一元三次方程与一元四次方程的根

1、3.6一元三次方程与一元四次方程的根3.6.1 一兀三次方程的根一元二次方程的求根公式是众所周知的，下面我们给出一元三次与一元四次方程的求根公式.设一元三次方程y3+ay2+by+c=0（立方和展开公式：+短门城）人am令y=x一一，得33x+px+q=0（5-1）所以，所有一元三次方程均可化为无二次项的方程设Xo是方程（5-1）的根，即3Xopxoq=0现在讨论方程u2-x0u-03设它的两个根a与P,则（5-2）-x03（：）3p（：）q=0303nr（5-3）-一（3-：3-p）（-3'，1）q=0-q3p27所以a3与P3是一元二次方程的两个根.解此方程得X0Z=2-42723

2、qp=：3-2、427,3q一2一23q.p427这样，我们就把方程的根X0求出来了这个公式称为卡丹公式.但是由于上式开了3次方,共有3个值，因而a+P共有9个值，这9个值不可能都是方程（5-1）的根，对于取定的a,只能取P，使得aP=_p.设%是3319+叵+可24273个开方值中的一个，6是1的立方根.2二.2二1一3；=cosisin一=-=3322而月是适合%3=的值3如果1十也是方程（5-1）的根，则方程（5-1）的另外两个根为1；/2；2；3227现在讨论(1)当如d>0,则Dd是实数，实数-9土Jd的立方根有一个实数，两个共轲复数2设%是3Lqf/D中的实数，冏是q-JD中

3、的实数.则A=«1+P1是方程（5-1）的实数根（因为“R=是实数），其余两个根分别为32一；：；-；1学"-3_：1-I_i3：1-I一2一2这里显然有小#A,所以三次方程有一个实根和两个共轲复数根23qp(2)当D=匚+匚=0时,427设=3：二9为实数值，由于口B=-q知，月=*二q也为实数值，所以根为232ri=L21另外两个根为2=1；,'I:1（；2）-13-1；2,；一：1（；2,；）一i所以三个根都是实数，且有两个根相同.（3）当D<0时，二9十而与二Q-JD是两个共轲复数.令JD=ik,k为实数，所以22二=3-q.D=3-q-D.22由于实

4、系数三次方程必有一个根是实数，设x1=-0=-1''1（复数的开方：设z=r（cos0+isin仇）其中r>0,则z的n次方根有n个，它们是：而空土且十.空也）k=。，2一）是实数根，因为%十4为实数根%义文=：也是实数，所以与3是共轲复数，这时方程的另外两个根是x2=、；:2x3=、；2）；由于%名=日产2,%名2=3名=%名+3/与小/十日送都是实数，所以三次方程的根都是实数，且是三个不同的实数例1解方程y33y23y14=0解用y=x-1代换，得3x-6x-19=0这时p=£,q=9,327即方程有一个实根，两个共轲复数根：二=3一q7=3.8,22-=3

5、-2-2=31.工1=2,-1=1X0=21=33.3X1二一I223.3x2二一一I22原方程的根为y0=25.必二1例2解方程3x-12x16=0解这里p=-12,q=16,所以D=3E27162它2427方程的根为x0=(-2)(-2)=-4x1=2,x2=2两个重根3.6.2一兀四次方程的根我们给出一元四次方程的求根公式.设实系数四次方程为43.2yaybycyd=0利用代换y=x-q,消去y；得442x+px+qx+r=0(5-2)在上述方程加一参数«得2p.-0(5-3)x4px2qxr=(x2二，)2qxr-2-2:x2242,2P、2_2"P_(x"工)一2：xqx，：工，p。-r=0取口使得方括号里是完全平方项，这时判别式D=0,即222p、q-r2二(二p>-r)=04方程（5-3）除a外均为已知数，a是一个一元三次方程的根.因此a可以求出如果口0是方程（5-3）的一个根，则（x2卫10）2-2二。J-9）2=024：0即x22二2：0（x-q-）2-4：0原方程变为