专题15对数(解析版)

1、专题15对数1 .对数的概念若ax=N(a>0,且aw1),则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数，记作x=logaN.知识点拨对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax=N(a>0,且aw1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0,且aw1),哥为N,求哥指数的运算，因此，对数式logaN又可看作哥运算的逆运算.2 .常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把10g10N记为lgN.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为l

2、nN.3 .对数与指数的关系当a>0,且aw1时，ax=N?x=logaN.4 .对数的基本性质(1)零和负数没有对数.(2)loga1=0(a>0,且aw1).(3)logaa=1(a>0,且aw1).6 .对数的运算性质条件a>0,且aw1,M>0,N>0性质loga(MN)=logaM+logaN.MlogaN=logaMlogaNlogaMn=nlogaM(nR)知识点拨一般情况下，当a>0,且aw1,M>0,N>0时,loga(MN)w(logaM)(logaN),loga(M+N)wlogaM,MlogaM+logaN，loga

3、N-logaN.7,换底公式.logcb.logab=l(a>0,且aw1;c>0,且cw1;b>0).ogca知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论:logab=。:占logablogbclogca=1;loganbn=logab；loganbm=mlogab；log；b=logab.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意,原底加底变分母，真数加底变分子.典型题型与解题方法重要考点一：指数式与对数式的互化【典型例题】已知2x3,则x=【答案】xlog23【解析】由指数式2x3化为对数式得X1。身3.故答案为：10g23.【题型强化】1.已知x,y为正数，若2

4、xx3y，则一y【答案】10g23【解析】解法一：设2x3yt,则x10g3t10g2t10g3t1gt1g21g3八-10g23.1gt1g2U21g3解法二：-/2x3y,则1g2x1g3y,x1g2y1g3,1g31g21og23.故答案为10g23.2.已知10g中ix【答案】2i1x21.2211.故答案为：.21【名师点睛】对数式中的真数N就是指数式中的哥的值,对数式10gaN=b是由指数式ab=N变化得来的，两式底数相同,而对数值b是指数式中的哥指数，对数式与指数式的关系如图:并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(3)2=9就不能直接写成10g(3)9=2,只有a>0且a

5、wl,N>0时,才有ax=N?x=logaN.重要考点二：对数定义与性质的应用【典型例题】1g251g21g50.【答案】1【解析】原式2一,一.一.，一.2一,一.一/2一,一,一,一1g51g21g51g101g51g21g511g51g21g51g21g51g51g21g21g51g21.故答案为：1.20【题型强化】1.计算：21g21g5的值是.【答案】2o2【解析】-1g21g511g25112.3故答案为：2.jabi112.已知6a2b9,则-.ab211.一.一.一1【解析】:6a2b9,a1og69,b1og29,即一一1og961og921og93一.ab2一，一，

6、1故答案为：2【名师点睛】对数性质在计算中的应用对数运算时的常用性质：1ogaa=1,1oga1=0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.重要考点三：对数恒等式的应用【典型例题】已知1g6a,1g15b,试用a、b表示1g48.1【答案】-5a3b32【解析】vlg6lg2lg3301g151g万lg310lg3lg21b,lg2即hlg3lg3lg2故答案为:5a3b【题型强化】1.2log3222【解析】原式10g32-32故答案为：15.lg2lg310g332815一一2log.3252.化简计算

7、亚J2一21og.32故答案为:【名师点睛】运用对数恒等式时注意事项ab12,c,c,c1c,c，lg48lg341g2-5a3b3.ab1210g38110g53515.一21og15一一210g3251og,3、232、,3.22.32(1)对于对数，值等式alogaN=N要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为对数的真数.(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用.重要考点四：因忽视对数式的底数和真数的取值范围致误【典型例题】若10g(x1)(3x)有意义，则x的取值范围是.【答案】(1,2)U(2,3)3x0【解析】由对数的意义得x10,解得1x3

8、且x2.x11，x的取值范围是(1,2)U(2,3)答案：(1,2)U(2,3)【题型强化】1.使对数loga2a1有意义的a的取值范围是-1【答案】（0,1）2a100a0,a12【解析】由题意得一，一，1故答案为：（0,1）22.对数表达式10gx1（5x）中的x的取值范围是【答案】（1,2）U（2,5）5x0【解析】由题意可得x10,解得1x5且x2,x11所以x的取值范围是（1,2）U（2,5）.故答案为：（1,2）U（2,5）【名师点睛】对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼.重要考点五：再谈等价转化1【典型例题】（1）计算310g322731g501g2；（2）已知2a3,4b

9、6,求2ba的值.【答案】（1）7；（2）1.1【解析】310g322731g501g2231og1002327.（2）由2a3,得a10g23,又由4b6,即22b6,得2b10g26,所以2ba10g2610g2310g221.【题型强化】1.设x,y,z均为正数，且3x4y6z.（1）试求x,y,z之间的关系.（2）求使2xpy成立，且与P最近的正整数（即求与P的差的绝对值最小的整数）(3)比较3x,4y,6z的大小.11【答案】（1）zx12y；(2)3；3x4y6z.【解析】设3x4y6zy,z均为正数知t1.故取以t为底的对数,可得xlogt3ylogt4zlogt6110gt31

10、10gt4'110gt6(2)161logt6logt32x27,10gt310gt41110gt21ogt4一,22y210g34log316.得10g3910g31610g327,从而210g31610g3941627256由916243从而所求正整数为.16°10g3小3p927*p2log3271610g3一93.(3)3x4y310g3t410g4t鲁41gt1g4log3162710g3一16z之间的关系为1og30163p.12y31g441g31g31g4lgtg1g431g31g41g34而lgt0,1g30,1g40,1g431g34,3x4y.又4y6z

11、221og4131og6t221gt1g431gt1g621gt(21g631g4)1g41g621gt1g621g41g61g43而lgt0,lg40,1g60,1g621g43,4y6z.故有3x4y6z.2.已知2a3,blog318.(1)求a2b的值;2b(2)求4a1V3的值.【答案】(1)-1(2)18夜【解析】解：1由2a3得，a10g23.10g3910g3I8所以a2b1og2321og3181og2310g2310g31810g3910g2310g321；2由b10g318得3b18,_2b2aQA_所以4a1J342a-=432-=36,18，2.3b,18、,2【名师

12、点睛】指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指对方程与不等式及指数对数运算.将等式两端取同底的对数，是指数对数转化的另一种表现形式.重要考点六：对数的运算法则8x【典型例题】已知10g2x10g2y3,求10g23"的值.y【答案】128X3-3_3【解析】依题息10g23-10g2810g2x10g2y3310g2x10g2y33312.y【题型强化】1.求下列各式的值:(1) 210g525+310g264；(2) 1g,3灰,3芯;(3) (1g5)2+21g2(1g2)2.1【答案】(1)22;(2)一;(3)1.2【解析】(1)因为210g525=210g55

13、2=410g55=4,310g264=310g226=1810g22=18,所以210g525+310g264=4+18=22.=；1g(3.53、.52,95)=；1g10=；(3)(1g5)2+21g2-(1g2)2=(1g5)2(1g2)2+21g2=(1g5+1g2)(1g51g2)+21g2=lg10(lg5lg2)+2lg2=lg5+lg2=lg10=1.2.计算下列各式的值：(1) lg4lg25；(2) lg5100;(3)log2(4725);(4) (lg2)2lg20lg5.【答案】(1)2(2)2(3)19(4)15【解析】(1)lg4lg25lg(425)lg1002

14、.112(2) lg5100lg1005lg100-.557575(3) log2(42)log24log227log245log22725119.八c、2-八八、2.1,102(4) (lg2)2lg20lg5(lg2)2lg(102)lg万(lg2)2(1lg2)(1lg2)2 2(lg2)21(lg2)21.【名师点睛】对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质.二要注意取值范围对符号的限制.重要考点七：运用对数的运算性质化简求值3【典型例题】已知10g2(log3(log4x)=0,且10g4(log2y)=1.求,Qy4的值.【答案】64【解析】:10g2(log

15、3(log4x)=0,，log3(log4x)=1,，log4x=3,.x=43=64.由10g4(log2y)=1,知10g2y=4,，y=24=16.3 3因此xy4=、.641618"4.升,1【题型强化】1.求log2-10g38log127的值.255【答案】18【解析】原式log25210g32310g51332log253log323log5318场蚂叫181g21g31g52.计算：（1）已知log23a,3b7,试用a,b表示10g1256；(2)lg25【答案】（1）21g81g51g203_2(1g2).【解析】（1）由3b1log37,由10g23a得一alo

16、g1256log35610g31210g3723_210g332210g37310g321210g32ab3a2(2)原式lg254lg51lg2(lg2)22lg5lg2lg5lg22lg5lg23.【名师点睛】灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用.在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算.重要考点八：换底公式的应用4丫、，21【典型例题】设3x4y36,求一的值.xy【答案】1.【解析】因为3x36,4y36,所以x10g336,y10g436.所以一21c,c,21og36310g364log369log364log336l

17、og43610g36361.【题型强化】1.已知25a53b102c，求证:5a3b2c【答案】证明见解析;【解析】令25a53b102ck,则5alog2k,3blog5klogk2,2clogk5logk2logk5logk1012c_11所以一一5a3b2.(1)证明对数换底公式：10gbNlogaN-(其中alogab(2)已知10g32m,试用m表示log3218.【答案】(1)证明见解析;(2)10g32182m5m【解析】(1)设logbNx,写成指数式bxN.logab,得xlogaNlogab两边取以a为底的对数，得xlogablogan.因为b0,b1,logab0,因此上

18、式两边可除以logaN所以，logbNa.logab210g31810g33log32210g322m(2)log3218510g33210g32510g325m【名师点睛】关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题.(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法.1(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab=-；1ogaan=n,1ogambn=miogab;1g2+1g5=1等，将会达到事半功倍的效果.重要考点九：因忽视对数的真数大于零而致误【典型例题

19、】解下列对数方程：2(1) 1g(x2)lg2xx610;(2) x1gx2108.13,【答案】(1)x；(2)x104,x100.2【解析】(1)原式可化为：1g(x2)1lg2x2x6,81g10,110设10g2xt,tR,原方程化为t22再化为lg(x2)lg10lg2x2x6,即1g10(x2)也即10(x2)2x2x6,整理得：2x29x260,13解方程，得x1&2,23经检验：x2是原方程增根，所以原方程的根是x一；2(2)两边同取以10为底的对数，得lgx1gx2lg108,即(lgx2)lgx(1gx2)lgx8,即(lgx)22lgx80.解方程，得lgx4或l

20、gx2,所以x104或*100,经检验：x104,x100都是原方程的解.【题型强化】1.解下列对数方程：(1) 10g2(a1)3；(2)log2x26x9log2(2x6)；(3)log2x10g2x34；(4)x1gx21000.1【答案】(1)x81(2)x5(3)x或x2(4)x1000或x16【解析】解(1)1og2(G1)3,x1238.解得x81.2(2) log2x6x9log2(2x6)x26x92x6x28x150.解得x3或x5.检验：:x26x90且2x60,x3是增根，舍去.所以方程的解为x5.2.解下列对数方程：23(1)10g2x10g2x4；(2)x1g100

21、0.1 1【答案】(1)x或x2(2)x1000或x16102 .32【解析】(1)1og2x1og2x41og2x31og2x40.3t40.解得t14大1,1og2x4,10g2x116x2.经检验：x1一或x162都是原方程的根.(2)x1gx21000gx2lgxlg1000(1gx2)1gx3,即1g2x21gx3.设igxt,tR,原方程化为t22t30.解得t3或t1.lgx3x1000或lgx11x一101经检验：x1000或x一都是原方程的根.10重要考点十：转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力10g127的值.51.c【典型例题】（1）求10g210g3825(2)

22、已知10g95a,3b7,试用a,b表木10g2135【答案】(1)18；(2)2b.b1233【解析】(1)原式10g25log3210g5i321og2531og32310g5318姮1g2口蛇181g31g5(2)由3b7得到10g37b,由10g951.a,得到a10935,即10§352a.210g213510g335log32110g3510g37log3710g332abb1.【题型强化】1.设a0,a1,x、y满足1ogax310gxa10gxy3,用10gax表示10gay,并求当x取何值时，1ogay取得最小值3当x"时，1ogay取得最小值.xa【解析

23、】由换底公式，得10gax品窜3*'整理'得1oga2x3logay31ogax,23logaylogaX3logax3logaX.243 3一，3当logaX,即Yf时，logay取得最小值一.4 xa42.(1)已知lg2a,lg3b,用a,b表示10g3645；a,b表布log4256.(2)已知10g23a,log37b,用ababa1【解析】(1)log3645lg45ig36lg5lg9lg4lg91lg22lg32lg22lg31a2b2a2b(2),/log23a,1一log3a2,又log37b,“log356log42563log34210g37310g32

24、log37log321b3ab-1aababa【名师点睛】1 .应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用.2 .对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化.3 .利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算一换成同一底数.思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)一化简、通分、求值.课后练习1.设a10go.20.3,b10g20.3,则B.abab0C. ab0abD. ab0ab【答案】B0303

25、1021211【斛析】a1og0.2,blog2,-10g0.3，log0.3,10go.30.4abab.11._ab0一一1,即01,又a0,b0,ab0即abab0abab故选B.2.已知a10g2e,bIn2,clog121-,则a,b,c的大小关系为3D.cabA.abcB.bacC.cba【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：a1og2e>1,b1n21一10g2e0,1loglog23据此可得：cb.本题选择D选项.10g2155A.165B.一4C.D.【解析】log0,10g210g215,4flog2-,54,Jlog250,10g2二510g2二5log2

26、16一,5.16八log2-0,5,1610g2石,510g2165516故选A.3 .已知函数f4 .设alog34C.D.1A.一16【答案】由a1og342可得10g34a2,所以4a9，所以有a14a-,故选：B.9b=1og85,c=1og138,则（5,已知55<84,134<85.设a=1og53,A.a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b【解析】由题意可知a、b、c0,1,a1og531g31g811g31g8;z-r2-blog851g51g51g521g31g821g5由blog85,得8b5,

27、由5584,得85b84,5b由c10g138,得13c8,由13485，得134135c5c综上所述，aC.故选：A.6.已知函数fln.19x23x1,则fig2A.1【解析】设lg2lg12ln2ln19a23a1ln9a29a2ln1为D.7.若xlog34=1,贝U4x+4"=B.2C.【解析】:xlog34=1,x=log43,.-4=3,.U+4-x1=3+-38.若a10g43,则2a9.计算:a10g43,2aJ3，2a21lne383310g3410g24【解析】原式(2)10.已知a0,b0,ab8,则10g2alog22blg24lg-25一14可信b一；5D.2ln9a23a2,所以D.flg2103所以答案4,3的最大值是【解析】a0,b0,ab8,则10g2a?log2(2b)(log28log2b)?(1log2b)(3log2b)?(1log2b)3210g2b(log2b)24(110g2b)2W：4.当且仅当b2时，函数取得最大值.11.已知函数y4ax91(a0且a1)恒过定点Am,n，则logmn【解析】令指数x90,则：4据