;2(6)hn2x.26某扩音器的插头为圆柱形，其截面半径r为0.15厘米，长度L为4厘米,为了提高它的导电性能，要在圆柱的侧面镀一层厚度为0.001厘米的铜，问每个插头约需要多少克纯铜（铜的密度为8.9克/立方厘米,3.1416)解因为圆柱形的扩音器插头的体积为Vr2L，侧面镀层的体积约为VdV2rLr，当r0.15，r0.001,L4时，V23.14160.15340.0013.7699210，故所需铜

37、的重量约为m3.769921038.90.03355克.7设有一凸透镜，镜面是半径为R的球面，镜面的口径为2h，若h比R小h2得多，试证明透镜的厚度D2r解如下图所示，镜面半径R、镜面口径2h、透镜厚度D之间有关系:h2D2R2，化简得：h22RDD20，D1得:h22R21条2R一4R24h2Rh22R8利用微分求下列函数值的近似值(1)cos59°；(2)tan46°(1)cos59ocos60010180(3)cos(2)tan46otan45010tan1801.0349;(3)lg11lg10(4)e1.01e10.01(5)(6)lg11；(4)e1.01;(5

38、)(6)3996.31800.5151;4180tancossin1802sec180lg1010ln10e0.012.7455恳2；51510001100039.当|x|较小时，证明下列近似公式:(1)sinxx；(2)(1x)1.04349.9867.(3)ln(1x)x.解（1）cosx当|x|较小时，fsinxsinOcos0xx，所以sinxx设f(1x)，则fx(1x)1当|x|较小时，fX(1x)f1f1x1x，所以(1x)1x；(3)设fxln(1x)，则fx1r_x当|x|较小时，fxln(1x)f11xx，所以ln(1x)x.习题2-61.一飞机在

39、离地面2000米的高度，以200公里/小时的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影.试求飞机飞至该目标上方时摄影机转动的速度.解如右图示意，A为摄影目标，B为其正上方的点，设t时刻飞机离B点的水平距离为xt,摄影机镜头C与A点连线与飞机的水平飞行方向成夹角，则cot，xtx0200000，两边同时对时间200036002d1dxt1t求导，可得CSC，即dt2000dt362()00胸牛36s，当飞机飞至该目标上方时，-代入解得:ddt13605rad/s3622.一架飞机着陆的路径如图2-11所示，并且满足下列条件:(i) 降落点为原点，飞机开始降落时水平距离为l，飞行高度为h.(ii) 在

40、整个降落过程中，飞行员必须使飞机保持恒定的水平速度v.(iii) 垂直方向的加速度的绝对值不能超过常数k(必须比重力加速度小很多).(1)求一个三次多项式Pxax3bx2cx在开始降落和着陆的点对Px和Px施加一定的条件限制，使它满足条件i)；2根据条件（”）和期，试证明：Fk;（3）假设一条航线不允许飞机的垂直加速度超过k860哩小时2如果一架飞机的飞行高度为35000呎，速度为300哩小时，飞机应从距离飞机场多远处开始降落飞机位置为x,y.（4）画出满足问题（3）中条件的航线图.解假设从飞机开始着陆时计时，飞行时间为t,（1）如要满足条件（i），应有t0时，x3h，寻0;tT（T为着陆时刻

41、）时，Xy0，孚因为yPxax3bx2cxd，于是®dtdxx一dtc23ax2bxdxcdt所以应有al3bl2cl2d,3al2bl解得a2h3h产b严0,所以Px2h33h2产卩x；(2)由条件（ii）(iii)可知:dxdtd2ydt22h3产3h，可得:dydt6h2l3x6hxl2dxdtd2ydt212h有x6hdx2dt6h2产6hd2xdt2，所以0,l,应有12h6hv2(3)k860哩;小时235000呎350000305器6.6292哩,V300哩小时，由乎k,可解得l（平66.6292300286064.52(哩),即飞机应从距离飞机场约64.52哩的水平距离处开始降落.（4）满足条件（3）的航线为235000333