高考数列专题

1、第五讲等差等比1.在等差数列an中，=a3何，则E=（）A.0B.1c.-iD.-1或1直角三角形三边成等比数列,公比为2q，则q的值为（.5-1.51A.2B.2C.D.23已知数列an的前n项和Sn一9门，第k项满足5ak-8，则c.74已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且Bn的正整数n的个数是（）A.2B.3C.47n45n3，则使得anbn为整数5设等差数列耳的公差d不为0,a=9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则A.2B.46.等比数列的前n项和为Sn，已知S,2S2,3Ss成等差数列,C.6D.8则的公比为.等差数列的证明方法:1.定义法：an1-an=d（

2、常数）2.等差中项：对于数列，若2an1anan23.等差数列的通项公式:an=a1（n-1）d-该公式整理后是关于n的一次函数4.等差数列的前n项和Sn=n2an)Sn=na1sn=An2Bn等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即:A=2或2A=ab.等差数列的性质：1.等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第公差为d,则有an=am(n_m)d2.对于等差数列a,若npq,则anaapaq。也就是：3若数列；9n;是等差数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk,2k-Sk,3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k3k-k成

3、等差S3kaka2ka2ka3kSk数列。如下图所示:S2k_SkS3kS2k4设数列a;是等差数列，S奇是奇数项的和，S是偶数项项的和,性质：Sn是前n项的和，则有如下CD当n为偶数时,S偶-S奇=d?务_n1C当n为奇数时，则隔一$禺”中，Sffin等比数列的判定方法：an11定义法：若二q(q=0)2等比中项：若anan2=骞1，则数列方戏是等比数列。3. 等比数列的通项公式：如果等比数列Sn的首项是ai,公比是q,则等比数列的通项为n_1anpqnSn=ai(1q)(q右)Snq右)S_4等比数列的前n项和:C_qq当q=1时，Sn二冋2等比中项：如果使a,G,b成等比数列，那么G叫做

4、a与b的等比中项。那么G二ab。四.等比数列的性质：n项，am是等差数列的第m项，且m咗n,av即卩.a1an=a2an4-a3an-2-1.等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n-m公比为q，则有an二amq2.对于等比数列a若nm=uV,则an爲二au3.若数列nI是等比数列，Sn是其前n项的和，N,那么Sk,S2kSk,S3k-S2k成等比数列。如下图所示:SkS2kSkS3kS2k第六讲求通项公式1.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn二2(a.-1)，则a2等于(A.4B.2C.1D.-22.在数列an中，a1吐=2，且时anJ+(川gN)，则So3.在数列an中，若c=

5、1,a计=2an+3(n1),则该数列的通项an=4.对正整数n,设曲线y二xF-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列anxn1前n项和的公式是.25已知数列an的前n项和Sn二n-9n，则其通项a；若它的第k项满足5*a:8_丄6已知数列对于任意P，qN，有ap鸟二ap.q，若可9，则二a_fSi(nT)一、根据数列n的前n项和求通项Sn=印a?a3a.an一sn-sn_i(n_2)已知数列前n项和Sn,相当于知道了n2时候an,但不可忽视n=1.二、由递推关系求数列的通项a1. 利用迭加an-an=f(n)、迭乘n=f(n)、迭代。an2. 一阶递推K1二Paiq,我们通常

6、将其化为an1一A=Pan一A看成伽的等比数列。3利用换元思想(变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得an。4. 对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。bn=(n-1).【范例1】an满足a1=1且8an仙-16an1-2a“5=0(n_1).记(I)求b1、b2、b3、b4的值；(n)求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn.【变式】数列a中,耳=2,an+=an+cn(c是常数，n=1,2,3川)，且ai，a2，a3成公比不为1的等比数列.(I)求C的值；(|)求：af的通项公式.I范例2】设数列an的首项5an3-a2n二2,3,

7、4,(1)求an的通项公式；(2)设bn=乳3一2寺，证明bn51，其中n为正整数.32【范例3】由坐标原点0向曲线y=x-3ax5x=0）引切线，切于o以外的点pi（Xi，yi）,再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2（x2，y2）,如此进行下去，得到点列Pn（Xn,yn.求：（I）xn与xm（n-2）的关系式；（n）数列Xn的通项公式；【点睛】注意曲线的切线方程11:yyi=f（xi）（x-Xj的应用，从而得出递推式求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-

8、仁an,但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。3,2【变式】已知函数f（x）=Xx，数列丨xn|（xn0）的第一项xn=1,以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（xnf（xn.J）处的切线与经过（0,0）和（xn,f（xn）两点的直线平行。*2*求证：当n，N时，（i）xnxn第七讲数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。Snn(n-1)d2n(q=1)&T6(1qn)1-q(q=1)公比含字母时一定要讨论（理）无穷递缩等比数列时,a1U-q62.错位相减法求和：如:a等差,bn等比,求Qb-a2th川

9、卜anbn的和.3分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。2222224合并求和：如：求100-9998-972-1的和。5. 裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：n（n7）nn1 1(2n-1)(2n1)2(2n-12n1Jn(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)nn!二(n1)!-n!(n1)!n!(n1)!6.公式法求和kdn(n1)(2n1)nzk=1k3n(n1)27倒序相加法求和:a；a13a232a33nan*【范例1】设数列满足3,aN.(I)求数列耳，的通项；(n)设b，求数列bnr的前n项和Sn.a

10、n【变式】已知11二次函数y=f(X)的图像经过坐标原点，其导函数为f(X)=6x-2，数列%的前n项和为S1,点(n,5)(nN)均在函数y-f(x)的图像上。(I)、求数列an的通项公式；(n)、设bn二1,Tn是数列bn的前n项和，求使得：巴对所有n，N”都成立的最小anan120正整数m;【范例2】已1知数列an中的相邻两项a2k，a2k是关于x的方程x2-(3k2k)x3k-20的两个根，且a如wa2k(k=1,2,3,川).(1)求a1,a3,a5,a7；(II)求数列an的前2n项和S2n;【变式】在数?列an中，C=2,时=4-3n+j代N*.(I)证明数?列3n是等比数列；(

11、n)求数列an的前n项和Sn；(川)证明不彳等式Sn1w4Sn，对任意nN*皆成立.【范例3】已知a1=2，点(an,anJ)在函数f(x)二x22x的图象上，其中=1,2,3,(I)证明数?列lg(1an)是等比数列；(n)设Tn=(1aj(1a?)(1an)，求Tn及数列厲的通项；(川)记bn112-一1，求bn数列的前项和Sn,并证明Sn21anan23Tn-1第八讲数列综合1已知ab，2cd成等比数列，且曲线yx-2x3的顶点是(b,C)，则ad等于()A.3B.2C.1D.-22已知等差数列卅*的前n项和为S，若2=21，则a2a5a5a11=3.在等比数列1、a中戶2,前n项和为S

12、n,若数列1也是等比数列，则5等于()A.2n1一2B.3nC.2nD.才-1814.已知公比为q(0：q：1)的无穷等比数列各项的和为9,无穷等比数列各项的和为5.(i)求数列an的首项ai和公比q；(II)对给定的k(k=1,23(H,n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak-1的等差数列，求T的前10项之和；an3 1,anbn14 4【范例1】已知数列an，bn满足a1二2，b1=1，且bn13andbnJ144(n2)求数列玄的通项公式;(n)求数列、an的前n项和Sn；(I)令Cn=anbn，求数列cn的通项公式;(II)求数列an的通项公式及前n项和公式Sn【变式】在等差数列玄

13、*中,a1=1，前n项和$满足条件Snn1求数列：an的通项公式;记bn二anPn(P0)，求数列匕*的前n项和Tn。(理)在数列玄中,q=2，an1=入寺+富十+(2_&)2n(N)其中&0/、I1.A2.D3.B4.D5.B6.1.A2.35_J.【范例1】bn解析(I)整理得第五讲等差等比13第六讲求通项公式2n1_34.2n25.2n-10,84得an()由bn1-?bbn所以11,代入递推关系8a“16a*12a“5=0,bn2=0,即bn1=2b3,由a1,有=2,所以b24)-d4)蔦,一4是首项为-,公比q=2的等比数列，故=8,b3=4,b4旦33得anbn141&冃仃.1b

14、n12,即bnjn412 (n_1).由bn13 补211-21故s二aba2p川anbn=2(ab2川bn)n【变式】解：(I)a1=2，a2C，a23c，2因为ai，a2，a3成等比数列，所以(2c)=2(23c)，解得c=0或c=2.当c=0时，4=比，不符合题意舍去，故c=2.(II)当n2时，由于a2q=ca3a2=2can-可4=(n-1)c所以又a12c=2故an=2+n（n=n-n2（n=2,3川）当nd时，上式也成立,a*-a!=12（n-1）c=n（n卫c22所以an二n-n2（n二1,2,川）【范例2】3a*解：（1）由2n=2,3,4,，11an=；（1_an）整理得2

15、又17=0所以1一an是首项为1_a11公比为2的等比数列，得an=1-（1-ai）-1n_1（2）方法一:053由（1）可知2故bn0则b2b2=a；1（32an1）-a；（3-2寺）二bn1_bnl3-anI2丿3-232an七（32an），：nn又由（1）知a*0且可=1，故bn1-00，因此B:bn1n为正整数.30a2时，an二Sn-Sz二(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5当n=1时，a1=S1=3X122=6X1-5，所以，an=6n5(n=N)（n）由（i）得知bn=331(1_1)anan-1=(6n5)6(n1)5】=26n56n+1-111111(1-

16、7(厂石宀十(右-时2(116n1).1因此，要使2（16n1）20（nN”）成立的m,必须且仅须满足2m10,所以满足要求的最小正整数m为10.【范例2】（I）解：方程x2-（3k2k）x3k2k=0的两个根为x3kx2=2k时，x1-3，他=2，所以=2；=2时，X=6X2二4，所以33=4；二3时，=9X2二8，所以35二8时；=4时，x1=12,X2=16，所以37=12(II)解：S2na2川a2n=(361113n)(2221112n)=2【变式】解、（i）证明：由题设an1=4為-3n1,得內1-（nD=4（為-n）,nN又31一1，所以数列玄一门是首项为1，且公比为4的等比数列

17、.（n）解：由（i）可知an-nW,于是数列心二的通项公式为an皿n.所以数列的前n项和Sn4n-1n(n1)32（川）证明：对任意的nN,S4S牢十1（n+1）（n+2）441n（n+1）、12盼-4&=2i厂一尹“卄一4）三0所以不等式Sn1仝4Sn，对任意nN*皆成立【范例3】解：（I）由已知an1=2an,an1（an1/i印=2an11,两边取对数得lg(1an1)=2lg(1+an#)=2lg(1+坯)，即lg(1+a.)lg(1an)是公比为2的等比数列.n11卡12n1(*)Tn二(1aj(1a2)(1+an)七2。3，3223尹=3222+羽_32.n-1由()知lg(1a.

18、)=2lg(1y)=2nIg3=lg31an=3一a_32丄_1由(*)式得an(出):an1.二a02ana.十佝2)an11an2丄2anan1bn又-Sn=bib2+bn.2(l-I-1a2aia21+a3an丄)an1)an12n1-.=3-1,a2,an1=321Sn二1232-1又Tn22nJ-S!=32f3Tn-1=1第八讲数列综合1.B2.73.C【解析】因数列零为等比，则k二勿心，因数列：an1也是等比数列,11=+anan2n-12an“1一anan2anan2anan“22an-1a14.解：(i)依题意可知，1-qa21J-q2=9=815(an11)2=(an1)(an21)=a2则二an(1q-2q)=0=q=1即=2,所以Sn=2门，故选择答案Co(n)由(i)知,，所以数列T的的首项为t1=a2=2，公差d=2a2_1=3由此可猜想出数列：a?的通项公式为an=（门_1）2S10=102-1093=1552，即数列T()的前10项之和为155.【范例1】解：(I)由题设得可bn=(anbi2(2)，即Cn=Cn2(n2)易知Cn是首项为d巾=3，公差为2的等差数列，通项公式为Cn=2n1.(II)解：由题设得1an-bn(anJ-bn